Статья опубликована в №47 (июль) 2017
Разделы: Математика
Размещена 18.07.2017. Последняя правка: 02.08.2017.
Просмотров - 3014

Применение параметризации в математическом моделировании алгоритма построения ряда простых чисел.

Танченко Владимир Евгеньевич

Консерваторион

дежурный администратор

Танченко Е.В., программист.

УДК 510

Вступление.

   Жан-Мишель Бисмут: «Математика не должна превращаться в санскрит».
   На сегодняшний день понятие простого числа теснее всего связано с гипотезой Римана [1]  Собственно гипотеза Римана, это и есть предположение о существовании закономерности в распределении простых чисел.

Допустим, что кто-то определил  алгоритм построения ряда простых чисел. Что бы из этого следовало? Вероятнее всего были бы сняты с повестки дня все четыре проблемы Ландау.  Не сразу, а через какое-то время. Но они были бы решены. 

Первая, - это проблема Гольдбаха.  Предположение о представлении чётных и нечётных чисел в виде суммы простых чисел.

Вторая проблема, - о бесконечном множестве простых чисел-близнецов.

Третья проблема, или гипотеза Лежандра, - вопрос о нахождении простых чисел в числовом промежутке между квадратом натурального числа и квадратом числа, следующего за заданным числом.

И четвёртая проблема, - бесконечно ли множество простых чисел, которые можно получить, прибавив к квадрату натурального числа единицу.

Собственно, судя по постановке вопроса, совершенно не сложные задачи, но всё как раз и упирается в отсутствие базиса, в отсутствие порядка распределения простых чисел в натуральном ряду. 

На сегодняшний день мы имеем множество способов определения простых чисел. Их десятки, этих способов. Выявлены закономерности для чисел особого вида. Выявлены закономерности для пары простых чисел, отличающихся на 2, на 6. И кажущаяся лёгкость, с которой мы воспринимаем определение простого числа, вводит нас в заблуждение. Куда проще, - если число делится только на единицу и на себя, - это простое число. Если же число имеет более двух делителей, - это уже составное число.  Действительно, куда уже проще? Но задача оказалась намного сложнее. Неспроста она уходит своими корнями во времена античных философов и геометров.

Переоценить значение и важность решения данной проблемы невозможно. Это известно специалистам и на этом не стоит задерживать наше внимание.

Многие математики склонны думать, что не существует порядка в распределении простых чисел. Иные являются сторонниками Римана и уверены, что такой порядок существует. Так или иначе, но подтверждения и полной уверенности нет ни у тех, ни у других. Загадка остаётся загадкой. Вопрос, относящийся к самым основам математики, к порядку распределения чисел разного вида в натуральном ряду, не решён до сих пор [2].

16.03.2016 года в журнале "Наука и жизнь" была опубликована статья "Из жизни простых чисел" с сообщением о том, что, цитирую:  "...Два математика из Стэндфордского университета обнаружили, что распределение последней цифры в ряду простых чисел подчиняется некоторым закономерностям." [3]

Наблюдая на протяжении нескольких последних лет за количеством научных публикаций,  в которых  исследуются различные варианты возможного порядка, который лежит в основе распределения простых чисел, было принято решение  опубликовать некоторые материалы  собственных исследований многолетней давности.

Есть общие правила комбинаторики. Правило суммы, правило сложения, число размещений и другие правила, понятия и определения, - это всё описано и доступно для понимания любому человеку. Там же есть такое понятие как «кортеж».  Кортеж – это конечная последовательность (допускающая повторения) элементов какого-нибудь множества. Используем иное название – линейная числовая матрица. Это тот же кортеж, но всегда повторяющийся.

В силу определённых обстоятельств пришлось самостоятельно вводить новые понятия и определения, но уверен, что это ни сколько не помешает восприятию представленного материала.  

Вот с этого непродолжительного вступления мы вместе и начнём знакомство с простыми числами. Постараюсь, насколько возможно, придерживаться свободного, общедоступного для понимания и восприятия изложения материала. В данной публикации будет  представлена только начальная часть материалов из работы по исследованию порядка распределения простых чисел.

Числовой ряд, содержащий простые числа. Линейная числовая матрица. Матричное построение ряда.

Запишем первые простые числа:

1   7   11  13  17  19  23  29  31  37  41  43   47...

Именно так начинается ряд, содержащий все простые числа. Традиционно все придерживаются мнения, что числа 2, 3 и 5 так же являются простыми.  Позволим себе с этим не согласиться. На данном этапе будем придерживаться следуещей точки зрения: эти числа обладают признаками простых чисел, но являются исключением.  Правомерно ли такое мнение, - это можно будет скоро увидеть. Сейчас же перейдём непосредственно к рассмотрению самого порядка  построения  ряда, содержащего простые числа.

Мы записали первые 13 простых чисел.  Чтобы продолжить этот ряд,  нам нужно  познакомиться с  линейной числовой матрицей ряда.  Что это такое, линейная числовая матрица?   Какой она имеет вид?

Линейная числовая матрица ряда, который содержит все простые числа, выглядит следующим образом:

/  1   7  /  1   3   7   9 /  3   9 /

Это последовательность из восьми  цифр, которая разделена на три группы. Вот эти три группы чисел были названы  матричными группами,  а все вместе, - линейной числовой матрицей ряда. 

Сам ряд, который сейчас  будет выстраиваться, образован простыми и составными числами, но именно эта матрица и отвечает за тот порядок, который определяет, какие числа содержатся в ряду и какие из них являются простыми, а какие нет.  С помощью первых тринадцати простых чисел и линейной числовой матрицы, состоящей из матричных групп, мы и начнём построение числового ряда.

Первой строкой запишем  сам ряд из первых 13-ти простых  чисел, а ниже выстроим ряд чисел, образованный повторяющейся линейной числовой матрицей:    

 

1	7	11	13	17	19	23	29	31	37	41	43	47
1	7	1	3	7	9	3	9	1	7	1	3	7	9	3	9	1	7	1	3	7	9	3	9

 

Для наглядности одна из повторяющихся линейных числовых матриц выделена красным цветом.

Чтобы продолжить  ряд простых чисел, нам нужно сделать следующее,  - простое число 7, из первого ряда, умножить само на себя, а результат записать в ряд, потом число 7 умножить на 11 и снова результат записать в ряд, затем 7 на 13, 7 на 17 и так далее.  Точно так же поступаем со всеми остальными членами ряда – поочерёдно умножаем число само на себя и на последующие числа, а результат записываем ряд, строго в порядке возрастания величин.

Чтобы облегчить  задачу поиска места, куда нужно записывать каждое число,  которые получим от перемножения на 7, - пронумеруем  матричные группы, это будет  нижняя строка, -  и запишем  первые два полученных числа, 49 и 77,  в первый ряд :

 

1	7	11	13	17	19	23	29	31	37	41	43	47	49							77
1	7	1	3	7	9	3	9	1	7	1	3	7	9	3	9	1	7	1	3	7	9	3	9
0		1				2		3		4				5		6		7				8

 

Число 49 записываем  над числом 9 в 4-ой матричной группе, а число 77 над числом 7 в 7-ой матричной группе. – Выделено красным цветом.

Не сложно заметить, что порядковый номер матричной группы и число в самой матричной  группе определяет, какое число расположено в основном ряду в строго определённом месте. 

А что же делать с остальными, со свободными местами? - А вот все остальные свободные места в ряду и будут занимать простые числа. Записываем их в ряд на свободные места в соответствии с номером матричной группы и числа в матрице:

 

1	7	11	13	17	19	23	29	31	37	41	43	47	49	53	59	61	67	71	73	77	79	83	89
1	7	1	3	7	9	3	9	1	7	1	3	7	9	3	9	1	7	1	3	7	9	3	9
0		1				2		3		4				5		6		7				8

 

Таким образом, пользуясь линейной числовой матрицей ряда и присвоив порядковые номера матричным группам, мы без особого труда можем располагать в этом ряду числа, полученные от перемножения первых членов ряда на самих себя и на последующие члены ряда.  Мы помним, что полученные таким образом числа не являются простыми. Это составные числа.  Но все оставшиеся свободные места в данном ряду, будут заполнять простые числа.  В данном случае это  числа  53,   59,    61,   67,   71,   73,   79, 83, 89.

Но в этом месте сделаем небольшое отступление. – Мог возникнуть закономерный вопрос: по какой причине я отнёс к простым числам числа 79, 83, 89? – Они ведь расположены за последним составным числом 77. Всё просто. - Пока числа не большие, можно было умножить в уме 7 на 13 и 11 на 11. - Оба результата превосходят числа 79, 83, 89, - значит эти три числа тоже простые. 

Теперь давайте выстроим ряд  до любого произвольно взятого числа, например, до числа 409.

Перемножаем первые числа ряда  до получения  числа, не превосходящего число 409.

Умножаем на число 7 и получаем следующие произведения: 49  77  91  119  133  161 203  217  259  287  301   329  343  371.

Для числа 11 следующие произведения:  121  143  187  209  253  319  341  407 .

Для числа 13 следующие произведения : 169  221  247  299  377  403 .

Для числа 17 следующие произведения:  289  323  391 .

Для числа 19 получаем квадрат самого числа:  361.

Выделим эти числа красным цветом и запишем их в ряд, - в соответствии с порядковым номером матричной группы и числом в матричной группе.  А вот все свободные места заполним  числами, которые и будут искомыми простыми числами, расположенными в строгом порядке возрастания величин:

Строка 1.  Простые и составные числа. Красным цветом выделены составные числа.

Строка 2.  Повторяющаяся линейная числовая матрица.

Строка 3.  Номера матричных групп.

 

1	7	11	13	17	19	23	29	31	37	41	43	47	49	53	59	61	67	71	73	77	79
1	7	1	3	7	9	3	9	1	7	1	3	7	9	3	9	1	7	1	3	7	9
0		1				2		3		4				5		6		7

 Первые 8 матричных групп. 22 числа. Составные числа 49 и 77.

 

83	89	91	97	101	103	107	109	113	119	121	127	131	133	137	139	143	149
3	9	1	7	1	3	7	9	3	9	1	7	1	3	7	9	3	9
8		9		10				11		12		13				14

Следующие 7 матричных групп. 18 чисел. Составные числа 91, 119, 121, 133, 143.

 

151	157	161	163	167	169	173	179	181	187	191	193	197	199	203	209	211	217
1	7	1	3	7	9	3	9	1	7	1	3	7	9	3	9	1	7
15		16				17		18		19				20		21

Следующие 7 матричных групп. 18 чисел. Составные числа 161, 169, 187, 203, 209, 217.  

 

221	223	227	229	233	239	241	247	251	253	257	259	263	269	271	277	281	283	287	289
1	3	7	9	3	9	1	7	1	3	7	9	3	9	1	7	1	3	7	9
22				23		24		25				26		27		28

Следующие 7 матричных групп. 20 чисел. Составные числа 221, 247, 253, 259, 287, 289.

 

293	299	301	307	311	313	317	319	323	329	331	337	341	343	347	349	353	359
3	9	1	7	1	3	7	9	3	9	1	7	1	3	7	9	3	9
29		30		31				32		33		34				35

Следующие 7 матричных групп. 18 чисел. Составные числа 299, 301, 319, 323, 329, 341, 343.

 

361	367	371	373	377	379	383	389	391	397	401	403	407	409
1	7	1	3	7	9	3	9	1	7	1	3	7	9
36		37				38		39		40

 Следующие 5 матричных групп. 14 чисел. Составные числа 361, 371, 377, 391, 403, 407.

Все выделенные чёрным цветом числа в первых рядах таблиц, - это простые числа, записанные в ячейки в соответствии с числом в матричной группе  и номером этой матричной группы.

Необходимо обратить внимание на следующее. Мы выстроили ряд из 110 чисел, где из них 32 составных числа и 78 простых. В натуральном ряду чисел из первых 110-ти чисел только  27 простых чисел.

Вот так устроен основной ряд чисел, который содержит все простые числа.

Сделаем промежуточное заключение:

 пользуясь линейной числовой  матрицей

/  1   7  /  1   3   7   9 /  3   9 /

и последовательно перемножая первые простые числа, мы выстраиваем числовой ряд, определяя в строгой последовательности все составные числа, а простые числа будут занимать незаполненные места в ряду.

Теперь  перейдём к рассмотрению свойств основного числового ряда.

Основной числовой ряд простых и составных чисел.

Свойства линейной числовой матрицы основного ряда.

Запишем линейную числовую матрицу ряда,  - далее ЛЧМ, - и рассмотрим её свойства:

/  1   7  /  1   3  *  7   9 /  3   9 /

Суммы двух равноудалённых от центра ЛЧМ чисел равны:

1+9 = 7+3 = 1+9 = 3+7=10.

Центр отмечен звёздочкой *, а в таблицах красным цветом выделены ближайшие к центру числа.

Так же равны и суммы равноудалённых от центра ЛЧМ двух соответствующих членов основного ряда :

1	7	11	13	17	19	23	29
1	7	1	3	7	9	3	9
0		1				2

 

1+29 = 7+23 = 11+19 = 13+17 = 30.

Центр ЛЧМ расположен между числами 3 и 7 из первой матричной группы.

Введём понятие центр ЛЧМ, относительно которого сумма двух равноудалённых чисел ряда равна.

Возьмём из ряда, который мы выстроили ранее до числа 409, - произвольную ЛЧМ  с  соответствующими  ей  членами ряда :

361	367	371	373	377	379	383	389
1	7	1	3	7	9	3	9
36		37				38

 

361+389 = 367+383 = 371+379 = 373+377 = 750.

Равенство сумм  сохраняется.  Это равенство сумм относительно центра ЛЧМ сохраняется и выполняется для двух равноудалённыx членов ряда и за пределами  ЛЧМ: 

 

293	299	301	307	311	313	317	319	323	329	331	337	341	343	347	349	353	359
3	9	1	7	1	3	7	9	3	9	1	7	1	3	7	9	3	9
29		30		31				32		33		34				35

 

Центр, относительно которого взяты два равноудалённых числа для определения суммы, расположен между числами 313 и 317.

313+317 = 293+337 = 630.

Точно так же сохраняется равенство сумм относительно центра любой ЛЧМ.

Теперь рассмотрим две последовательные ЛЧМ.

Точно так же, как и в предыдущем случае,  сохраняется  равенство сумм относительно центра между двумя последовательными ЛЧМ. Запишем две из них,  с соответствующими им членами ряда:

1	7	11	13	17	19	23	29	31	37	41	43	47	49	53	59
1	7	1	3	7	9	3	9	1	7	1	3	7	9	3	9
0		1				2		3		4				5

суммы  двух равноудалённых от центра членов ряда равны: 

1+59 = 7+53 = 11+49 = 13+47 = 17+43 = 19+41 = 23+37 = 29+31 = 60,

как и суммы двух равноудалённых чисел из самих ЛЧМ так же равны :

1+9=7+3=1+9=3+7=7+3=9+1=3+7=9+1=10.

Вводим понятие центр двух последовательных ЛЧМ, относительно которого сумма двух равноудалённых членов ряда равна.

Данное свойство или закономерность, - сейчас не важно как мы это назовём или  определим, -  распространяется на весь основной ряд, содержащий простые числа. 

Сделаем два заключения:

1. Суммы двух равноудалённых членов основного ряда относительно центра одной числовой  матрицы всегда равны.

2. Суммы двух равноудалённых членов основного ряда относительно центра между двумя последовательными  числовыми  матрицами  всегда равны.

Теперь обратим внимание на суммы двух равноудалённых членов ряда относительно центров в последовательных ЛЧМ:

 

1	7	11	13	17	19	23	29	31	37	41	43	47	49	53	59
1	7	1	3	7	9	3	9	1	7	1	3	7	9	3	9
0		1				2		3		4				5

 

В первой ЛЧМ это:    13+17=30,  во второй:   43+47=90. И  если мы продолжим ряд, то получим сумму в третьей :   73+77=150,  в четвёртой :  103+107=210 и так далее.

 Мы видим, что ряд этих сумм, это арифметическая прогрессия с разностью прогрессии равной 60:

30, 90, 150, 210, 270, 330, 390, 450, 510...

что позволяет нам определить любую сумму относительно центра ЛЧМ и определить следующие простые числа на интересующем участке ряда.

И если мы разделим все члены этой арифметической прогрессии на 30, - на первый член ряда этих сумм, - то получим ряд нечётных чисел:

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17...

Это свойство позволяет нам выстроить основной ряд чисел до центра определённой ЛЧМ ряда, а затем, используя всего лишь одно арифметическое действие, - вычитание, - произвести репликацию ряда:  

1  7  11  13   17  19  23  29   31   37   41   43 (90) 47  49  53  59  61  67  71  73  77  79  83   89 

В данном случае удвоение количества членов ряда относительно определённой суммы было названо репликацией.

И  если до центра определённой ЛЧМ мы имеем уже, например, один миллион членов ряда, то  второй миллион членов ряда мы заполняем пользуясь всего лишь арифметическим действием вычитания:

90-43 = 47,

90-41 = 49,

90-37 = 53 и так далее, до

90-1=89.

Теперь обратим внимание на суммы равноудалённых членов ряда относительно центров между двумя последовательными ЛЧМ:

1	7	11	13	17	19	23	29	31	37	41	43	47	49	53	59
1	7	1	3	7	9	3	9	1	7	1	3	7	9	3	9
0		1				2		3		4				5

 

В первой паре это  29+31=60, - берём ближайшие числа.  

Во второй 59+61=120.

В третьей  89+91=180 и так далее.

 Получается, что  последовательность сумм относительно центров в последовательных парах ЛЧМ образует, как и в предыдущем случае,  арифметическую  прогрессию:

60, 120, 180, 240, 300, 360, 420...

что позволяет нам определить любую сумму относительно центра между двумя последовательными ЛЧМ и определить следующие  простые числа на интересующем участке ряда.

И,  если мы разделим все члены этого ряда сумм на 60, - на первый член этого ряда сумм, - то мы получим ряд натуральных чисел :

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7...

Данное свойство равенства сумм относительно центра между двумя последовательными ЛЧМ так же позволяет нам, сначала выстроить основной ряд  от начала до центра суммы  между двумя определёнными  ЛЧМ ряда и, снова, используя всего лишь одно арифметическое действие, - вычитание, - произвести репликацию имеющейся  части ряда, увеличив при этом вдвое количество членов основного ряда:

 

1  7  11 13 17 19 23 29  31 37 41 43 47 49 53 59 (120) 61 67 71 73 77 79 83 89  91 97  101 103 107 109 113 119.

120-59=61,

120-53=67,

120-49=71,

…

120-1=119.

Дадим определение понятию «репликация ряда».

Репликация числового ряда, - удвоение количества членов ряда относительно центра ЛЧМ или относительно центра двух последовательных ЛЧМ, путём последовательного вычитания из значения имеющейся суммы предшествующих членов ряда c последующей записью новых членов ряда.

Теперь присвоим порядковые номера самим ЛЧМ:

1	7	1	3	7	9	3	9	1	7	1	3	7	9	3	9	1	7	1	3	7	9	3	9
1								2								3

 

  На примере этих трёх первых ЛЧМ мы сейчас продемонстрируем некоторые возможности, используя то, что мы узнали ранее.

Запишем ряд сумм, который мы определили относительно центров ЛЧМ:

30, 90, 150, 210, 270, 330, … и так далее.

Пользуясь первой суммой ряда, - первым членом этого ряда сумм, - запишем равенство для определения суммы в любой ЛЧМ:

S = 30(2m-1),

где m, - это порядковый номерЛЧМ, а (2m-1) – это нечётное число, множитель для определения суммы S в интересующей нас ЛЧМ  с порядковым номером  m.

Для ЛЧМ с m=1 сумма равна:   S = 30(2m-1)=30(2*1-1)=30.

Для ЛЧМ с m=2 сумма равна:   S = 30(2m-1)=30(2*2-1)=90.

Для ЛЧМ с m=3 сумма равна:   S = 30(2m-1)=30(2*3-1)=150.

 

1	7	11	13	17	19	23	29	31	37	41	43	47	49	53	59	61	67	71	73	77	79	83	89
1	7	1	3	7	9	3	9	1	7	1	3	7	9	3	9	1	7	1	3	7	9	3	9
1								2								3

 

Проверим:

Для ЛЧМ с m=1 сумма равна:   S = 13+17=30.

Для ЛЧМ с m=2 сумма равна:   S = 43+47=90.

Для ЛЧМ с m=3 сумма равна:   S = 73+77=150.

Всё правильно.

Теперь определим сумму, например,  для 348-ой ЛЧМ:

 S = 30(2х348-1) = 20850.

И определим два числа, которые образуют эту сумму в 348-ой ЛЧМ и имеют наименьшую разность, - ближайшие к центру ЛЧМ числа ряда:

20850/2-2=10423 и 

20850/2+2=10427. 

 

Но давайте проверим наши вычисления.

Предыдущая ЛЧМ имеет порядковый номер 347.

Если в ЛЧМ с порядковым номером 348 первая матричная группа имеет порядковый номер 1041, то в в ЛЧМ с порядковым номером 347 последняя матричная группа имеет порядковый номер 1040.

И, следовательно, последнее число, которое соответствует ЛЧМ с m=347, это 10409.

Определяем сумму относительно центра двух этих ЛЧМ: 10409+10411=20820.

Мы помним, что ряд сумм относительно центров между последовательными ЛЧМ начинается с числа 60.  Делим сумму на 60:

20820/60=347.

Это лишь некоторые из свойств и количественных соотношений, которые были определены в ряду чисел, содержащем все простые числа и составные числа, полученные от перемножения членов образующегося ряда.

Вспомогательные ряды.

Что такое вспомогательный ряд?

Вспомогательный ряд, - это ряд чисел, образованный в результате последовательного перемножения одного члена основного ряда на все члены основного ряда.

Запишем вспомогательные ряды для членов ряда 7, 11, 13 и 17.

Первые 19 чисел вспомогательного  ряда  для числа  7 будут следующими:

7

49

77

91

119

133

161

203

217

259

287

301

329

343

371

413

427

469

497

 

Для числа 11 следующими:

11

77

121

143

187

209

253

319

341

407

451

473

517

539

583

649

671

737

781

 

Для 13-ти:

13

91

143

169

221

247

299

377

403

481

533

559

611

637

689

767

793

871

923

 

 Для 17-ти:

17

119

187

221

289

323

391

493

527

629

697

731

799

833

901

1003

1037

1139

1207

   Вспомогательные ряды содержат числа, которые нужно исключить из основного ряда, чтобы остались только простые числа.

 

Общая линейная числовая матрица вспомогательных рядов.

Построение вспомогательного ряда.

   На первый взгляд, все числа вспомогательных рядов  не может ничего объединять. Но оказывается, что это не так. Существует общая зависимость, которая позволяет записывать вспомогательные ряды, используя только одно правило. 

   Если для построения основного ряда мы использовали ЛЧМ, то в данном случае существует её аналог, - линейная числовая матрица для построения вспомогательных рядов. Используем для неё краткую запись, - ЛЧМв.

Запишем  ЛЧМв, она так же состоит из восьми чисел :

/  4     2     4     6     2     6     4     2 /

    Вот эта последовательность чисел и есть та числовая матрица, которая позволит нам выстраивать любой вспомогательный ряд.

            Первое,  что нужно сделать, это получить с помощью этой общей  матрицы, числовую матрицу для конкретного вспомогательного  ряда.

Создадим матрицу для вспомогательного ряда семёрки, - ЛЧМв7.  Для этого просто перемножим все числа вышеприведённой общей матрицы на 7, а результат запишем в строку:

/    28      14      28      42      14       42       28       14     /

 - это и есть матрица вспомогательного ряда для числа 7, - ЛЧМв7.

Точно так же получаем матрицу для числа 11, - перемножаем числа ЛЧМв на 11 , а результат записываем в виде новой матрицы:

/     44       22      44      66      22      66      44      22       /

 -  это матрица вспомогательного ряда для числа 11,  - ЛЧМв11.

Теперь рассмотрим, как  выстроить сам вспомогательный ряд с помощью такой матрицы. Для этого мы должны придерживаться определённого  порядка построения.

Выстроим вспомогательный ряд для числа 7.  

Но сначала запишем сам ряд, мы его выстроили ранее,  и познакомимся с некоторыми особенностями или свойствами ряда. Это поможет нам понять, как быстро и без длительных вычислений выстраивать  этот  вспомогательный ряд.

Записываем сам ряд, полученный от перемножения каждого члена основного ряда на число 7: 

 7  49  77  91  /  119  133  161 203  /  217  259  287  301  /  329  343  371 413  /  427 469  497 511..

Я сразу разделил весь ряд на группы, в каждой из которых 4 члена ряда. Нетрудно заметить, что числа, которые выделены красным цветом, при попарном поочерёдном сложении образуют следующий ряд сумм: 

 

210,  420, 630, 840...

 

Это такие же точки ряда, - отмеченные косой чертой, - как и в основном ряду, относительно которых суммы двух равноудалённых членов ряда равны. Нам будет необходима только первая сумма, число 210.

Первая сумма в любом вспомогательном ряду всегда может быть определена как

S_v = 30A,

  где А, – это  число, равное общему множителю при построении вспомогательного ряда, - в данном случае это число 7.  Таким образом, первая сумма равна

 S_v = 30х7 = 210. 

Теперь мы определяем  два последовательных числа вспомогательного ряда, сумма которых равна  210. Для этого существует две общих несложных  формулы:

В₁ = 30А/2 – 2А    и    В₂ = 30А/2 + 2А,

таким образом получаем,  В₁ = 91 и В₂ = 119.

И вот теперь, чтобы выстроить весь вспомогательный ряд  для 7-ки, воспользуемся этими двумя числами и матрицей вспомогательного ряда 7-ки

         /     28     14     28     42     14     42     28     14   /

Первое число ЛЧМв7, - это 28. Оно равно разности двух последовательных членов ряда  119-91 = 28, тех которые мы определили.  Все остальные числа  матрицы, - это разности между каждыми двумя последующими членами вспомогательного ряда. Нам нужно просто прибавить следующее число матрицы, - число 14, - к члену ряда 119 и получить следующий за ним член ряда:

119+14 = 133, далее 133+28 = 161, далее 161+42 = 203...

Вот так с помощью матрицы и выстраивается вспомогательный ряд  для 7-ки. Сама матрица повторяется многократно. Не нужно производить операцию умножения. Пользуемся только сложением. По этой причине, после того как мы определим очередной член ряда, прибавив последнее число из матрицы, 287+14=301, - мы возвращаемся к первому числу матрицы и продолжаем построение ряда: 301+28=329.

Всё дело в том, что во всех вспомогательных рядах, непосредственно сами разности между двумя последовательными членами ряда циклически повторяются.  Повторяющаяся группа из таких разностей и образует саму ЛЧМвN, - линейную числовую матрицу lвспомогательного ряда для числа N из основного ряда.

(7)	(49)	(77)	91		119		133		161		203		217		259		287		301		329		343		371		413		427		469		497		511
				+28		+14		+28		+42		+14		+42		+28		+14		+28		+14		+28		+42		+14		+42		+28		+14

И вот так в каждом вспомогательном ряду. Одно правило для всех рядов.

Но, всё же,  давайте составим вспомогательный ряд ещё для одного числа.

С помощью ЛЧМв:

/  4      2      4     6     2     6     4     2 /

получаем ЛЧМв13, - просто перемножаем числа общей линейной числовой матрицы для построения вспомогательных рядов на 13 и записываем новую матрицу:

/  52   26   52   78   26   78   52   26  /

Теперь,  по уже известным формулам определяем первую сумму:

13х30 = 390.

 И определяем два последовательных числа, образующие эту сумму

 390/2-26 = 195-26 = 169  и  390/2+26 = 195+26 = 221.

Разность чисел 221 и 169 равна 52,  - это первое число в ЛЧМв13.  Всё что нам нужно у нас есть. Теперь начинаем построение ряда, прибавляя к большему числу следующее число из матрицы. Записываем полученный результат  во вспомогательный ряд. И снова, к последнему члену вспомогательного ряда прибавляем следующее число из матрицы, - затем к полученному числу следующее... – и так до бесконечности.

(13)	(91)	(143)	169		221		257		299		377		403		481		533		559		611		637		689		767		793		871		923		949
				+52		+26		+52		+78		+26		+78		+52		+26		+52		+26		+52		+78		+26		+78		+52		+26

  Теперь обратим внимание на следующее. Данный ряд начинается сразу с числа 169. Первые три числа, взятые в круглые скобки, ещё не определены. Как и в предыдущей таблице. Но мы уже знаем, что вспомогательный ряд всегда начинается с числа, которое и является общим множителем. Следовательно, этот ряд не полный. Нужно устранить этот пробел и дополнить его первыми членами ряда. Поскольку сумма двух чисел,  169 и  221, - это первая сумма  которую мы определили,  и поскольку мы знаем, что относительно неё сумма двух любых равноудалённых членов ряда равна 390, то мы без труда определяем и вписываем недостающие члены ряда:

390 – 247 = 143,   390 – 299 = 91  и  390 – 377 = 13, 

- до получения общего множителя, числа 13.

Теперь ряд  начинается с первого члена:

   13   91   143   169   221   247   299   377…  

И в завершение нужно сказать о следующем.

   Кому то может показаться примитивными все эти рассуждения, но не стоит делать поспешных выводов. Мы знакомимся с самими основами, с теми количественными соотношениями, которые и позволят нам не слепо и по подобию общих формул получать сразу результат, а позволят понять, как соотносятся количественно числовые величины.  Это позволит нам прийти к главной цели, - получить ряд простых чисел. Общие формулы будут определены в своё время, а сейчас мы как первоклассники знакомимся с правилами и порядками количественных взаимоотношений, которые существуют и которые должны быть определены и поняты.

   С чего начиналось наше знакомство с рядом натуральных чисел? – С правил его построения. Со знакомства с теми количественными соотношениями, которые в нём присутствуют: для получения следующего члена ряда нужно прибавить к предыдущему единицу, чётное число делится на 2, нечётное число не делится на 2 нацело… и так далее.

   В данном же случае мы с вами проходим тот же путь, но немного в другой области чисел. И наша задача, - получить в итоге единый алгоритм исключения абсолютно всех составных чисел из основного ряда, а по пути следования к цели определить все правила и порядки, чтобы в этой области не оставить белых пятен.

Научная новизна. Определён и использован для наглядной демонстрации порядок распределения простых чисел в ряду, содержащем простые числа и числа, полученные от перемножения членов данного ряда.  Кроме этого нужно обратить внимание на тот факт, что в отличие от решета Эратосфена, для определения простых чисел используется не весь ряд натуральных чисел, а только первые 13 простых чисел. При этом, из первых 110 чисел натурального ряда определяются 27 простых чисел, а в ряду, построенном с применением ЛЧМ, из первых 110 чисел определяются 78 простых чисел. Таким образом данный метод позволяет получить ряд чисел с большей плотностью распределения простых чисел.      

Результаты. Определена линейная числовая матрица и наглядно продемонстрировано соответствие составляющих её цифр последним цифрам в числах ряда. Произведено начальное ознакомление с некоторыми свойствами числового ряда, содержащего простые числа. Определён алгоритм построения ряда простых чисел. В 2014 году была создана первая версия компьютерной программы для проверки продемонстрированного алгоритма. Тестирование  показало 100 процентную результативность при построении ряда простых чисел до 1232-го порядкового номера. 

Заключение. В данной работе показано, что гипотеза Римана, с предположением о существовании закономерности в распределении простых чисел, была верна.

[1] Николенко С. Проблемы 2000 года: гипотеза Римана // Компьютерра. — 2005. — Вып. 35.
[2] Дербишир, Джон. Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике. Астрель, 2010. 464 с.
[3] Наука и жизнь N3. Из жизни простых чисел. Март 2016 г.

Рецензии:

11.08.2017, 2:04 Назарова Ольга Петровна
Рецензия: умница, статья рекомендуется к печати, проделана большая работа.

Комментарии пользователей:

24.07.2017, 12:29 Танченко Владимир Евгеньевич Отзыв: Неужели всё так плохо, если нет ни какой реакции? Отрицательный отзыв, - он тоже отзыв, - указывает на ошибки.

13.08.2017, 13:47 Танченко Владимир Евгеньевич Отзыв: Спасибо Ольга Петровна за оценку работы и за рекомендацию.

5.03.2021, 20:04 Танченко Владимир Евгеньевич Отзыв: Прошло 3 года. Неужели никого не интересует как устроен ряд простых чисел? - Удивительное безразличие к математике....

5.03.2021, 20:23 Танченко Владимир Евгеньевич Отзыв: Или пытаетесь найти зависимость и порядок на основании опубликованного? Напрасно...

Оставить комментарий