Статья опубликована в №52 (декабрь) 2017
Разделы: Техника
Размещена 15.12.2017.
Просмотров - 1662

ФАКТОР АНАЛОГИИ РЕЙНОЛЬДСА ДЛЯ ДЕТЕРМИНИРОВАНИЯ ИНТЕНСИФИЦИРОВАННОГО ТЕПЛООБМЕНА ДЛЯ ТРУБ С ТУРБУЛИЗАТОРАМИ В ОКРЕСТНОСТИ ТОЧКИ ПРИСОЕДИНЕНИЯ ТУРБУЛЕНТНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ

Лобанов Игорь Евгеньевич

доктор технических наук

Московский авиационный институт

ведущий научный сотрудник

УДК 532.517.4 : 536.24

1. ВВЕДЕНИЕ

Общеизвестно, что основное термическое сопротивление в дозвуковом движущемся потоке сосредоточено, в основном, близко к стенке канала. Термическое сопротивление движущегося в трубе потока в зависимости от молекулярного числа Прандтля относительно неравномерно распределено по нормали к потоку. Базируясь на трехслойной схеме потока (турбулентное ядро, буферный подслой, вязкий подслой), можно утверждать, что для газообразных теплоносителей большая часть термического сопротивления находится в буферном подслое, а для теплоносителей в виде капельных жидкостей — в ламинарном подлое. Ощутимая часть термического сопротивления имеет место также в турбулентном ядре потока [1—5].

Перераспределение термического сопротивления по подслоям для труб с турбулизаторами имеет место следующим образом: в вязком подслое доля термического сопротивления остаётся приблизительно такой же, что и для гладкой трубы; для промежуточного подслоя она возрастает; для турбулентного ядра она снижается; для турбулентного ядра во впадине она значительно увеличивается [3—5]. Вышеупомянутый характер перераспределения термического сопротивления сильнее выражен для относительно больших турбулизаторов [3—5]. Последнее обусловливает интенсификацию теплообмена путём воздействия на пристенный слой, для чего следует снижать термическое сопротивление и толщину пристенного слоя за счёт искусственной турбулизации потока.

Посредством установки поверхностных поперечно расположенных турбулизаторов потока отрывное и повторно присоединённое течение в турбулентных пограничных слоях турбулизируется, что способствует интенсификации теплообмена.

В точке присоединения турбулентного пограничного слоя имеет место максимальный локальный (местный) теплообмен [1—2].

Турбулентные вязкость и теплопроводность в пограничном слое увеличиваются вследствие искусственной турбулизации потока, но это приводит к увеличению гидравлических потерь, однако и при равном увеличении коэффициентов теплоотдачи и гидравлическеого сопротивления может быть рост теплоотдачи при равных потерях мощности.

В развитом турбулентном течении теплоотдача и трение увеличиваются с увеличении степени турбулентности в набегающем потоке, а фактор аналогии Рейнольдса r=2St/c_f (с_f — коэффициент трения, St — число Стентона) возрастает в этом случае; возрастание может быть порядка десятков процентов.

Вследствие срыва потока с вершин выступов в трубах с турбулизаторами происходит периодическая генерация турбулентности, после чего отрывной поток присоединяется к поверхности при обеспечениим необходимого расстояния от вершины выступа, что находится в прямой зависимости от расстояния между выступами: от (4...5) до (6...8) высот выступа h.

В области присоединения пограничный слой с положительным градиентом давления имеет благоприятное соотношение между гидросопротивлением и теплообменом.

Сделав вывод из вышеизложенного, можно заключить, что задача теоретического определения интенсифицированного теплообмена в трубах с турбулизаторами в точке присоединения турбулентного пограничного слоя актуальна.

Определение интенсифицированного теплообмена проводится по модифицированной аналогии Рейнольдса при учёте аэродинамических характеристик и диффузорности потока турбулентного пограничного слоя.

2. МАТЕМАТИЧЕСАЯ МОДЕЛЬ ИНТЕНСИФИКАЦИИ ТЕПЛООБМЕНА В ТРУБАХ С ТУРБУЛИЗАТОРАМИ В ОКРЕСТНОСТИ ТОЧКИ ПРИСОЕДИНЕНИЯ ПОТОКА

 

Плотность теплового потока в турбулентном пограничном слое определяется следующим образом:

(1)

где y — поперечная координата; Т — температура; q — плотность теплового потока; λ_Т — теплопроводность (турбулентная).
Чтобы вывести дальнейшие соотношения необходимо ввести безразмерные величины:

(2)

 где w_¥ — значение продольной составляющей скорости на внешней границе пограничного слоя или за пограничным слоем; w — продольная составляющая скорости; q_w — плотность теплового потока на стенке; t — касательные напряжения, касательные напряжения на стенке; t_w —касательные напряжения на стенке; y — поперечная координата, отсчитываемая от стенки; d — толщина пограничного слоя.

Формула (1) примет следующий вид после введения безразмерных величин (2):
(3)

где с_р — изобарная теплоёмкость; ρ — плотность; Pr_T — турбулентное число Прандтля.

Преобразуем (3) к следующему виду:
(4)

Теперь следует проинтегрировать по всей толщине теплового пограничного слоя:
(5)

где Т_w — температура стенки.

Число Стентона, отнесённое к параметрам внешнего потока, будет следующим:

(6)

где Т с индексом "бесконечность" — температура за пограничным слоем.

В дальнейшем следует отнести выведенное ранее число Стентона по определяющим параметрам  внешнего потока — к усреднённым параметрам по диаметру трубы:

(7)

где  .

Далее оптимальнее всего аппроксимировать безразмерные характеристики  и  кубическими параболами, как, например, сделано в работах [1, 2], т.к. вплоть до точки отрыва данные аппроксимации довольно хорошо согласуются с экспериментом [1, 2]. Вышеуказанные аппроксимационные зависимости выглядят следующим образом [1, 2]:
(8)

(9)
где p — давление; Ф — аэродинамическая кривизна потока ; x — продольная координата.

Теоретическое решение задачи об интенсифицированном теплообмене получается при помощи решения следующей системы уравнений —  —  при следующих граничных условиях:

(10)
Второе граничное условие (10) — это следствие уравнения движения турбулентного пограничного слоя.

В диффузорных течениях по сравнению с безградиентными течениями основное термическое сопротивление сосредоточено в слоях с гораздо большей толщиной. Для безградиентных течений при расчёте теплообмена можно считать практически постоянным турбулентное число Прандтля по высоте турбулентного пограничного слоя. Однако, для диффузорных течений турбулентное число Прандтля уже нельзя считать неизменным и необходимо учитывать его изменение по высоте турбулентного пограничного слоя, т.к. это изменение может быть довольно значительным.

Далее в целях детерминирования интенсифицированного теплообмена оптимальнее всего аппроксимировать турбулентное число Прандтля Pr_T следующим способом [1, 2]:
(11)

Для данной постановки задачи будет вполне достаточной аппроксимация (11), а более сложные зависимости от поперечной координаты турбулентного числа Прандтля могут содержать экспоненциальные и т.п. функции [6].

Детерминируем профиль скорости в турбулентном пограничном слое. Можно утверждать, что вплоть до отрывного течения профиль скорости в турбулентном пограничном слое в достаточной мере строго подчиняется т.н. "степенному закону" [7]:
(12)

где Н — формопараметр профиля скорости, равный отношению толщины вытеснения  
к толщине потери импульса  где ρ  — плотность (индекс "бесконечность" означает её значение на внешней границе пограничного слоя или за пограничным слоем).

Приведённые интегральные параметры типа толщины вытеснения или толщины потери импульса обладают следующими особенностями: увеличение верхнего предела интегрирования в области  мало меняет их значения.

Cледует сказать, что логарифмический профиль скоростей в турбулентном пограничном слое есть огибающая семейства степенных профилей следующего вида:

(13)                

 где φ и η — безразмерные скорость и координата соответственно (обезразмеривание производится по динамической скорости ("скорости трения")).

К примеру, для гладкой непроницаемой пластины для турбулентного пограничного слоя несжимаемой жидкости можно записать:

(14)

Вышеуказанное позволило определить число Стентона (16) для рассматриваемых в работе условий теплообмена в зависимости от аэродинамической кривизны потока и формопараметра профиля скорости после учёта соотношения для средней расходной скорости (15):

(15)

(16)
где 

Расчёт числа Стентона St в предположении постоянства турбулентного числа Прандтля Pr_T даёт ощутимые погрешности, которые особенно велики для сильнодиффузорных потоков [1, 2].

Получение результатов расчётных значений St(2/c)=f(Ф, H)  по зависимости (16) можно численным методом, но в большинстве случаев возможно аналитическое решение.

Чтобы получить аналитическое решение, необходимо следующие функции разложить в ряд:
(17)
(18)

Безразмерная координата в любом случае положительна, причём меньше единицы, следовательно условие (18) в любом случае всегда выполнимо, но условие (17) выполнимо не всегда — оно не выполняется в области больших значений аэродинамической кривизны потока, что имеет место в областях присоединения турбулентного пограничного слоя.

Вышеуказанное вполне может привести к неустойчивому аналитическому решению, т.к. может привести к расхождению первого интеграла в знаменателе (16), поскольку пределы интегрирования там малы. К примеру, чтобы обеспечить верхний безразмерный предел интегрирования первого интеграла (16) 0,2 необходимо, чтобы ФФ+2)).
Первый интеграл (16) аналитически выражается следующим образом:
(19)

Второй интеграл (16) аналитически выражается следующим образом:
(20)

Далее, воспользуемся изветсным правилом умножения рядов:

(21)

(22)
Таким образом, аналитическое точное решения относительно фактора аналогии Рейнольдса 2St/c в окрестности точки присоединения турбулентного пограничного слоя для труб с турбулизаторами, которое будет устойчивым при относительно малых значений аэродинамической кривизны потока, будет равным:

(23)

Результаты расчётов по точному аналитическому решению (23) полностью совпали с численным интегрированием выражения (16) при одинаковой наперёд заданной погрешностью.

Далее были проведены расчёты для фактора аналогии Рейнольдса 2St/c как методом численного интегрирования выражения (16), так и по точному аналитическому решению (23) в очень широком диапазоне определяющих параметров — формопараметру профиля скорости Н и аэродинамической кривизне потока Ф, — что позволило сделать соответствующие основные выводы.

Анализ зависимости коэффициента аналогии Рейнольдса  от относительно небольших значений аэродинамической кривизны потока Ф=–2...10 при различных относительно малых значений формопараметра профиля скорости Н=1,1...2 говорит о том, что небольшие значения параметров Ф и Н характерны для малоградиентных потоков, а при небольших значениях Н увеличение коэффициента аналогии Рейнольдса с увеличением F довольно незначителено. Анализ аналогичных результатов, но при изменении формопараметра профиля скорости Н=2...4 указывает на то, что для более высоких значений Н рост r_c происходит гораздо сильнее.

При относительно низких значениях формопараметра профиля скорости, а именно при cтремлении Н к единице, фактор аналогии Рейнольдса незначительно увеличивается с увеличением аэродинамической кривизны потока.

Особенно важным следует признать то обстоятельство, что из формулы (16), а также из точного выражения (23) следует предельный вывод:

(24)

в то время как в некоторых существующих работах, например в [1, 2], приводятся конечные расчётные значения r_c=f(Ф; Н=1), что явно неверно. 

Аналогичные зависимости можно построить только для значений Н, строго больших единицы. При приближении значений Н к единице, значение коэффициента аналогии Рейнольдса r_c резко возрастает.

Дальнейший анализ расчётов показывает, что при больших значениях аэродинамической кривизны потока Ф=10...10² фактора аналогии Рейнольдса увеличивается практически линейно для всех рассматриваемых значениях формопараметра профиля скорости Н=1,2...3. Дальнейшее повышение аэродинамической кривизны Ф на порядок вплоть до 10³ не изменяет линейного характера зависимости r_c=f(Ф) для приблизительно тех же значений Н=1,2...3,2, но ощутимо увеличивают абсолютные значения фактора аналогии Рейнольдса: например, при Н=3,2 и Ф=10³ — r_c  более 150.

Дальнейший анализ указывает на то, что повышение аэродинамической кривизны ещё на порядок, т.е. до Ф=10⁴, что характерно для очень сильнодиффузорных течений, приводит к полному сохранению практически линейного характера изменения функции r_c=f(Ф). Значения фактора аналогии Рейнольдса при очень высокой аэродинамической кривизне потока (Ф=10000) может быть даже более 1000 при формопараметре профиля скорости Н≥3. 

После анализа поведения функции r_c=f(Ф) при H=idem для широкого диапазона изменения определяющих параметров, следует перейти к анализу характера изменения функции r_c=f(Ф) при Ф=idem.

Как показывает подробный анализ расчётных данных для малых значений аэродинамической кривизны потока (Ф=–2...10), влияние на фактор аналогии Рейнольдса формопараметра профиля скорости довольно незначительно. 

Анализ увеличения аэродинамической кривизны потока до относительно высоких значений (Ф=10²...10³) показал, что влияние на фактор аналогии Рейнольдса формопараметра профиля скорости значительно возрастает. Это особенно заметно в области относительно небольших (Н=2...4), после чего, при Н > 4, влияние на фактор аналогии Рейнольдса формопараметра профиля скорости ощутимо ослабевает.

Анализируя расчёты для очень высоких значений аэродинамической кривизны потока (для Ф=10⁴) можно заключить, что повышение формопараметра профиля скорости приводит к повышению фактора аналогии Рейнольдса с меньшей второй производной функции r_c по Н > 4.

Вышеуказнные зависимости функции r_c=f(Ф; Н) позволяют получить ответ на вопрос о постоянстве фактора аналогии Рейнольдса в зависимости от формопараметра профиля скорости и аэродинамической кривизны потока.

Анализ распределения постоянных значений фактора аналогии Рейнольдса для относительно небольших значений вышеупомянутых определяющих характеристик (Ф=–2...10; Н=1,1...3,8) показывает, что характер этих зависимостей имеет характер, близкий к гиперболическим, и они не имеют чётко выраженных максимумов и минимумов и не являются замкнутыми.

При увеличении аэродинамической кривизны потока (Ф=10...1000) тенденция зависимости изолиний r_c=f(Ф; Н)=idem остаётся качественно той же, причём с увеличением определяющих параметров повышаются абсолютные значения фактора аналогии Рейнольдса r_c.

Аналогичный анализ для постоянных значений параметра r_c, но для Ф=–2...+2; Н=1,1¸2, показывает, что узость области, в которой в данной постановке  примерно равен 1.

Фактор аналогии Рейнольдса для значения формопараметра профиля скорости  для рассматриваемой области практически автомоделен по отношению к аэродинамической кривизне потока: 

Сопоставление расчётных данных относительно фактора аналогии Рейнольдса r_c для труб с турбулизаторами в окрестности точки присоединения по представленной уточнённой теории с полученным расчётом в предположении постоянства турбулентного числа Прандтля Pr_T показало, что расчёт даёт значительные погрешности по отношению к эксперименту для сильнодиффузорных потоков, что косвенно отмечалось ещё в [1, 2]. Максимальная погрешность расчёта данного фактора аналогии Рейнольдса составляет: примерно 3% при Н=1,2; примерно 10% при Н=2; примерно 20% при Н=4; примерно 20% при Н=10, в предположении постоянного турбулентного числа Прандтля. Вышеуказанная погрешность достигается при отрицательных значениях аэродинамической кривизны потока, т.е. когда Ф<<0. При увеличении значений аэродинамической кривизны потока Ф погрешность перманентно, но относительно незначительно, снижается.

Величины аэродинамической кривизны потока и формопараметра профиля скорости достигают довольно больших абсолютных значений именно в области присоединения турбулентного пограничного слоя, но, как показывают полученные численные и аналитические расчётные данные, фактор аналогии Рейнольдса достигает нескольких сотен, т.е. очень высоких значений (даже нескольких тысяч вырожденных случаях). Последнее указывает на высокую интенсификацию теплообмена в трубах с турбулизаторами именно в областях присоединения турбулентного пограничного слоя.

Данная методика расчёта позволяет рассчитать интенсифицированный теплообмен в трубах с турбулизаторами для области присоединения турбулентного пограничного слоя при известных значениях коэффициента трения c_f, аэродинамической кривизны потока Ф, формопараметра профиля скорости Н; отношение максимального температурного напора в трубе с турбулизаторами к среднему относительно нетрудно подсчитать по следующей формуле [1, 2, 5, 7]:
(25)

где r=R/R₀ — безразмерный радиус трубы (R — текущее радиальное расстояние от оси трубы; R₀ — радиус трубы);  

Pr/Pr_T и  μ_T/μ — отношения турбулентного числа Прандтля к молекулярному и турбулентной динамической вязкости к молекулярной соответственно.

Расчёт при помощи формулы (25) позволяет определить интенсифицированный теплообмен для труб с турбулизаторами точнее, чем при помощи гипотезы консервативностми полей температур, которая постулирует величину  так же, как для стабилизированного турбулентного течения в трубе [1, 2].

Эта теория расчёта теплообмена в трубах с турбулизаторами имеет свои преимущества перед существующими, основанными на интегральных соотношений для турбулентного пограничного слоя [5], на многослойных схемах потока [3—5], на зональной низкорейнольдсовой модели Ментера [5, 10—12], на базе решения уравнения баланса турбулентной пульсационной энергии [8].
Существующие экспериментальные данные, приведённые в [1, 2, 8], указывают на то, что уровень интенсификации теплообмена может быть выше примерно от двух до пяти раз по сравнению со стабилизированным турбулентным течением в круглой гладкой трубе.
Разработанная в статье методика расчёта интенсифицированного теплообмена в окрестности точки присоединения турбулентного пограничного слоя может быть успешно применена не только для течения в канале (внутренняя задача), но и для внешней задачи (на поверхности, пластине и т.п.).

Общий анализ теоретических результатов, полученных в рамках данной статьи, показывает, что в диффузорной области, т.е. при Ф>0  , величина фактора аналогии Рейнольдса  резко растёт с ростом диффузорности и больше единицы. Следует отметить, что при теплообмене на пластине фактор аналогии Рейнольдса в безградиентном потоке равен единице, поэтому он гораздо выше в диффузорном потоке, чем в безградиентном, в основном, из-за уменьшения коэффициента трения. Данные условия в трубах с турбулизаторами реализуются в окрестностях критических точек — отрыва и присоединения — турбулентного пограничного слоя.

В последнем случае имеет место открытая впадина (по классификации [3—5]), для существовании которой необходимо, чтобы расстояния между турбулизаторами были не менее 6...8 высот турбулизаторов.

Большие расчётные значения фактора аналогии Рейнольдса r_c для трубы с турбулизаторами в окрестности критической точки — это показатель большой интенсификации теплообмена в этих условиях и превалирующего увеличения числа Нуссельта Nu над коэффициентом сопротивления ξ.

В заключение можно сделать вывод, что в окрестности точки присоединения турбулентного пограничного слоя его специфические особенности, например, реализуемый профиль скорости с большими значениями формопараметра профиля скорости Н, очень большие значения диффузорности потока, обусловливающие высокие значения аэродинамической кривизны потока Ф, детерминируют ощутимую интенсификацию теплообмена.

 

3. ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ

 

В даннй статье разработана теоретическая расчётная методика определения фактора аналогии Рейнольдса для условий окрестности критических точек турбулентного пограничного слоя в трубах с турбулизаторами, которая отличается от существующих методик более высоким уровнем теоретической модели,  при отсутствии дополнительных допущений.

Полученные в статье довольно высокие теоретические расчётные значения фактора аналогии Рейнольдса в окрестности точек отрыва и присоединения турбулентного пограничного слоя говорят о правомерности заложенных в сгенерированную теорию физических представлений о происходящих процессах течения в канале и теплообмене.

1. Мигай В.К. Повышение эффективности современных теплообменников. Л.: Энергия. Ленинградское отделение, 1980. 144 с.
2. Мигай В.К. Моделирование теплообменного энергетического оборудования. Л.: Энергоатомиздат. Ленинградское отделение, 1987. 263 с.
3. Лобанов И.Е. Моделирование теплообмена и сопротивления при турбулентном течении в каналах теплоносителей в условиях интенсификации теплообмена // Труды Третьей Российской национальной конференции по теплообмену. В 8 томах. Т. 6. Интенсификация теплообмена. Радиационный и сложный теплообмен. М.: МЭИ, 2002. С. 140—143.
4. Дрейцер Г.А., Лобанов И.Е. Моделирование изотермического теплообмена при турбулентном течении в каналах в условиях интенсификации теплообмена // Теплоэнергетика. 2003. № 1. С. 54—60.
5. Лобанов И.Е. Математическое моделирование интенсифицированного теплообмена при турбулентном течении в каналах: Диссертация на соискание учёной степени доктора технических наук. М., 2005. 632 с.
6. Cebeci T., Smith A.M.O. Analysis of turbulent boundary layers. New York: Academic Press, 1974.
7. Кутателадзе С.С., Леонтьев А.И. Тепломассообмен и трение в турбулентном пограничном слое. М.: Энергоатомиздат, 1985. 320 с.
8. Земаник К.Л., Дугалл Г.Д. Местный теплообмен за участком резкого расширения круглого канала // Труды американского общества инженеров-механиков. Серия С: Теплопередача. Т.92. № 4. М.: Мир, 1970. С. 54—64.
9. Лобанов И.Е., Мякочин А.С., Низовитин А.А. Моделирование интенсифицированного теплообмена при турбулентном течении в трубах с турбулизаторами на базе уравнения баланса турбулентной пульсационной энергии // Вестник МАИ. 2007. Т. 14. № 4. С. 13—22.
10. Дрейцер Г.А., Исаев С.А., Лобанов И.Е. Расчёт конвективного теплообмена в трубе с периодическими выступами // Проблемы газодинамики и тепломассообмена в энергетических установках: Труды XIV Школы-семинара молодых учёных и специалистов под руководством академика РАН А.И.Леонтьева. М.: МЭИ, 2003. T.1. С. 57—60.
11. Дрейцер Г.А., Исаев С.А., Лобанов И.Е. Расчёт конвективного теплообмена в трубе с периодическими выступами // Вестник МАИ. — 2004. — Т. 11. — № 2. — С. 28—35.
12. Дрейцер Г.А., Исаев С.А., Лобанов И.Е. Расчёт конвективного теплообмена в трубе с периодически расположенными поверхностными турбулизаторами потока // Теплофизика высоких температур. 2005. Т. 43. № 2. С. 223—230.

Комментарии пользователей:

Оставить комментарий