Статья опубликована в №52 (декабрь) 2017
Разделы: Физика
Размещена 20.12.2017. Последняя правка: 16.08.2022.
Просмотров - 2562

Вывод уравнения Дирака из неоднородности пространства и решение для поколений нейтрино

Бабаев Алимжан Холмуратович

кандидат физ. - мат. наук

пенсионер

пенсионер

УДК 537.8: 512.7

Введение

      В статье [1] было доказано, что неоднородность пространства (B=∇A) состоит из трёх пар спинор - антиспинор (Φ⁺_α, Φ^-_α, α=1,2,3.):

B=Σ³_α=1(Φ⁺_α+ Φ^-_α)                                                                         (1)

где

Φ⁺_α(Φ^-_α)=(G(α)±e^α∧e⁰)Y_α( Ỹ_α)                                                               (2)

G(α)=|e^α∧e⁰|=((e^α∧e⁰)∙(e^α∧e⁰))^0.5=(g^α0g^α0 -g^ααg⁰⁰)^0.5

      Форма записи (2) приведена для компактности, причем для спинора (Ф⁺_α) берется знак «плюс», а для антиспинора (Ф^-_α) – знак «минус».

      Каждая функция Y_α,Ȳ_α – есть 4-х компонентная волновая функция, eⁱ – «векторы» криволинейного базиса.     

Чтобы получить уравнения Дирака, берем градиент от уравнения (1):

eⁱ∂_i {(G(α) ± e^α∧e⁰) Y_α( Ỹ_α)=eⁱ∇_iB                                                                (3)

      Для математически корректной записи уравнения (3) следует сначала умножить вектор -  столбец слева, взять скалярное произведение со знаком «+», потом повторно со знаком «-», а затем их сложить.

Упрощая (3), получим три пары уравнений Дирака в обобщенном виде:

{eⁱG(α) ± (g^iαe⁰ -gⁱ⁰e^α- γE^0aije_j) ∂_i+eⁱ∂_iG(α) ± (Γ⁰_ijg^ije^α-Γ^α_ijg^ije⁰ +Γ^α_ijgⁱ⁰e^j -Γ⁰_ijg^iαe^j)} Y_α( Ỹ_α)=eⁱ∇_iB         (4)

где eⁱ(e^α∧e⁰)=eⁱ∙(e^α∧e⁰)+eⁱ∧e^α∧e⁰=g^ije^k-g^jke^j+γΕ^ijkne_n  – внутреннее и внешнее произведения векторов (клиффордово произведение) в криволинейных координатах, Γⁱ_jk – символы Кристоффеля, E^ijkn – абсолютно антисимметричный тензор 4-го ранга в контравариантной форме.

 

Результаты

      Решим уравнение (4) в «плоском» пространстве (eⁱ=γⁱ) для свободной частицы (eⁱ∇_iB=0).  

Учитывая, что в «плоском» пространстве Γⁱ_jk =0 и G(α)=1, из (4) для каждого спинора - антиспинора (Y_α,Ȳ_α) получим:

{γⁱ±(g^iα γ⁰- gⁱ⁰ γ^α- γε^0αijγ_j)}∂_i} Y_α(Ỹ_α)=0                                                            (5)

где γ⁰, γ^α, γ=γ⁰γ¹γ²γ³  –  2х2 блочные матрицы (Дирака) в представлении Вейля [2] (i=0,1,2,3), σ₀  – единичная 2х2 матрица, σ_α – матрицы Паули, ε^0αij – символ Леви - Чивиты, i – обычная мнимая единица.

      Находим вид уравнения (5) для α=3 (для других значений α=1,2 выполняется аналогично), т.е. направим частицы двигаться вдоль оси z (α=3), как обычно любят физики:

{(γ⁰± γ³)( ∂₀ ∓∂₃)+(γ¹±γγ²)(∂₁ ∓γ∂₂)}Y₃(Ỹ ₃)=0                                                   (6)

Здесь   – биспиноры и антибиспиноры.

      В общем случае уравнение (5) при (α=1,2,3), а в частности, уравнение (6) для α=3 (без слагаемых γε^03ijγ_j) – есть уравнение Вейля [2].

      По аналогии с оптикой, это слагаемое γε^03ijγ_j (оно наглядно видно из (6)) назовём вектором круговой поляризации или спиральностью.

      Заметка.  Вектор поляризации γε^03ijγ_j  не путать с вектором электромагнитной круговой поляризации среды.

Решаем уравнение (6). Упрощения приводят к следующим равенствам:

{(σ₀ + σ₃)( ∂₀ – ∂₃) – (σ₁ + iσ₂)∂₁ – (σ₂+iσ₁)∂₂)}[Y₃₁, Y₃₂]^T=0                                   (7)

{(σ₀ – σ₃)( ∂₀ – ∂₃) + (σ₁ + iσ₂)∂₁ + (σ₂–iσ₁)∂₂)}[Y₃₃, Y₃₄]^T=0                                   (8)

{(σ₀ – σ₃)( ∂₀ + ∂₃) – (σ₁ + iσ₂)∂₁ – (σ₂ – iσ₁)∂₂)}[ Ỹ ₃₁,Ỹ ₃₂]^T=0                                  (9)

 {(σ₀ + σ₃)( ∂₀ + ∂₃) + (σ₁ – iσ₂)∂₁ + (σ₂ + iσ₁)∂₂)}[ Ỹ ₃₃,Ỹ ₃₄]^T=0                                (10)

       Решения уравнений (7) – (10) будем искать в виде плоских волн:

Y_3n=u_n exp(-ip_k x^k),  Ỹ_3m=v_m exp(-ip_k x^k)                                                     (11)

где u_n,v_m – постоянные функции от энергии-импульса p_k.  

      Подставляя замены (11) в уравнения (7) – (10), далее решая однородную систему уравнений, получим в итоге:

Для спиноров –                                                           (12)

Для антиспиноров –                                                (13)

      Аналогичным способом находятся решения уравнений для других значений α (поколений).

      Сначала уточним, что вектор σ₁+iσ₂ соответствует вращению против часовой стрелки для наблюдателя, смотрящего навстречу волне. Волна с σ₁+iσ₂называется с левой круговой поляризацией или с положительной спиральностью (h=+1). Вектор σ₁ - iσ₂ соответствует вращению по часовой стрелке для наблюдателя, смотрящего навстречу волне. Волна с σ₁ - iσ₂называется с правой круговой поляризацией или с отрицательной спиральностью (h= -1).

      Выясним физическую суть членов (±p₁±ip₂), которые отвечают за эллиптическую поляризацию. Для этого используем тригонометрическую комплексную форму записи. Ниже приведены тригонометрические виды для всех случаев ±p₁±ip₂  с начальными фазами плоской волны, наглядными картинками с направлениями вращения и движения, также соответствующими значениями спиральности.  

                                                 (14)

                                                  (15)

                                   (16)

                                        (17)

где φ=arctan(±p₂/±p₁) .

      Так как в (14) мы выбрали 0 (↑– спин s₃= ½) за начальную фазу, то вектор круговой поляризации (15) будет в противофазе (↓ – s₃=-½) по отношению к вектору круговой поляризации (14). Вектор круговой поляризации (16) отстает от вектора поляризации (14) на π/2 (↑– s₃= ½), но будет в противофазе (↓ – s₃= - ½) с вектором поляризации (17).

       Выясним, каковы будут решения уравнений, если пространство не имеет вращения (без e^α∧e⁰). Решим те же уравнения (5) без члена e^α∧e⁰.

      Простыми выкладками из уравнения (5) получим:

(σ₀∂₀ – σ_μ∂_μ)Y_α12(Ỹ _α12)=0,   (σ₀∂₀ + σ_μ∂_μ)Y_α34(Ỹ _α34)=0                                  (18)  

      Запись Y_α1(2,3,4)(Ỹ_α1(2,3,4)) означает, что спинор Y_α1(2,3,4) и антиспинор Ỹ_α1(2,3,4) имеют идентичные уравнения. Это означает, что частица и античастица совпадают между собой.   

      Для частицы, описываемой уравнением (18),  все три поколения (α=1,2,3) идентичны.

      Решаем уравнение (18):

      Вычисления показывают, что уравнения для биспиноров (Y_α12 и Ỹ_α12, также Y_α34 и Ỹ_α34) являются:
                                                                                (19)
                                                                              (20)

      Идентичность Y_α12(Ỹ_α12) и  Y_α34(Ỹ_α34) означает, что функция в «верхнем ↑» и в «нижнем ↓» состояниях одинакова. Круговая поляризация частиц, описываемых уравнениями (19) и (20), при инверсии направления движения (z→-z т.е. p₃ → -p₃) поворачивается на угол π по оси z (не вокруг), т.е. «кувыркается» согласно формулам (16) и (17). Проще говоря, частица не меняет спиральность по отношению направления движения. Следует заметить, что она всегда имеет левую поляризацию, т.е. отрицательное значение спиральности h=-1 (Рис.1).

Рис.1.

      Эти факты показывают, что уравнение (18) и в общем случае уравнение (5)  (без вращения пространства e^α∧e⁰) – есть уравнение фотона.

       Напоследок рассмотрим случай, когда пространство не имеет деформации (G(α)=0), но имеет вращение (e^α∧e⁰≠0).

± γⁱ(γ^α γ⁰)∂_i Y_α(Ỹ_α)=0                                                                         (21)

      Вычисления показывают, что уравнения для спиноров и антиспиноров идентичны и имеют вид:

(γ⁰∂₃ + γ³∂₀ + γγ¹∂₂ - γγ²∂₁)Y₃(Ỹ₃)=0                                                      (22)

Иначе говоря, в этом случае частица – сама себе античастица.

      Решениями уравнения (22) являются:
                                                                                       (23)
                                                                                            (24)

      Решения для остальных поколений (α=1,2) находятся аналогичным образом.

      Из формул (23) и (24) очевидно, что «верхнее» (Y₃₁₂(Ỹ₃₁₂)) и «нижнее» (Y₃₃₄(Ỹ₃₃₄)) состояния функции имеют противоположные круговые поляризации. При инверсии направления движения (z→-z т.е. p₃ → -p₃) вектор поляризации (спиральность) остается прежним, т.е. меняется спиральность по отношению к обратному направлению движения. Например, если спиральность  в прямом направлении была правая, то в обратном направлении она станет левой. Проще говоря, спиральность не инвариантна по отношению к P-четности (Рис.2).
                                        
                                                                Рис.2

      Видимо, уравнения (23) и (24) описывают «чистые» состояния одного поколения нейтрино. В 1957 году Ландау указал [3] о возможной линейной поляризации (для одного поколения нейтрино), которую можно получить линейной комбинацией круговых поляризаций:

Y_H,V =Y_L± Y_R

где  Y_H,V – горизонтальная и вертикальная поляризация, Y_L,R – левая и правая поляризация. Следует заметить, что этот переход возможен, когда существуют обе поляризации (Y_H,Vили Y_L,R). Так как в результате опыта можно зафиксировать только одно состояние, то это означает, что после эксперимента такой переход невозможен.    

      Совпадение нейтрино и антинейтрино между собой можно объяснить различием «верхнего» (Y₃₁₂(Ỹ₃₁₂)) и нижнего (Y₃₃₄(Ỹ₃₃₄)) состояний. Частица и античастица хоть и идентичны, но в разных состояниях (↑ и ↓) она ведет себя как разные частицы.

       Исходя из вышесказанного, можно сделать вывод, что уравнения (12) и (13) описывают смешанное «фотон - нейтрино» состояние. Поляризация нейтрино подобно фотону наводит на мысль, что поляризация имеет более фундаментальную природу – деформацию и вращение (кручение) пространства - времени (вакуума), нежели «простую» электромагнитную природу.    

      Заключение.

      1. Векторы (p₀±p₃, ±p₁±ip₂)^Т приведены без нормировки, что не меняет сути исследования.

      2. Для удобства была использована естественная система отчета, где скорость света – c=1 и постоянная Планка – h=1.    

      3. Расчёты выполнены с использованием пакетных приложений редактора символьного программирования Maple 2015.

  

Обсуждения и выводы

1. Доказано, что уравнение (4) –  есть уравнение Дирака в общем случае. Тем самым показана эквивалентность уравнений Дирака уравнениям Максвелла и Эйнштейна – все они выводятся из неоднородности пространства.  

2.  «Плоский» случай пространства уравнения Дирака (5) – есть уравнение для «смешанного фотон – нейтрино» (трех поколений) состояния.

3. Дальнейший анализ уравнения (5) показал, что (18) – есть уравнения «чистого» фотона. А уравнения (22) показывают, что они – описания «чистых» нейтрино.

4. Обобщая, можно заключить, что фотон и три поколения нейтрино составляют одну группу: фотон – синглет + три поколения нейтрин – триплет.

Деформация пространства формирует фотон, а вращение (роторная часть) пространства создает поколения нейтрино.

5. По аналогии с оптикой можно сделать вывод, что до опыта (эксперимента) все три поколения нейтрино (возможно и фотон) находятся в смешанном состоянии. Опыт (эксперимент) тем или иным способом «поляризует» это состояние. После опыта мы не сможем наблюдать более одного состояния (только одно поколение нейтрино).

1. Бабаев А. Х. Бикватернионы, вращения и спиноры в обобщенной алгебре Клиффорда. Электронный периодический рецензируемый научный журнал “SCI – ARTICLE.RU”. №45 (май) 2017. стр. 296. http://sci-article.ru/number/05_2017.pdf
2. William O. Straub. WEYL SPINORS AND DIRAC’S ELECTRON EQUATION, Pasadena, California, March 17, 2005. http://www.weylmann.com/weyldirac.pdf
3. Ландау Л.Д., Об одной возможности для поляризационных свойств нейтрино, «ЖЭТФ», т. 32, стр. 407.

Рецензии:

20.12.2017, 16:15 Кравченко Сергей Васильевич
Рецензия: Оригинальная статья автора, безусловно, заслуживает публикации. Тем более, что о "смешанности" состояний фотон-нейтрино, можно прийти и другим способом.Другими словами, флуктуации нейтрино-антинейтрино порождают фотон, что и следует из уравнения Дирака.С уважением Кравченко Сергей Васильевич.

20.12.2017, 17:01 Мирмович Эдуард Григорьевич
Рецензия: Статья несомненно обладает новизной, демонстрирует профессиональную физико-математическую подготовку автора. Более всего рецензенту нравится фраза из 4-го пункта выводов "Деформация пространства формирует фотон, а вращение (роторная часть) пространства создает поколения нейтрино". Специфическое обсуждение деталей здесь кажется не вполне уместным, т.к. в рамках общепризнанной тензорно-векторной математики и отголосков СТО работа выполнена изящно. Тут рецензент имеет в виду, что без принципиальных "сражений" с самим А.М. Дираком здесь "замахнуться" не на что. Чуть-чуть только крамолы против самой основы таких подходов - использования всемогущей естественной системы отсчёта. При её использовании в умолчании подразумевается, что С,h могут быть единицами отсчёта лишь при условии, что они =const, хотя это не является абсолютом.



Комментарии пользователей:

21.12.2017, 14:51 Бабаев Алимжан Холмуратович Отзыв: Уважаемые Сергей Васильевич и Эдуард Григорьевич, спасибо за положительную рецензию на мой скромный труд. С почтением Бабаев Алим Муратович.

Оставить комментарий