Разделы: Математика
Размещена 09.09.2017. Последняя правка: 15.09.2017.
Просмотров - 2321

Количественные соотношения степеней с чётными и нечётными целыми положительными основаниями, Великая теорема Ферма, гипотеза abc и равенство Каталана.

Танченко Владимир Евгеньевич

Консерваторион

дежурный администратор

УДК 510

Введение:

  Считается признанным факт [1], что теорему Ферма достаточно доказать в случаях, когда n = 4 и n является простым числом. С помощью метода бесконечного спуска случай n = 4 был решен самим Ферма, а  позже Эйлером.

  Эндрю Уайлс доказал в 1993г.  [2] гипотезу Таниямы-Шимуры, из которой следует теорема Ферма для всех простых показателей степени n.  Но данное доказательство  занимает 150 страниц печатного текста [3]. При этом, сами доказательства для случаев  n = 4 и n = p, – это разные математические теории. Принципиально разные. А лаконично сформулированная задача  Ферма должна иметь и соответствующее решение, - решение подобного рода.

   Так же существуют два утверждения, что, при условии справедливости гипотезы Била, великую теорему Ферма можно доказать от противного или она автоматически считается доказанной.  Кроме этого существует ещё одно утверждение, согласно которому доказательство гипотезы  Эстерле -Массера (abc-гипотеза), позволит провести еще одно доказательство великой теоремы Ферма для больших степеней. 

  В данной работе предпринята попытка показать, что Великая теорема Ферма имеет простое объяснение, без привлечения гипотезы Била, доказательства Эндрю Уайлса и гипотезы abc.

Актуальность. Показать на конкретном примере, что иногда сложные математические задачи имеют простое объяснение и решение.

Цели и задачи. Применить правило количественного соотношения степеней с чётными и нечётными целыми положительными основаниями для подтверждения высказывания  Пьера Ферма о существовании «удивительного свойства» степеней и подтвердить неразрешимость равенства Ферма в натуральных числах.

Теорема Ферма:

При значениях n > 2 уравнения вида xⁿ + yⁿ = zⁿ не имеют ненулевых решений в натуральных числах.

  Приведём утверждение самого Пьера Ферма: «Наоборот, невозможно разложить куб на два куба, биквадрат на два биквадрата и вообще никакую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем. Я нашёл этому поистине чудесное доказательство, но поля книги слишком узки для него.»

Из данного утверждения следует, что приведённое выше равенство может иметь два варианта записи:

I. xⁿ + yⁿ = zⁿ,  где  xⁿ и  yⁿ имеют нечётные основания, а  zⁿ  имеет чётное основание.

II. xⁿ - yⁿ = zⁿ,  где  xⁿ и  yⁿ имеют нечётные основания, а  zⁿ  имеет чётное основание.

При этом мы будем рассматривать основания  x, y, z,  как тройку взаимно простых чисел, не имеющих общего делителя.

Запишем равенство, устанавливающее количественные соотношения степеней нечётных и чётных натуральных чисел [4] для натуральных показателей степени n>2:

Zⁿ_m = kZⁿ_m-1 = k^mDⁿ,           (1)

где n>2, m>0, k=2ⁿ, D – нечётное число, а n, m, D, Z – натуральные числа.

Таким образом,  zⁿ = k^mDⁿ.

Следующим шагом, откажемся от выполнения условия минимальности выбора [5] для оснований  x,  y и  определителя D.

Это означает, что при выполнении условия взаимной простоты членов равенства в I. и II., сами основания  x  и y могут быть представлены в виде степеней. Например: x = 3⁷, y = 7³.

А при факторизации определителя D, в составе множителей могут одновременно присутствовать множители из факторизованных чисел  x  и y, при условии взаимной простоты  x  и y.

Задержим наше внимание на члене равенства  zⁿ = k^mDⁿ.

Если мы представляем отдельное чётное натуральное число в виде k^mDⁿ, то как было отмечено ранее, согласно общепринятой терминологии, мы производим факторизацию числа, - представляем данное натуральное число в виде его простых сомножителей:

242 = 2*11² ,  164 = 2²*41 ,  21952 = 2⁶*7³ ,  17000 = 2³*5³*17.

Иногда, в определённых математических задачах, необходимо «свернуть» или «развернуть» группу множителей. Например, приведённое в качестве примера, факторизованное число  17000 = 2³*5³*17 имеет три множителя: k³D³₂D₆ , где нижний индекс при определителе D соответствует порядковому номеру простого числа в ряду простых нечётных чисел.

 Мы имеем возможность «свернуть» три множителя до двух, представив данное произведение в виде суммы или разности двух других факторизованных чисел, каждое из которых представлено произведением двух простых множителей.

Представим в виде суммы:

a.1.   k³D³₂D₆ = 2³*5³*17 = 2³*5³(2⁴ + 1) = 2⁷*5³ + 2³*5³ = k⁷D³₂ + k³D³₂ = 17000.

Представим в виде разности: 

a.2.   k³D³₂D₆ = 2³*5³*17 = 2³*5³(5² - 2³) = 2³*5⁵ - 2⁶*5³ = k³D⁵₂ - k⁶D³₂ = 17000.

Аналогичным образом мы можем «развернуть» группу множителей до необходимого их количества.

Представим факторизованное число в виде суммы двух факторизованных чисел  с равными показателями степеней двух сомножителей из трёх:

b.1.    21952 = k⁶D³₃ = 2⁶*7³  = 8*2³7³ = 2³7³*3 + 2³7³*5 = k³D³₃D¹₁  + k³D³₃D¹₂.

Теперь в виде разности: 

b.2.   21952 = k⁶D³₃ = 2⁶*7³  = 8*2³7³ = 2³7³*13 - 2³7³*5 = k³D³₃D¹₅  - k³D³₃D¹₂.

При этом отметим, что в зависимости от решаемой задачи, в качестве числового  коэффициента, которым мы оперируем для «сворачивания» или «разворачивания» количества множителей и представления в виде суммы или разности двух факторизованных чисел, может использоваться как коэффициент кратности k^m, так и определитель  Dⁿ. В вышеприведённых примерах мы оперировали и определителем Dⁿ , и коэффициентом кратности k^m, - они выделены красным цветом.

Но во всех случаях, избавившись от общего множителя у членов равенств, мы приходим к нелинейным диофантовым  равенствам с различными показателями степени :

a.1.   k³D³₂D₆  =  k⁷D³₂ + k³D³₂ ,   =>  D₆  =  k⁴+ 1.

a.2.   k³D³₂D₆  = k³D⁵₂ - k⁶D³₂ ,   =>  D₆  = D²₂ – k³.

b.1.   k⁶D³₃ = k³D³₃D¹₁  + k³D³₃D¹₂ ,    =>  k³= D¹₁  + D¹₂ .

b.2.   k⁶D³₃ = k³D³₃D¹₅  - k³D³₃D¹₂ ,    =>  k³= D¹₅  - D¹₂ .

Таким образом, мы уже имеем наглядный пример того, что при представлении факторизованного чётного натурального числа в виде разности или суммы двух других факторизованных чисел, все факторизованные члены равенства имеют общий множитель.

Но прежде чем перейти к рассмотрению общего случая, рассмотрим следующую задачу, которая наглядно демонстрирует возможность нахождения решения, используя представление степени с чётным основанием в виде двух слагаемых и последующим  исключением общего множителя.

Запишем  равенство Каталана:

1+2³=3²,

где  коэффициент кратности k или определитель D можно представить, соответственно,  как 2³ = 3² – 1 или 3² = 2³ + 1.

Мы понимаем, что само равенство 1+2³=3² представлено тройкой взаимно простых чисел  1, 3²-1, 2³+1 и радикал всего выражения меньше суммы слагаемых : rad(1*2*3)<3². 

Поскольку любое чётное число мы можем представить в виде k^mDⁿ, и затем  представить в виде суммы двух других чисел двумя следующими способами,

k^mDⁿ = vDⁿ + (k^m-v)Dⁿ  или  Dⁿk^m = vk^m + (Dⁿ-v)k^m  ,

то, приняв определитель D=3²,  и разделив в равенстве  Dⁿk^m = vk^m + (Dⁿ-v)k^m  все члены равенства на общий множитель k^m ,  получаем равенство для любых значений D в степени n>0, при v=1:

 9ⁿ = 1 + (9ⁿ-1), откуда можем определять тройки взаимно простых чисел, удовлетворяющих требованию гипотезы abc.

Например, это следующие тройки чисел abc:

1, 8, 9; 

1, 80, 81; 

1, 728, 729;

1, 6560, 6561; 

1, 59048, 59049; 

1, 531440,  531441; 

1, 4782968, 4782969; 

1, 43046720, 43046721; …

Вместе с этим, в качестве небольшого отступления, нужно сказать о следующем.

Поскольку в самом начале упоминается о связи между гипотезой Великая теорема Ферма и гипотезой Била, приведём ещё два равенства, которые имеют логическую связь с вышеприведёнными рассуждениями.

Нам известно, что степень с основанием 2 и показателем n можно представить в виде суммы двух равных степеней c показателями степени n-1:

Если k=2ⁿ=2^n-1 + 2^n-1,

то применив общий множитель (D^n-1)ⁿ , приходим к равенству вида   

2ⁿ (D^n-1)ⁿ=2^n-1(Dⁿ)^n-1 + 2^n-1(Dⁿ)^n-1 .

А поскольку для любых натуральных  а, m, n  верно  (a^m)ⁿ = (aⁿ)^m, мы можем преобразовать полученное равенство в равенство Била.

В другом случае, мы можем рассматривать равенство

kDⁿ = Dⁿ + (k-1)Dⁿ

в качестве равенства общего вида. Для этого в коэффициенте кратности k=2ⁿ заменим число 2 на переменную а.

Мы получаем равенство

aⁿDⁿ = Dⁿ + (aⁿ -1)Dⁿ, где а можем рассматривать как любое натуральное число.

Приняв (aⁿ -1)=D, приходим к равенству вида:

aⁿ(aⁿ -1)ⁿ = (aⁿ -1)ⁿ + (aⁿ -1)ⁿ⁺¹, где  происходит повышение показателя степени у одного из членов равенства.

И в этом случае, поскольку для любых натуральных  а, m, n  верно  (a^m)ⁿ = (aⁿ)^m, мы можем преобразовать полученное равенство в равенство Била.

Эти приведённые в качестве примера два равенства могут рассматриваться независимо от равенства Ферма.

В итоге мы приходим к тому, что рассматривая равенство Ферма, мы можем вовсе пренебречь двумя членами равенства, - двумя степенями с нечётными основаниями, - и анализировать только один член равенства, - факторизованную степень с чётным основанием.

Таким образом, мы должны убедиться в следующем:

можно или нет представить степень с чётным основанием и показателем степени n>2, в виде суммы или разности двух других степеней с равными показателями степени, при выполнении для этих двух степеней условия минимальности выбора.

Или,  сформулируем задачу словами самого Пьера Ферма:

Возможно ли «…разложить куб на два куба, биквадрат на два биквадрата и вообще… степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем»?

Рассуждаем следующим образом.

Пусть Zⁿ – натуральное чётное число. Тогда мы можем записать:

                                                            Xⁿ + Yⁿ = Zⁿ_m = k^mDⁿ,                           

где  n>2,  m>0,  k=2ⁿ, а  X, Y, Z, – нечётные натуральные взаимно простые числа и n, m - натуральные числа.

Поскольку степени  Xⁿ и Yⁿ имеют нечётные основания, то каждое из них  является определителем  для соответствующего ряда чётных степеней. Переобозначим их как определители  Dⁿ_x и Dⁿ_y.

Следовательно, сумма двух нечётных степеней Dⁿ_x и Dⁿ_y равна чётной степени k^mDⁿ_z , и мы можем записать следующие равенства:

       для общего случая    Dⁿ_x + Dⁿ_y = Zⁿ_m = k^mDⁿ_z, и                   (2) 

                    для частного случая  при любом показателе степени n>2

                             Dⁿ_x  + Dⁿ_y = Zⁿ₁ = kDⁿ_z= 2ⁿDⁿ_z .                   (3)

А. Рассмотрим случай  (3), используя в качестве числового коэффициента коэффициент кратности 2ⁿ.

В соответствии с распределительным законом умножения, степень 2ⁿDⁿ_z можно представить в виде двух слагаемых следующими способами: 

1.    2ⁿDⁿ_z = Dⁿ_z + (2ⁿ-1)Dⁿ_z,

2.    2ⁿDⁿ_z = 2Dⁿ_z + (2ⁿ-2)Dⁿ_z,

3.   2ⁿDⁿ_z = 3Dⁿ_z + (2ⁿ-3)Dⁿ_z,

4.   2ⁿDⁿ_z = 4Dⁿ_z + (2ⁿ-4)Dⁿ_z,

…

N.  2ⁿDⁿ_z = VDⁿ_z + (2ⁿ-V)Dⁿ_z,  где  (2ⁿ/2) >V>0, Dⁿ_x= VDⁿ_z , Dⁿ_y =  (2ⁿ-V)Dⁿ_z.

Но мы видим, что это противоречит начальным условиям:

- все члены равенства имеют общий множитель,

- в половине случаев, - в равенствах с чётными порядковыми номерами, - все члены равенств являются чётными.

Для случая разности двух степеней с нечётными основаниями, равенство 1. приобретает вид

   2ⁿDⁿ_z =  (2ⁿ+1)Dⁿ_z - Dⁿ_z,

Что приводит к тем же противоречиям.

В. Рассмотрим случай (2) , используя в качестве числового коэффициента коэффициент кратности  k^m .

Как и в предыдущем случае, степень k^mDⁿ_z можно представить в виде двух слагаемых следующими способами: 

1.   k^mDⁿ_z = Dⁿ_z + (k^m-1)Dⁿ_z,

2.   k^mDⁿ_z = 2Dⁿ_z + (k^m-2)Dⁿ_z,

3.   k^mDⁿ_z = 3Dⁿ_z + (k^m-3)Dⁿ_z,

4.   k^mDⁿ_z = 4Dⁿ_z + (k^m-4)Dⁿ_z,

…

N.  k^mDⁿ_z = VDⁿ_z + (k^m-V)Dⁿ_z, где  (k^m/2) >V>0, Dⁿ_x= VDⁿ_z , Dⁿ_y =  (k^m-V)Dⁿ_z.

Независимо от показателя степени мы снова получаем противоречие начальным условиям:

- все члены равенства имеют общий множитель,

- в половине случаев, - в равенствах с чётными порядковыми номерами, - все члены равенств являются чётными.

Для случая разности двух степеней с нечётными основаниями, равенство 1. приобретает вид

k^mDⁿ_z =  (k^m+1)Dⁿ_z - Dⁿ_z,

Что приводит к тем же противоречиям.

С. Теперь рассмотрим случай  (3), используя в качестве числового коэффициента определитель Dⁿ_z .

Степень 2ⁿDⁿ_z можно представить в виде двух слагаемых следующими способами: 

1.    2ⁿDⁿ_z = 2ⁿ + 2ⁿ(Dⁿ_z -1),

2.    2ⁿDⁿ_z = 2*2ⁿ + 2ⁿ(Dⁿ_z -2),

3.   2ⁿDⁿ_z = 3*2ⁿ + 2ⁿ(Dⁿ_z -3),  

…

Откуда, уже на данном этапе, совершенно очевидно, что все члены равенств во всех случаях  будут  чётными  и имеют общий множитель, - что противоречит начальным условиям о взаимной простоте членов равенства.  

 Мы можем сделать следующий вывод:  способов представить степень с чётным основанием в виде суммы или разности двух других степеней с нечётными основаниями и равными показателями степени n>2, - не существует.

Совершенно очевидным является и то, что сама математическая операция со степенями с нечётными основаниями не имеет значения. - Независимо от того, слагаем мы или вычитаем две степени с нечётными основаниями, - мы получаем результат, который является чётным. Следовательно, - повторимся, - нам необходимо было просто проанализировать, - можем ли мы представить факторизованную степень с чётным основанием в виде суммы или разности двух других степеней с тем же показателем степени. – Собственно сделать то, о чём говорит сам Ферма : «…разложить куб на два куба, биквадрат на два биквадрата…».

То есть, это задача того же плана, что и проблема Гольдбаха о представлении любого чётного числа начиная с 4-х в виде суммы двух простых чисел, с той лишь разницей, что для решения проблемы Гольдбаха нам нужно установить порядок чередования пар простых нечётных равноудалённых чисел относительно среднего арифметического любого чётного числа.   

Теперь уделим немного внимания методу бесконечного спуска, который применял Пьер Ферма.

Непосредственно появление самого метода бесконечного спуска в вычислениях Ферма можно рассматривать следующим образом.

Поскольку мы могли убедиться в том, что применение метода конечного спуска [6] к любой степени с чётным основанием  позволяет получить значение нечётного простого определителя D, то, вероятнее всего Пьером Ферма был использован метод рассуждения  от обратного, когда предположение о делимости остальных членов равенства приводит к противоречию:

«Часто метод бесконечного спуска используется для доказательства того, что у некоторого уравнения нет решений по следующей схеме. Из предположения, что решение существует, доказывается существование другого решения, которое в некотором смысле меньше. Тогда можно построить бесконечную цепочку решений, каждое из которых меньше предыдущего. Это вызывает противоречие с тем, что в любом непустом подмножестве натуральных чисел есть минимальный элемент, значит предположение о существовании начального решения неверно.» [7]

В противном случае, если мы огласим это правило  количественного соотношения степеней нечётных и чётных натуральных чисел, а так же огласим метод конечного спуска для степеней с чётными основаниями,  - нам будет бессмысленно формулировать утверждение, которое сделал Пьер Ферма.  – Но это не удивительно для самого Пьера Ферма, который многие свои выводы и заключения представлял без должного и необходимого обоснования, а потому просто мог не оглашать замеченное свойство, а попробовал рассуждать от противного, чтобы прийти к логическому противоречию. Вот эти оставленные им рассуждения мы и начали использовать в математике в качестве математического инструмента и называть методом бесконечного спуска. Бесспорно, что сам метод появился и применялся задолго до математических исследований Пьера Ферма, но в данном случае мы говорим о его применении автором известной теоремы.  

Данную точку зрения или предположение можно воспринимать по-разному, но в данный момент это уже не имеет ни какого принципиального значения.

В итоге формулируем вывод,  с использованием слов самого Пьера Ферма:

«…невозможно разложить куб на два куба, биквадрат на два биквадрата и вообще никакую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем» по той причине, что степень с чётным основанием и показателем степени n>2, невозможно представить в виде суммы или разности двух других степеней с тем же показателем  степени.

Научная новизна. Определено и на практике применено для решения сложной задачи новое правило количественного соотношения степеней с основаниями разной чётности.

Результаты. Правило количественного соотношения степеней с основаниями разной чётности успешно применено для подтверждения утверждения Пьера Ферма о существовании «удивительного свойства» степеней.

Заключение. В данной работе показано, что Великая теорема Ферма имеет простое объяснение, без привлечения доказательства гипотезы abc, доказательства Эндрю Уайлса и доказательства гипотезы Била. Данную работу можно рассматривать как доказательство верности утверждения Пьера Ферма, сформулированного в гипотезе Великая теорема Ферма.

1. Боревич З. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел. – М.: Наука, 1982.
2. Саймон Сингх. Великая теорема Ферма. — МЦНМО, 2000.
3. Соловьев Ю. П. Гипотеза Таниямы и последняя теорема Ферма. Соровский образовательный журнал, №2, 1998.
4. Танченко В. Е. Количественные соотношения степеней с чётными и нечётными целыми положительными основаниями. Гипотеза Била и великая теорема Ферма// Электронный периодический рецензируемый научный журнал "SCI-ARTICLE.RU". Год 2017, номер 47 (июль), математика, страница 100. URL: http://sci-article.ru/number/07_2017.pdf (дата обращения: 08.09.2017)
5. Танченко В. Е. Количественные соотношения степеней с чётными и нечётными целыми положительными основаниями. Гипотеза Била и великая теорема Ферма// Электронный периодический рецензируемый научный журнал "SCI-ARTICLE.RU". Год 2017, номер 47 (июль), математика, страница 100. URL: http://sci-article.ru/number/07_2017.pdf (дата обращения: 08.09.2017)
6. Танченко В. Е. Количественные соотношения степеней с чётными и нечётными целыми положительными основаниями. Гипотеза Била и великая теорема Ферма// Электронный периодический рецензируемый научный журнал "SCI-ARTICLE.RU". Год 2017, номер 47 (июль), математика, страница 101. URL: http://sci-article.ru/number/07_2017.pdf (дата обращения: 08.09.2017)
7. Википедия — свободная энциклопедия. Метод бесконечного спуска [Электронный ресурс] : математика // URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/Метод_бесконечного_спуска (дата обращения 08.09.2017)

Комментарии пользователей:

11.09.2017, 13:20 Танченко Владимир Евгеньевич Отзыв: Уважаемый Вадим Григорьевич, а что, в этой работе имеются места, которые дают основания ссылаться на Ваши статьи? С уважением, Владимир Танченко.

4.10.2017, 18:37 Танченко Владимир Евгеньевич Отзыв: Уважаемые члены редколлегии, я очень надеюсь, что появятся конкретные замечания, указания на ошибки и предметная критика, которые позволят мне представить окончательный, исправленный и доработанный вариант для публикации. Заранее благодарен. С уважением, Владимир Танченко.

Оставить комментарий