Публикация научных статей.
Вход на сайт
E-mail:
Пароль:
Запомнить
Регистрация/
Забыли пароль?
Вакпрофи. Публикация статей ВАК, Scopus
Научные направления
Поделиться:
Разделы: Физика
Размещена 04.12.2018. Последняя правка: 02.12.2018.

Числа правят миром. Ч.1. Кватернионы

Ильина Ирина Игоревна

пенсионер

Не работаю

преподаватель

Аннотация:
Когда и как образовалось пространство Вселенной в результате или после Большого взрыва? Ведь изначально полагалось, что пространства как такового не было. Образование пространства в настоящей работе рассматривается за счет распространения энергии Большого взрыва и самоорганизации потоков энергии в пространстве в материю. Материя также рассматривается как сложная форма пространства, обладающая структурой. В основе такой самоорганизации лежат четыре исключительные алгебры – действительных чисел, комплексных чисел, кватернионов и октонионов.


Abstract:
When and how was the space of the Universe formed as a result of or after the Big Bang? After all, initially it was believed that there was no space as such. The formation of space in this paper is considered due to the propagation of the energy of the Big Bang and the self-organization of energy flows in space into matter. Matter is also considered as a complex form of space with a structure. This self-organization is based on four exceptional algebras – real numbers, complex numbers, quaternions and octonions.


Ключевые слова:
кватернионы; октавы; октонионы; гиперкомплексные числа; кварки; квантовые числа; электронные орбитали; четыре исключительные алгебры

Keywords:
quaternions; octaves; octonions; hypercomplex numbers; quarks; quantum numbers; electronic orbitals; four exceptional algebras


УДК 539

«Всё есть число, числа правят миром!» так утверждали древние греки вслед за Пифагором. Считается, что к числам пифагорейцы относились трепетно, утверждая, что число – это закон и связь мира. Более того, они полагали, что с помощью чисел была сотворена Вселенная. А так ли уж они были не правы? Пифагорейцы знали только лишь действительные числа. Нам же известно о числах неизмеримо больше. Попробуем разобраться, могла ли быть «сотворена» Вселенная при помощи чисел. Точнее сказать, можно ли описать при помощи разных числовых систем конструктивные этапы в создании Вселенной. Ведь помимо действительных чисел нам также известны комплексные числа, и замысловатые кватернионы с октонионами.

В предлагаемой работе представлен способ описания мира, а точнее создание пространства Вселенной, при помощи четырех исключительных алгебр. Это алгебры действительных, комплексных чисел, а также кватернионов и октонионов. Чтобы избежать большого количества формул, основной упор сделан на их графической интерпретации. Помимо графической интерпретации дан подробный анализ физической интерпретации четырёх числовых систем.

1. Рождение пространства

Наблюдая повсеместно сложную систему самоорганизации материи в пространстве, зададимся вопросом, а всегда ли существовало физическое пространство в том виде, каком мы его видим сейчас? Согласно современному мировоззрению, изначально пространства, как такого не существовало. Считается, что оно возникло одновременно с началом образования Вселенной. Но если для объяснения образования материи имеются множество гипотез, то для объяснения образования пространства гипотез нет. Да, в принципе, действительно, что там объяснять, если пространство есть некое пустое множество, в котором отсутствуют всякие проявления материи. Или представления ее как существование вечной и бесконечной пустоты, в которой разбегаются галактики.

 Тем не менее, рождение пространства представляет собой интересное явление. Имеется в виду физическое пространство, в котором существует Вселенная. Ведь для того чтобы Вселенная появилась и начала развиваться, должны быть некие предпосылки для этого в виде определенных граничных условий, таких, каким и является само пространство.

1.1. Точки пространства

Для того чтобы понять, как появилось пространство, сделаем несколько априорных допущений. Во-первых, полагаем, что окружающее физическое пространство состоит из точек. То есть существуют простейшие объекты, которые мы можем выделить в пространстве, ими и являются точки. Интуитивно понятно, что точка, это некоторая малая область пространства.

Евклид постулировал существование точки, определяя ее как «то, что не имеет частей». Однако важным шагом в понимании природы точки и построения её математической модели явилось осознание факта, что точки и числа можно рассматривать как объекты с похожими свойствами. Кантор в 1872г. сформулировал аксиому, которая устанавливает взаимно однозначное соответствие между точками прямой и действительными числами, т.е. взаимно однозначное соответствие между алгебраическими и геометрическими объектами [6].

Кроме действительных чисел существуют другие числовые системы, соответственно и точки могут быть разными. Следует ожидать, что свойства точек, которые сопоставляются с различными видами чисел, будут разными.

Второе априорное допущение, которое можно предложить, что точки, образующие некоторое пространство, перемещаться не могут. Каждая из них «закреплена» на своем месте. И ее свойства определяются алгеброй чисел, соответствующей этой точке.

1.2. Построение пространства. Действительные числа

Согласимся с такой постановкой вопроса и попробуем разобраться, каким образом рождалось пространство Вселенной из одной единственной точки. Трудно сказать в каком состоянии находилось вещество в эпоху инфляции, но оно обладало очень высоким уровнем энергии. Поэтому будем называть это состояние просто энергией. Отметим непременный атрибут, присущий энергии, –  ее способность к непрерывному движению.

Такое свойство мы наблюдаем, например, у фотона. Фотон – это частица или квант энергии, который существует исключительно благодаря своему движению со световой скоростью. Если фотон остановить, поставив преграду, то он исчезает, а его энергия переходит к веществу преграды. Предположение, что энергия может существовать только в непрерывном движении, будет нашим третьим априорным допущением.

Итак, полагаем, что в момент Большого взрыва выделилось большое количество энергии, которая стала расширяться во все стороны. Самым простым способом построения пространства является перемещение энергии от одной точки пространства к другой, что и порождало сами эти точки. То есть появление каждой точки пространства связано с переносом энергии в эту точку. Будем также считать, что до момента большого взрыва энергия находилась вне нашей реальности, а точка сингулярности относится к скрытому уровню реальности. После того, как в момент большого взрыва со скрытого уровня реальности в систему начала поступать энергия, такую точку мы будем называть особой точкой. Особая точка является точкой рождения системы, и через нее в систему поступает энергия.

Движущаяся энергия, прокладывая себе путь, формирует пространство. Интересен также вопрос, который касается количества энергии, поступающего в точку. Вряд ли в одной точке выделится сразу вся энергия, полученная при Большом взрыве. Если бы это было так, то мы из одной точки сингулярности получили бы другую, такую же или тождественную ей. Нет, нас как раз интересует, каким образом энергия распространялась в пространстве, одновременно создавая его. То есть, как происходит дробление первоначальной энергии. Поэтому полагаем, что в каждой точке оставалась какая-то часть энергии от всей энергии, точнее некая минимальная стандартная порция. Стандартной эту порцию энергии будем считать, потому что точки возникающего пространства должны быть равноценны между собой. Иначе будет нарушен принцип однородности и изотропности пространства. Исключение составляют только особые точки.

Итак, сформулируем в окончательном виде, каким может быть первый этап порождения точек пространства. Точки пространства рождаются за счет перемещения энергии, и могут быть описаны с помощью действительных чисел.

1.3.Построение пространства. Комплексные числа

Следующий этап образования пространства будет описываться с помощью комплексных чисел. Из истории математики известно, что в XVIв. в связи с развитием алгебры потребовалось ввести числа нового рода сверх существующих положительных и отрицательных чисел. Они получались на основании мнимой единицы, т.е. числа, которое образовалось извлечением квадратного корня из –1. Понятно, что в области действительных чисел мы никогда не найдем такого числа, квадрат которого равен минус единице i2= –1, поэтому их и стали называть мнимыми. Объединив мнимое число с действительным в виде z=α+βi,

где: α, β - действительные числа, i – мнимая единица, их стали называть комплексными числами.

Необходимо также отметить, что каждый радиус-вектор на плоскости, которому соответствует комплексное число z, однозначно задаёт радиус-вектор противоположного направления −z и сопряжённый радиус-вектор z¯.
3

Рис.1.1. Комплексное число z в виде радиуса вектора, а также сопряжённый радиус-вектор z¯ и радиус-вектор противоположного направления −z.

Математики XVI века и следующих поколений вплоть до начала XIX века относились к комплексным числам с явным недоверием и предубеждением. Декарт называл их «мнимыми», Кардано – «несуществующими», «вымышленными», «возникшими от избыточного мудрствования». Лейбниц, напротив, считал их «изящным и чудесным убежищем божественного духа».

Однако использование аппарата комплексных чисел (несмотря на подозрительное к ним отношение), позволило решить многие сложные задачи. Поэтому со временем комплексные числа занимали все более важное положение в математике и ее приложениях.

После того как в XIX веке появилось наглядное геометрическое изображение комплексных чисел с помощью точек плоскости и векторов на плоскости (рис.1.1.), стало возможным сводить к комплексным числам и уравнениям многие задачи естествознания. С этого момента существование «мнимых», или комплексных чисел стало общепризнанным фактом, и они получили такое же реальное содержание, как и действительные числа.

Главное достоинство комплексных чисел заключается в том, что их можно не только складывать, но и умножать, и делить. Т.е. к ним применимы те же самые четыре арифметических действия, которые возможны с действительными числами. Тем не менее, в физике обычно используют комплексные числа лишь в качестве удобного «промежуточного аппарата». Все математические преобразования должны заканчиваться только действительными числами.

1.4. Свободная группа с одной порождающей

Итак, мы предположили, что энергия, выделенная при взрыве, вначале просто распространяется прямолинейно от одной точки к другой за счет переноса энергии. Этими переходами энергия и формировала сами точки пространства. То есть таким образом, мы получили одномерное пространство с одной координатной осью и расположенными на ней точками, которые можно описать действительными числами е1, е2, е3 и т.д.

Образующиеся точки будем описывать математическим термином группы. Выделившаяся энергия, какой бы большой она ни была, но она не бесконечна и имеет предел. Поэтому точки пространства образуют конечную группу. Более точно, это будет свободная группа с одной порождающей. Напомню, что каждый элемент такой группы определяется как произведение конечного числа элементов а и их обратных. Например, относительно единичного элемента е движение может происходить влево и вправо на величину а, что соответствует умножению на а1 и а−1 (G=〈e〉Z). На графике это выглядит так (рис.1.2). Здесь целые числа берутся в степенях а.

 3

Рис.1.2. Свободная группа с одной порождающей  (G=⟨a⟩ Z).

Учитывая, что в начале движение энергии определяется только положительным значением оси, то нашу группу точек на числовой оси можно изобразить как на рис.1.3. Но в отличие от общепринятого изображения свободной группы мы не будем использовать степени числа. Поэтому точки в группе у нас могут обозначаться одной и двумя, и тремя и т.д. буквами (рис.1.3).

 3

Рис.1.3. Свободная группа с одной порождающей  (G=⟨е⟩).

 3

Рис.1.4. Положительное и отрицательное направление оси действительных чисел.

Отрицательное направление оси действительных чисел появляется в результате первого нарушения симметрии. Оба направления возникают как проекции двух потоков энергии при бифуркации после раздвоения (рис.1.4.).

1.5. Свободная группа с двумя порождающими

Рождение сложности определяется тем, что в какой-то момент в нашем пространстве наблюдается бифуркация, связанная с фазовым переходом состояния энергии, и нарушением симметрии. Вероятно, вследствие этого в пространстве появляется дополнительное направление для потока энергии. То есть поток энергии как бы раздвоился и стал двигаться в двух разных направлениях.

 3

Рис.1.5. Граф Кэли. Свободная группа с двумя порождающими. Группа задана системой порождающих a, b. G=⟨a, b⟩

К этому моменту действительные числа уже исчерпали свои возможности. Поэтому новое координатное направление может возникнуть только для совершенно иных чисел. В результате появляется ось мнимых чисел. Замечу, что умножение на i (мнимое число) есть поворот на 90°. Соответственно возникают две взаимно перпендикулярные оси, вдоль которых может двигаться энергия. Теперь получающиеся точки пространства образуют свободную группу с двумя порождающими. С этого момента распространение энергии и рождение новых точек мы можем описывать с помощью комплексных чисел.

Красивый пример свободной группы с двумя порождающими был предложен математиком Артуром Кэли в XIX веке при помощи диаграммы связей между объектами, называемым графом. Если бы Большой взрыв происходил бы в плоскости, то, наверно, он бы выглядел как на рисунке 1.5.

1.6. Координатная комплексная плоскость

Теперь энергия может двигаться как вдоль действительной оси, так и вдоль мнимой оси. Точки пространства могут порождаться двумя частями комплексного числа. Порождающими элементами являются комплексные числа, т.е. образующими будут е и i. Перемещению соответствует действительное число е. Поскольку умножение на i есть поворот на 90°, то при отрицательных и положительных мнимых числах энергия будет поворачивать вверх или вниз относительно оси действительных чисел. Умножение мнимого числа на действительное число соответствует перемещению и повороту одновременно. Например, энергия двигается из точки А(еоiо). Общий вид всех перемещений в комплексной плоскости представлен на рисунке 1.6. Каждый узел такой решетки представляет собой один из возможных путей распространения энергии.

   3

Рис.1.6. Координатная комплексная плоскость. Отмечены координаты диагональных элементов

1.7. Пиксели

Мы рассмотрели образование точек пространства при помощи свободной группы с двумя порождающими. Но следующее усложнение приводит к тому, что точки пространства приобретают структуру. Поэтому термин «точка» становится неуместным. Ведь мы знаем, что точка  это то, что не имеет частей. Чтобы не изобретать новые термины, воспользуемся таким понятием как пиксель, что означает наименьший логический элемент двумерного цифрового изображения.  Мы заменим термин «точка» термином «пиксель» пространства. Но под пикселем будем понимать наименьший элемент трехмерного пространства. И теперь мы будем рассматривать рождающееся пространство с точки зрения усложнения его составляющих – пикселей. Понятно, что для систем и подсистем различного уровня пиксели будут разными. Но для конкретной системы он всегда минимален.

Почему нам пришлось заменить понятие «точки» на «пиксель», понять не сложно. В области действительных чисел энергия может перемещаться между двумя соседними точками вдоль положительной или отрицательной оси. Если после перемещения в точке ничего не остается, то она как бы «схлопывается» обратно. Чтобы она продолжала существовать и дальше, надо в ней что-то оставить, какую-то минимальную часть энергии, которая бы поддерживала существование самой точки в дальнейшем. Поэтому часть энергии остается в этой точке, а часть энергии переходит в соседнюю точку. Та энергия, что остается, формирует объем точки, его структуру, двигаясь внутри него по замкнутому контуру. Поэтому меняется и терминология.

Самый простой пиксель образуется в области комплексных чисел. Посмотрим, как это может происходить. Для этого воспользуемся матричным методом задания гиперкомплексных систем, предложенным Приходовским М.А., и построим пространственную матрицу для системы комплексных чисел [8]. Такая пространственная матрица есть результат перемножения действительного и комплексного числа (рис.1.7).

 3

Рис.1.7. Матричная форма представления произведения действительного и мнимого числа.

На рисунке 1.8а представлен пространственный пиксель, в котором перемещается энергия, причем перемещается по тем узлам, которым соответствуют реальные числа не равные нулю.

Характерно, что «единицы» располагаются в вершинах тетраэдра, вписанного в куб, в представленных «структурных константах» системы. Поэтому получается, что при наличии мнимой единицы, оставшаяся в пикселе энергия начинает «вращаться» по углам тетраэдра, которым соответствуют реальные числа не равные нулю. (Мы ранее договорились, что таково свойство энергии, она должна все время куда-то двигаться, поэтому в замкнутом пространстве она просто двигается по замкнутому контуру или проще, непрерывно вращается).

 3

Рис.1.8. На рисунке показано движение энергии от одной точки к другой. При перемещении часть энергии остается в самой точке (пикселе), а часть переходит в другую точку. В новой точке все повторяется снова.

За счет этой оставшейся в пикселе энергии и формируется структура точки. Поэтому дальнейшее усложнение структуры пространства происходит за счет усложнения структуры пикселей, порождая новые структурные организации пространства материи.

2. Кватернионы. Свободная группа с тремя порождающими

Очередное рождение сложности или нарушение симметрии порождает еще одну мнимую единицу j, которая не имеет ничего общего с мнимой единицей i. Да и рангом она пониже. Поскольку появляется при более поздней бифуркации. Но самое интересное, что произведение этих двух мнимых чисел дают нам еще одно мнимое число k=ij. Как видно, мы перешли к следующей числовой системе кватернионов.

2.1. Кватернионы

Эта система чисел названных кватернионами была открыта В.Гамильтоном в 1843 году. С момента своего открытия кватернионы испытали вначале огромный интерес со стороны математического сообщества, а затем незаслуженное забвение. Уже в середине XIХ века кватернионы воспринимались как обобщение понятия о числе, призванное играть в науке столь же значительную роль, как и комплексные числа. Эта точка зрения подкреплялась также тем, что были найдены приложения кватернионов к электродинамике и механике. Однако векторное исчисление в его современной форме вытеснило кватернионы из этих областей.

Нет ничего удивительного, что к концу XIХ века кватернионы стали восприниматься совсем неоднозначно. Лорд Кельвин в 1892 году писал про них так: «Кватернионы Гамильтона могут считаться чистейшим злом, которое не принесло ничего хорошего тем, кто работал с ними, включая, например, Клерка Максвелла».

Фактически работы Максвелла явились побудительным толчком для введения векторных методов в физику, а затем и для отделения векторного анализа от теории кватернионов. В конце концов, все вылилось в отказ физиков-теоретиков от перспективного, с широкими возможностями для развития теоретической физики, математического аппарата – векторно-кватернионной алгебры – в пользу её редуцированного варианта – векторно-тензорной алгебры [7].

Переходя к кватернионам, надо сразу отметить, что новая система в корне отличается от предыдущих. Во-первых, тем, что возрастает уровень сложности. Во-вторых, мы увидим, что в кватернионе одни точки пространства порождают другие точки пространства. Мы говорим о самоорганизующихся системах. Поэтому рассматриваем такие точки, которые способны порождать другие точки. Ранее мы назвали их особыми точками. Основная их особенность состоит в том, что внутри них рождается новая система (или пиксель) и через особую точку в систему поступает энергия. Т.е. рождение сложности пикселя происходит за счет того, что появляются новые точки пространства, которые становятся истоком энергии для новых точек. Они порождают новые структурные организации пространства материи.

Посмотрим теперь, как можно описать распространение энергии в пикселе при помощи кватернионов, формирующей его внутреннее пространство. Понятно, что кватернионы образуют свободную группу с тремя образующими е, i, j. Построим траекторию пути, по которой следует энергия в трехмерном пространстве (рис.2.1). Допустим, энергия начала поступать в систему из точки А(еоiоjо). Точка А является точкой рождения системы, поэтому называется особой точкой. Дальше энергия может двигаться вдоль оси е или i, или j.

 3 

Рис.2.1. Координаты узлов в кватернионе

Пройдя междоузлие, энергия попадает в следующий узел. Каждому узлу нашей решетки припишем координату в виде числа, состоящего из е, i, j. Энергия двигается от точки А(еоiоjо) по кватерниону, перемещаясь последовательно от одного узла к другому. Поэтому как видно из рисунка, каждая координата узла отображает реальный путь, по которому двигается энергия от точки А. Например, координата ееiij говорит о том, что энергия прошла два междоузлия по оси е, два междоузлия по оси i и одно междоузлие по оси j.

Теперь опять воспользуемся матричным методом задания гиперкомплексных систем [7]. Так же, как строилась матрица для комплексных чисел, может быть построена пространственная матрица, задающая систему кватернионов.

 3

Рис.2.2 Пространственная матрица кватерниона [7]

При построении пространственных матриц каждое сечение отражает запись в виде обычных квадратных матриц. Все процедуры, которые происходят с гиперкомплексными числами, в результате могут дать либо действительное число, либо мнимое. В проявленном мире смысл имеют только действительные числа. Они получаются в результате преобразований мнимых чисел. Так квадрат мнимой единицы есть действительное число −1.  Поэтому в нашей трехмерной решетке вещественными будут только те узлы,  которым соответствуют действительные значения, к тому же не равные нулю. Такие узлы расположены на ребрах тетраэдра, вписанного в куб (рис.2.2).

Координаты узлов кватерниона записаны в виде 2-х, 3-х, 4-х, … -знаковых значений, например, для самого дальнего узла координата записана как (еееiiijjj). Пользуясь таблицей перемножения, мы можем упростить запись координат узлов в кватернионе. Вместе с тем отметим, что, сколько бы знаков не содержала бы в себе координата, но никогда ее значение не будет состоять более чем из трех знаков. Лишние знаки будут преобразованы по таблице перемножения кватернионов. Такая «трёхзнаковая» запись координаты точки говорит о некотором трехмерном формате получающихся объектов.

Например для дальней координаты (еееiiijjj), полагая, что ij=k, ek=k, получим значение (kkk). Заменив соответствующим образом остальные значения, мы получили запись координат в виде трёх-знаковых чисел (рис.2.3), состоящих из четырех букв, соответствующих четырем членам кватерниона е,i,j,k.

   3

Рис.2.3. Геометрическая интерпретация кватерниона

В результате мы получили геометрическую интерпретацию кватерниона (рис.2.3). Кватернион представляет собой тетраэдр, на ребрах которого расположены по четыре узла и три междоузлия. Каждый узел в кватернионе это особая точка, которая является истоком энергии. Поэтому в каждой такой точке может быть сформирована новая точка пространства или, другими словами, новый пиксель.

«Точки» пространства, которые описываются кватернионами, представляют собой сложные системы, которые способны порождать другие точки. Именно в этой особенности видится способность систем к самоорганизации.

Образование пространства за счет распространения энергии привело к самоорганизации потоков энергии в пространстве. Такая самоорганизация, в конечном счете, привела к образованию материи. Ведь материю можно также рассматривать как сложную форму пространства, обладающей структурой. Поэтому можно считать, что числовые системы определяют структурную организацию пространства материи, другими словами, определяют закон, по которому строится пространство материи.

2.2. Октетная модель Гелл-Манна и Неемана

Мы получили очень интересную геометрическую интерпретацию кватерниона. Чтобы понять, чему может соответствовать такая структура в реальном мире, обратимся к физике элементарных частиц. Когда в 60-х годах число обнаруженных элементарных частиц стало превышать все мыслимые границы, остро встал вопрос об их классификации. Усилиями многих физиков удалось рассортировать все известные адроны по значениям их спина и внутренней четности. Получилось несколько больших групп адронов (в среднем по десятку частиц в одной группе), внутри которых наблюдаются интересные закономерности. Группы назвали супермультиплетами или унитарными мультиплетами.

Из всех этих групп остановимся на барионном октете (адроны со спином 1/2 и положительной четностью) и барионном декуплете (адроны со спином 3/2 и положительной четностью). Электрический заряд, странность и масса членов этих групп закономерно изменяются от частицы к частице.

  3

Рис. 2.4. Декуплет адронов со спином 3/2 и положительной четностью.

Начнем с декуплета (рис.2.4). Все частицы декуплета размещены на четырех строках, характеризующихся определенными значениями странности S: 0, -1, –2 и –3. Строки имеют разную длину и вместе образуют правильный треугольник. На самой длинной верхней строке находятся четыре члена изотопического квартета Δ – частиц, характеризующихся одним и тем же значением изотопического спина Т=3/2. Вторую строку занимает  триплет (Σ*+, Σ*0, Σ*–)  резонансов с Т=1. В третьей строке размещен изотопический - дублет с Т=1/2, и, наконец, нижнюю вершину треугольника венчает изотопический синглет (Т=0) - Ω - гиперон. Электрический заряд частиц (Q), входящих в изотопический мультиплет, возрастает на единицу при движении вдоль строки слева направо. Каждой вертикали соответствует определенное значение проекции изотопического спина Т3. На диагоналях, направленных под острыми углами к оси абсцисс, расположены частицы с одинаковым электрическим зарядом. И что особенно замечательно, разности средних значений масс для двух любых соседних строк практически одинаковы.

 3

Рис. 2.5. Октет адронов со спином 1/2 и положительной четностью. Q электрический заряд, Y гиперзаряд, определяется как сумма барионного числа и странности, Т3 проекция изотопического спина

Барионный октет включает в себя восемь частиц: протон (p), нейтрон (n), лямбда (Λ0), три сигма-частицы  (Σ+, Σ0, Σ–)  и две кси-частицы (Ξ0, Ξ-) различаются величинами электрического заряда, изоспина и странности. Если нанести странность на график в сравнении с зарядом или изоспином, появится шестиугольная схема с частицей в каждой вершине и двумя частицами в центре (рис.2.5).

С точки зрения симметрий возникновение супермультиплетов истолковывается как проявление существования у адронов группы симметрии SU (3) – группы унитарных преобразований в трёхмерном комплексном пространстве. Унитарная симметрия привела физиков Г. Цвейга и независимо М. Гелл-Мана к идее кварков. В первоначальном варианте в основу кварковой модели было положено предположение, что все известные адроны построены из трёх типов частиц спина 1/2, названных u, d и s-кварками (верхний, нижний, странный). Позже физики теоретики добавили четвертый кварк, тяжелый вариант верхнего кварка с зарядом +2/3 (очарованный). Пятый и шестой кварк пока не принимаем во внимание.

Итак, в случае трех кварков u, d, s  группой симметрии является группа SU(3). Соответствующие мультиплеты при данном значении изоспина  имеют 2 измерения. Представления группы SU(4), использующей четыре кварка u, d, s, с, дают мультиплеты трех измерений (рис.2.6)

 3

Рис.2.6. Мультиплет барионов со спином 3/2+, согласно SU(4) - теории [2]

Свойства четырех кварков позволяют удобно распределять семейства адронов в узлах тетраэдральной решетки. На рис.2.6 дана схема решетки для барионов со спином 3/2, составленных их первых четырех кварков. Каждое пространственное направление здесь отвечает какому-то аромату кварков: двигаясь слева направо, добавляются u-кварки, двигаясь от заднего фона рисунка к переднему – странные кварки (s), двигаясь вверх – очарованные кварки (c). По такому же принципу можно добавлять и прелестные кварки (b), но только тетраэдр при этом получится уже четырехмерный [2].

Было предпринято много безуспешных попыток обнаружить свободные кварки, главным образом используя факт дробности их зарядов. Оказалось, что все известные адроны ведут себя как связанные состояния кварков. Идея о том, что кварки могут существовать только в связанных состояниях, привела к понятию «конфайнмента». Было предложено несколько механизмов его реализации. Один из наиболее обещающих подходов базируется на локальной ненарушенной цветовой симметрии.

    3

Рис.2.7. Кватернион, в котором введены новые обозначения мнимым и действительным числам

Теперь вернемся к нашему кватерниону. Сделаем замену букв в кватернионе. Положим, что e=u, i=d, j=с, k= s. То есть мы назначили другие обозначения мнимым и действительным числам в кватернионе. Не трудно увидеть, что после такой замены букв мы получили семейство адронов в узлах тетраэдральной решетки (рис.2.7). Каждому ненулевому значению узла в кватернионе соответствует своя тройка чисел, представляющая собой координату узла. Для того чтобы в узле могла проявиться элементарная частица, энергия должна циркулировать в этом узле. То есть в узле появляется еще один пиксель, в котором за счет циркуляции энергии образуется материальная частица. Таким образом, получается, что каждая координата кватерниона записана в виде элементарной частицы. И кварки в нашем случае представляют собой всего лишь координаты узлов в кватернионе. В таком случае, имеют ли вообще смысл кварки в чистом виде? Если понятно, что они есть координаты узлов и возникают за счет движения энергии по кватерниону.

2.3. Барионный кубик

Теперь посмотрим, откуда появляется барионный октет. Для этого наш кватернион придется рассмотреть с точки зрения проективной геометрии. Фактически, барионный октет у нас возникает, за счет преобразования декуплета в проективном пространстве. Сделаем небольшие сокращения в координатах в полученном тетраэдре кватерниона. Вместо координат uuu, ddd, sss будем пока писать u, d, s. В тетраэдре проанализируем треугольную грань uds. Стороны этого треугольника ud, ds, us в проективном пространстве становятся параллельными линиями. Они лежат на ребрах куба и поэтому параллельны между собой. Как известно, в проективной геометрии попарно параллельные прямые пересекаются в точках бесконечности. Поэтому три точки пересечения u, d, s (более точно - uuu, ddd, sss) уходят в бесконечность, в которых и пересекаются три пары параллельных прямых. Теперь это уже не треугольник, а трехвершинник uds в проективном пространстве (рис.2.8). Соответственно плоскость треугольника, вершины которого расположены в точках u,d,s, трансформируется в куб.

3
Рис.2.8. Трехвершинник uds. Стороны ud, ds, us лежат на ребрах куба и параллельны между собой. В проективном пространстве три попарно «параллельные» прямые ud, ds, us пересекаются в трех точках бесконечности.

 3

Рис.2.9. Трехвершинник uds в кватернионе. Вершинам куба соответствуют  элементарные частицы барионного октета

Проекции остальных шести точек декуплета попадают на ребра куба, отмечая его вершины. Середина декуплета с координатой uds также попадает на вершину куба и диаметрально отражается в его восьмой вершине. Теперь барионный октет соответствует кубу, восемь вершин которого записаны в виде координат, состоящих из трех кварков. Каждая тройка кварков (вершины куба) фактически «кодирует» один из восьми адронов барионного октета (рис.2.9). И каждая вершина куба становится истоком, в котором выделяется энергия для формирования нового пикселя. Этот новый пиксель и будет представлять собой элементарную частицу. В дальнейшем барионный октет будем называть барионным кубиком (рис.2.10).

Когда Гелл-Манн рассматривал свою восьмимерную модель в группе симметрии SU(3), названную им «восьмеричным путем», он исходил из того, что «поворот» частицы в одном измерении должен преобразовать ее в частицу в другом измерении, так же как «поворот» изоспина нейтрона в группе симметрии SU(2) превращает его в протон. В нашем случае, когда энергия, перемещаясь по кватерниону, доходит до определенной вершины куба, она, создавая новый пиксель, начинает в нем вращаться. Так вот способ вращения и его конфигурация зависят от того, в какую из вершин попала энергия. Таким образом, можно считать, что кварковая система кодирует «способ» или конфигурацию вращения энергии в пикселе, который представляет собой один из адронов.

 3

Рис.2.10. Барионный кубик, представленный пикселями, расположенными в вершинах куба. Конфигурация вращения энергии в пикселе кодируется тремя кварками и определяет свойства элементарной частицы.

Таким образом, усложнение структуры пикселя привело к тому, что теперь в пространстве появляется материя. То есть циркуляция энергии в пикселе пространства создает элементарные частицы материи. Появление точек в пространстве, которые могут быть описаны при помощи кватернионов, на самом деле описывают внутреннее пространство материи. Когда энергия попадает в очередной узел кватерниона, то он становится новым истоком, в котором выделяется энергия. Это будет новая подсистема со своим пространственным пикселем. Благодаря этому в узле может образоваться материальная частица.

 

2.4.Особенности барионного кубика

Проанализируем полученный барионный кубик. Не сложно, например, понять, почему в кварковой модели Гелл-Манна наблюдаются разности масс в мультиплетах. Хотя предполагается, что в рамках симметрии SU(3) все члены одного мультиплета должны иметь одинаковые массы. Однако это не так. Это видно из таблицы 1, где представлены массы частиц для двух мультиплетов барионов со спином 1/2 и 3/2.

Таблица 1.

 3

Значения масс адронов даны в единицах Мэв/с2.

Почему так происходит можно увидеть из самой схемы кватернионов (рис.2.11). Энергия попадает в систему из точки А, поскольку точка А является особой точкой. Энергия перемещается от точки А по ребрам тетраэдра во все узлы кватерниона, последовательно проходя междоузлия. Дойдя до какого либо конкретного узла, энергия выделяется в этом узле. Поэтому каждый узел в свою очередь тоже может стать истоком энергии.

 На прохождение каждого междоузлия затрачивается какое-то количество энергии. Поэтому, чем дальше находится узел от точки А, тем большее требуется энергии, чтобы его достичь. По достижению узла, на который хватило энергии, в нем формируется пиксель в виде частицы с той массой, которая пропорциональна выделившейся энергии.

Ближайшее расстояние от истока располагается в точках uud и udd, что соответствует двум частицам - протону и нейтрону. Поэтому, чтобы их достичь, требуется минимальное количество энергии (940 Мэв). Дальше от точек uud и udd энергия, продолжая двигаться по ребрам тетраэдра, двигается по двум сторонам треугольника uds. Из рисунка видно, что расстояние от точки uud до точки uus вдвое больше, чем расстояние от точки uus до точки uss. Поэтому разность масс между двумя этими парами чисел тоже примерно кратна двум.

 mΣ – mр = 1195 – 940 = 255 Мэв; 

 mΞ – mΣ = 1318 – 1195 = 123 Мэв.

 3

Рис. 2.11. Барионный октет в кватернионе

Аналогично можно рассмотреть разность масс для декуплета барионов. Опять мы исходим из того, что, чем дальше от начальной точки находится узел в кватернионе, тем больше энергии требуется на прохождение пути. Как отмечает Коккедэ, в случае декуплета (со спином 3/2+ ) простой механизм нарушения SU(3)-симметрии сразу приводит к правилу равных интервалов для масс [5]:

 3

Из эмпирических значений масс находим

 3

Как видно, для декуплета барионов правило: чем дальше узел находится от истока, тем больше требуется энергии, выполняется с хорошей степенью вероятности.

 3

Рис.2.12. Одинаковые значения электрического заряда лежат на параллельных ребрах куба. Прямые линии, соответствующие этим ребрам, пересекаются в бесконечности.

Посмотрим, например, как располагается электрический заряд Q в кубе. Как видно из рисунка 2.12 одинаковые значения электрического заряда лежат на параллельных ребрах куба. В проективном пространстве параллельные прямые пересекаются в точке бесконечности. Не сложно понять, что такое расположение электрического заряда в барионном октете произошло вследствие нарушения симметрии.

Посмотрим еще раз, как выглядит наш кватернион, координаты которого представлены мнимыми числами. Он имеет четыре оси. Это оси еi, ij, еk и jk, которые составляют четыре ребра тетраэдра с вершинами в точках е, i, j, k. Все они не равнозначны между собой, так как появляются в моменты последовательных нарушений симметрий, т.е. последовательных бифуркаций. И мнимость каждой последующей оси усиливается по сравнению с предыдущей. Действительным или наиболее реальным значением обладает одна лишь ось еi. Именно поэтому на ней могли образоваться две реальные частицы uud и udd, соответствующие протону и нейтрону, из которых и состоит наш материальный мир. Да и то, «мнимость» нейтрона не позволяет ему находиться долго в свободном состоянии. Через 17 минут он распадается. Поэтому фактически единственной реальной частицей является только протон.

Основной вывод, который можно сделать, рассматривая кватернионную модель пространства, состоит в том, что здесь мы имеем дело с веществом. То есть гиперкомплексные числовые системы описывают формирование таких точек пространства, в которых самоорганизация энергии формирует корпускулярную материю. Поэтому сама материя также рассматривается как сложная форма пространства, обладающая структурой.

В следующей части этой статьи мы будем рассматривать числовую систему, которая относится к октонионам. Октонионы или октавы представляют собой одну из самых необычных алгебр.

Библиографический список:

1. Баэз Джон С. Октонионы [Электронный ресурс]. Режим доступа: www.hypercomplex.su свободный, (дата обращения: 16.11.2018)
2. Блан Д. Ядра, частицы, ядерные реакторы. М. Мир. 1989. С.336
3. Бояринова Ю. Е. Построение высокоразмерных гиперкомплексных числовых систем с помощью процедуры умножения размерности [Электронный ресурс]. Режим доступа: http://dspace.nbuv.gov.ua/bitstream/handle/123456789/50526/03-Boyarinova.pdf?sequence=1 свободный, (дата обращения: 16.11.2018).
4. Ициксон К., Зюбер Ж.-Б. Квантовая теория поля: Пер. с англ. М.: Мир, 1984. 400 с. Т. 2
5. Коккедэ Я. Теория кварков. Изд-во МИР. 1971.
6. Кубышкин Е.И. Октавы и наш восьмимерный мир. Модель пространства-времени на основе алгебры октав. М. Книжный дом «Либроком» 2013, стр. 256
7. Петров А.М. Квантовые эффекты взаимодействия вращающихся объектов [Электронный ресурс]. Режим доступа: http://knigi.konflib.ru/8mehanika/110694-1-1-fiziki-szhigayut-mosti-eto-normalno-ponimat-kvantovuyu-mehaniku-potomu-chto-nikto-ee-ponimaet-richard-feyn.php свободный, (дата обращения: 16.11.2018).
8. Приходовский М. А. Комплексные и гиперкомплексные числа [Электронный ресурс]. Режим доступа: http://math.tusur.ru/metod/pr/met4.pdf свободный, (дата обращения: 16.11.2018)
9. Сильвестров В.В. Системы чисел // Соросовский образовательный журнал, 1998, №8, с. 121-127.
10. Стюарт Иэн. Истина и красота. Всемирная история симметрии. Династия. Серия Элементы. 2010
11. Яглом И. М. Комплексные числа и их применение в геометрии. М. Едиториал УРСС. 2004, с. 196




Рецензии:

5.12.2018, 12:47 Сулейманова Лилия Ирфановна
Рецензия: В рецензируемой работе представлен способ описания мира, а точнее создание пространства Вселенной, при помощи четырех исключительных алгебр. Это алгебры действительных, комплексных чисел, а также кватернионов и октонионов. Преимуществом статьи является то, что формулы в ней графически интерпретированы. Помимо графической интерпретации дан подробный анализ физической интерпретации четырёх числовых систем. В статье проведены аналогии между числовыми системами и физическими системами. Например, между кватернионами и кварками, или между октонионами и квантовыми числами, описывающими электронные орбитали. Вывод: рецензируемая работа может быть рекомендована к опубликованию . К.т.н., Сулейманова Л.И.



Комментарии пользователей:

4.12.2018, 18:30 моренко владимир иванович
Отзыв: Идея геометризации физики вещь прекрасная. Но в рамках данной теории автору не удалось раскрыть геометрическую природу сложной структуры протона, в связи с чем возникает вопрос о необходимости введения понятия о сложном геометрическом характере узлов геометрической решетки. Кроме того, было бы желательно раскрыть природу переноса энергии вдоль ребер и указать на носитель этой энергии.


5.12.2018, 9:57 Ильина Ирина Игоревна
Отзыв: Уважаемый Владимир Иванович. В данной статье не было задачи «раскрыть геометрическую природу сложной структуры протона». Цель статьи намного скромнее: провести аналогии между числовыми системами и физическими системами. Например, между кватернионами и кварками, или между октонионами и квантовыми числами, описывающими электронные орбитали. А о «природе переноса энергии вдоль ребер с указателем носителя этой энергии» и о «геометрической природе сложной структуры протона» я напишу как-нибудь в другой раз.


Оставить комментарий


 
 

Вверх