Публикация научных статей.
Вход на сайт
E-mail:
Пароль:
Запомнить
Регистрация/
Забыли пароль?
Вакпрофи. Публикация статей ВАК, Scopus
Научные направления
Поделиться:
Статья опубликована в №52 (декабрь) 2017
Разделы: Физика
Размещена 20.12.2017.

Вывод уравнения Дирака из неоднородности пространства и решение для поколений нейтрино

Бабаев Алимжан Холмуратович

кандидат физ. - мат. наук

пенсионер

пенсионер

Аннотация:
В статье представлен вывод обобщенного вида уравнения Дирака из неоднородности пространства. Это доказывает эквивалентность уравнений Дирака уравнениям Максвелла и Эйнштейна. Ограниченность количества поколений лептонов и кварков (N=3) связана с размерностью пространства. Решены обобщенные уравнения Дирака на случай «плоского» пространства (три поколения нейтрино). Обнаружено, что фотон и три поколения нейтрино составляют одну группу: деформация пространства создает фотон, а вращение генерирует поколения нейтрино. Смешанное состояние «фотон – нейтрино» дает то или другое поколение нейтрино в зависимости от эксперимента.


Abstract:
The paper presents the derivation of the generalized Dirac equation from the inhomogeneity of space. This proves the equivalence of the Dirac equations to the Maxwell and Einstein equations. The limited number of the leptons and quarks generations (N=3) is associated with the dimensionality of the space. It is found that a photon and three generations of neutrinos form one group: the deformation of space creates a photon, and the rotation generates neutrino generations. The mixed state of the "photon-neutrino" gives one or another generation of neutrinos, depending on the experiment.


Ключевые слова:
Уравнение Дирака; Максвелла; Эйнштейна; Вейля; фотон; нейтрино; поколения; спиральность; круговая поляризация.

Keywords:
Equation of Dirac; Maxwell; Einstein; Weyl; photon; neutrino; generation; helicity; circular polarization.


УДК 537.8: 512.7

Введение

      В статье [1] было доказано, что неоднородность пространства (B=A) состоит из трёх пар спинор - антиспинор (Φ+α, Φ-α, α=1,2,3.):

B3α=1+α+ Φ-α)                                                                         (1)

где

Φ+α-α)=(G(α)±eαe0)Yα( Ỹα)                                                               (2)

G(α)=|eαe0|=((eαe0)∙(eαe0))0.5=(gα0gα0 -gααg00)0.5

      Форма записи (2) приведена для компактности, причем для спинора (Ф+α) берется знак «плюс», а для антиспинора (Ф-α) – знак «минус».

      Каждая функция Yαα – есть 4-х компонентная волновая функция, ei – «векторы» криволинейного базиса.     

Чтобы получить уравнения Дирака, берем градиент от уравнения (1):

eii {(G(α) ± eαe0) Yα( Ỹα)=eiiB                                                                (3)

      Для математически корректной записи уравнения (3) следует сначала умножить вектор -  столбец слева, взять скалярное произведение со знаком «+», потом повторно со знаком «-», а затем их сложить.

Упрощая (3), получим три пары уравнений Дирака в обобщенном виде:

{eiG(α) ± (giαe0 -gi0eα- γE0aijej) ∂i+eiiG(α) ± (Γ0ijgijeα-Γαijgije0 +Γαijgi0ej -Γ0ijgiαej)} Yα( Ỹα)=eiiB         (4)

где ei(eαe0)=ei∙(eαe0)+eieαe0=gijek-gjkejΕijknen  – внутреннее и внешнее произведения векторов (клиффордово произведение) в криволинейных координатах, Γijk – символы Кристоффеля, Eijkn – абсолютно антисимметричный тензор 4-го ранга в контравариантной форме.

 

Результаты

      Решим уравнение (4) в «плоском» пространстве (ei=γi) для свободной частицы (eiiB=0).  

Учитывая, что в «плоском» пространстве Γijk =0 и G(α)=1, из (4) для каждого спинора - антиспинора (Yαα) получим:

i±(giα γ0- gi0 γα- γε0αijγj)}∂i} Yα(Ỹα)=0                                                            (5)

где  – матрицы (Дирака) в представлении Вейля [2] (i=0,1,2,3), σ – единичная 2х2 матрица, σα – матрицы Паули, ε0αij – символ Леви - Чивиты, i – обычная мнимая единица.

      Находим вид уравнения (5) для α=3 (для других значений α=1,2 выполняется аналогично), т.е. направим частицы двигаться вдоль оси z (α=3), как обычно любят физики:

{(γ0± γ3)( ∂0 ∓∂3)+(γ1±γγ2)(∂1 ∓γ∂2)}Y3(Ỹ 3)=0                                                   (6)

Здесь   – биспиноры и антибиспиноры.

      В общем случае уравнение (5) при (α=1,2,3), а в частности, уравнение (6) для α=3 (без слагаемых γε03ijγj) – есть уравнение Вейля [2].

      По аналогии с оптикой, это слагаемое γε03ijγj (оно наглядно видно из (6)) назовём вектором круговой поляризации или спиральностью.

      Заметка.  Вектор поляризации γε03ijγj  не путать с вектором электромагнитной круговой поляризации среды.

Решаем уравнение (6). Упрощения приводят к следующим равенствам:

{(σ0 + σ3)( ∂0 – ∂3) – (σ1 + iσ2)∂1 – (σ2+iσ1)∂2)}[Y31, Y32]T=0                                   (7)

{(σ0 – σ3)( ∂0 – ∂3) + (σ1 + iσ2)∂1 + (σ2iσ1)∂2)}[Y33, Y34]T=0                                   (8)

{(σ0 – σ3)( ∂0 + ∂3) – (σ1 + iσ2)∂1 – (σ2iσ1)∂2)}[ Ỹ 31,Ỹ 32]T=0                                  (9)

 {(σ0 + σ3)( ∂0 + ∂3) + (σ1iσ2)∂1 + (σ2 + iσ1)∂2)}[ Ỹ 33,Ỹ 34]T=0                                (10)

       Решения уравнений (7) – (10) будем искать в виде плоских волн:

Y3n=un exp(-ipk xk),  Ỹ3m=vm exp(-ipk xk)                                                     (11)

где un,vm – постоянные функции от энергии-импульса pk.  

      Подставляя замены (11) в уравнения (7) – (10), далее решая однородную систему уравнений, получим в итоге:

Для спиноров –

                                            (12)

Для антиспиноров –

                                          (13)

      Аналогичным способом находятся решения уравнений для других значений α (поколений).

      Сначала уточним, что вектор σ1+iσ2 соответствует вращению против часовой стрелки для наблюдателя, смотрящего навстречу волне. Волна с σ1+iσ2называется с левой круговой поляризацией или с положительной спиральностью (h=+1). Вектор σ1 - iσ2 соответствует вращению по часовой стрелке для наблюдателя, смотрящего навстречу волне. Волна с σ1 - iσ2называется с правой круговой поляризацией или с отрицательной спиральностью (h= -1).

      Выясним физическую суть членов (±p1±ip2), которые отвечают за эллиптическую поляризацию. Для этого используем тригонометрическую комплексную форму записи. Ниже приведены тригонометрические виды для всех случаев ±p1±ip2  с начальными фазами плоской волны, наглядными картинками с направлениями вращения и движения, также соответствующими значениями спиральности.  

                              (14)

                                (15)

                  (16)

                       (17)

где φ=arctanp2p1) .

      Так как в (14) мы выбрали 0 (↑– спин s3= ½) за начальную фазу, то вектор круговой поляризации (15) будет в противофазе (↓ – s3=-½) по отношению к вектору круговой поляризации (14). Вектор круговой поляризации (16) отстает от вектора поляризации (14) на π/2 (↑– s3= ½), но будет в противофазе (↓ – s3= - ½) с вектором поляризации (17).

       Выясним, каковы будут решения уравнений, если пространство не имеет вращения (без eαe0). Решим те же уравнения (5) без члена eαe0.

      Простыми выкладками из уравнения (5) получим:

00 – σμμ)Yα12(Ỹ α12)=0,   (σ00 + σμμ)Yα34(Ỹ α34)=0                                  (18)  

      Запись Yα1(2,3,4)(Ỹα1(2,3,4)) означает, что спинор Yα1(2,3,4) и антиспинор Ỹα1(2,3,4) имеют идентичные уравнения. Это означает, что частица и античастица совпадают между собой.   

      Для частицы, описываемой уравнением (18),  все три поколения (α=1,2,3) идентичны.

      Решаем уравнение (18):

      Вычисления показывают, что уравнения для биспиноров (Yα12 и Ỹα12, также Yα34 и Ỹα34) являются:

                                            (19)

                                            (20)

      Идентичность Yα12(Ỹα12) и  Yα34(Ỹα34) означает, что функция в «верхнем ↑» и в «нижнем ↓» состояниях одинакова. Круговая поляризация частиц, описываемых уравнениями (19) и (20), при инверсии направления движения (z→-z т.е. p3 → -p3) поворачивается на угол π по оси z (не вокруг), т.е. «кувыркается» согласно формулам (16) и (17). Проще говоря, частица не меняет спиральность по отношению направления движения. Следует заметить, что она всегда имеет левую поляризацию, т.е. отрицательное значение спиральности h=-1 (Рис.1).

Рис.1.

      Эти факты показывают, что уравнение (18) и в общем случае уравнение (5)  (без вращения пространства eαe0) – есть уравнение фотона.

       Напоследок рассмотрим случай, когда пространство не имеет деформации (G(α)=0), но имеет вращение (eαe00).

± γiα γ0)∂i Yα(Ỹα)=0                                                                         (21)

      Вычисления показывают, что уравнения для спиноров и антиспиноров идентичны и имеют вид:

03 + γ30 + γγ12 - γγ21)Y3(Ỹ3)=0                                                      (22)

Иначе говоря, в этом случае частица – сама себе античастица.

      Решениями уравнения (22) являются:

                                                (23)

                                            (24)

      Решения для остальных поколений (α=1,2) находятся аналогичным образом.

      Из формул (23) и (24) очевидно, что «верхнее» (Y312(Ỹ312)) и «нижнее» (Y334(Ỹ334)) состояния функции имеют противоположные круговые поляризации. При инверсии направления движения (z→-z т.е. p3 → -p3) вектор поляризации (спиральность) остается прежним, т.е. меняется спиральность по отношению к обратному направлению движения. Например, если спиральность  в прямом направлении была правая, то в обратном направлении она станет левой. Проще говоря, спиральность не инвариантна по отношению к P-четности (Рис.2).

Рис.2

      Видимо, уравнения (23) и (24) описывают «чистые» состояния одного поколения нейтрино. В 1957 году Ландау указал [3] о возможной линейной поляризации (для одного поколения нейтрино), которую можно получить линейной комбинацией круговых поляризаций:

YH,V =YL± YR

где  YH,V – горизонтальная и вертикальная поляризация, YL,R – левая и правая поляризация. Следует заметить, что этот переход возможен, когда существуют обе поляризации (YH,Vили YL,R). Так как в результате опыта можно зафиксировать только одно состояние, то это означает, что после эксперимента такой переход невозможен.    

      Совпадение нейтрино и антинейтрино между собой можно объяснить различием «верхнего» (Y312(Ỹ312)) и нижнего (Y334(Ỹ334)) состояний. Частица и античастица хоть и идентичны, но в разных состояниях (↑ и ↓) она ведет себя как разные частицы.

       Исходя из вышесказанного, можно сделать вывод, что уравнения (12) и (13) описывают смешанное «фотон - нейтрино» состояние. Поляризация нейтрино подобно фотону наводит на мысль, что поляризация имеет более фундаментальную природу – деформацию и вращение (кручение) пространства - времени (вакуума), нежели «простую» электромагнитную природу.    

      Заключение.

      1. Векторы (p0±p3, ±p1±ip2)Т приведены без нормировки, что не меняет сути исследования.

      2. Для удобства была использована естественная система отчета, где скорость света – c=1 и постоянная Планка – h=1.    

      3. Расчёты выполнены с использованием пакетных приложений редактора символьного программирования Maple 2015.

  

Обсуждения и выводы

1. Доказано, что уравнение (4) –  есть уравнение Дирака в общем случае. Тем самым показана эквивалентность уравнений Дирака уравнениям Максвелла и Эйнштейна – все они выводятся из неоднородности пространства.  

2.  «Плоский» случай пространства уравнения Дирака (5) – есть уравнение для «смешанного фотон – нейтрино» (трех поколений) состояния.

3. Дальнейший анализ уравнения (5) показал, что (18) – есть уравнения «чистого» фотона. А уравнения (22) показывают, что они – описания «чистых» нейтрино.

4. Обобщая, можно заключить, что фотон и три поколения нейтрино составляют одну группу: фотон – синглет + три поколения нейтрин – триплет.

Деформация пространства формирует фотон, а вращение (роторная часть) пространства создает поколения нейтрино.

5. По аналогии с оптикой можно сделать вывод, что до опыта (эксперимента) все три поколения нейтрино (возможно и фотон) находятся в смешанном состоянии. Опыт (эксперимент) тем или иным способом «поляризует» это состояние. После опыта мы не сможем наблюдать более одного состояния (только одно поколение нейтрино).

Библиографический список:

1. Бабаев А. Х. Бикватернионы, вращения и спиноры в обобщенной алгебре Клиффорда. Электронный периодический рецензируемый научный журнал “SCI – ARTICLE.RU”. №45 (май) 2017. стр. 296. http://sci-article.ru/number/05_2017.pdf
2. William O. Straub. WEYL SPINORS AND DIRAC’S ELECTRON EQUATION, Pasadena, California, March 17, 2005. http://www.weylmann.com/weyldirac.pdf
3. Ландау Л.Д., Об одной возможности для поляризационных свойств нейтрино, «ЖЭТФ», т. 32, стр. 407.




Рецензии:

20.12.2017, 16:15 Кравченко Сергей Васильевич
Рецензия: Оригинальная статья автора, безусловно, заслуживает публикации. Тем более, что о "смешанности" состояний фотон-нейтрино, можно прийти и другим способом.Другими словами, флуктуации нейтрино-антинейтрино порождают фотон, что и следует из уравнения Дирака.С уважением Кравченко Сергей Васильевич.

20.12.2017, 17:01 Мирмович Эдуард Григорьевич
Рецензия: Статья несомненно обладает новизной, демонстрирует профессиональную физико-математическую подготовку автора. Более всего рецензенту нравится фраза из 4-го пункта выводов "Деформация пространства формирует фотон, а вращение (роторная часть) пространства создает поколения нейтрино". Специфическое обсуждение деталей здесь кажется не вполне уместным, т.к. в рамках общепризнанной тензорно-векторной математики и отголосков СТО работа выполнена изящно. Тут рецензент имеет в виду, что без принципиальных "сражений" с самим А.М. Дираком здесь "замахнуться" не на что. Чуть-чуть только крамолы против самой основы таких подходов - использования всемогущей естественной системы отсчёта. При её использовании в умолчании подразумевается, что С,h могут быть единицами отсчёта лишь при условии, что они =const, хотя это не является абсолютом.



Комментарии пользователей:

21.12.2017, 14:51 Бабаев Алимжан Холмуратович
Отзыв: Уважаемые Сергей Васильевич и Эдуард Григорьевич, спасибо за положительную рецензию на мой скромный труд. С почтением Бабаев Алим Муратович.


Оставить комментарий


 
 

Вверх