Статья опубликована в №66 (февраль) 2019
Разделы: Физика
Размещена 12.02.2019. Последняя правка: 24.02.2019.
Просмотров - 1979

ЗАМКНУТАЯ РЕКУРРЕНТНАЯ ФОРМА ТОЧНЫХ АНАЛИТИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ЛИНЕЙНОЙ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ДЛЯ ТЕЛ ОДНОМЕРНОЙ ГЕОМЕТРИИ С ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ НА ОДНОЙ ПОВЕРХНОСТИ

Лобанов Игорь Евгеньевич

доктор технических наук

Московский авиационный институт

ведущий научный сотрудник

УДК 532.517.4:536.24

1. Введение. Актуальность применения обратных задач теплопроводности и теплообмена

 

Прямое математическое моделирование позволяет прогнозировать тепловое состояние  широком диапазоне режимов работы, например, технической системы, провести анализ влияния различных факторов на поведение этой системы и выбрать оптимальные тепловые режимы.

Применение прямых методов математического моделирования требует анализа точности математических моделей. Модель может иметь весьма сложную структуру и учитывать достаточно большое число факторов. Однако при этом необходимо задать числовые значения всех входящих в модель характеристик, в частности, теплофизические свойства материалов, характеристики теплового взаимодействия с омывающей средой и др. Если информация отсутствует или имеет низкую точность, то сложная математическая модель утрачивает свои достоинства и не обеспечивает требуемой точности прогноза тепловых режимов.

Практическое применение математического моделирования теплообмена показывает, что возможная неудовлетворительная точность при математическом моделировании, например, высокоинтенсивных тепловых процессов обусловлена низкой точностью определения характеристик с помощью традиционных прямых методов [19]. B таких случаях весьма действенно может быть применение расчётно-экспериментальных методов, которые базируются на принципах идентификации систем с распределёнными параметрами, основу которых составляют алгоритмы и методы решения различных типов некорректных обратных задач теплообмена [19].

Как известно, в прямых задачах искомым является температурное поле, которое находится как решение уравнения теплопроводности с известными параметрами внутреннего переноса, соответствующее известным краевым и начальному условиям, а в обратных задачах теплопроводности начальное распределение температур и краевые условия являются неизвестными, подлежащими определению функциями.

Обратные задачи подразделяются на два основных типа:

1. определение параметров внутреннего переноса энергии — коэффициентов тепло- и температуропроводности, теплоёмкости, коэффициентов поглощения света и т.п.,  являющимися физическими характеристиками вещества;

2. определение условий внешнего обмена энергией между телом и средой, т.е. нахождение граничных условий: сюда относятся вычисление температуры наружной поверхности и проходящего через неё теплового потока, расчёт переменных коэффициентов теплообмена, термических контактных сопротивлений,  степеней черноты,  угловых коэффициентов облучения, положения поверхности фазового перехода  или  деструкции, составление нестационарных балансов мощности и энергии и т.п. [19].

Понятно, что получить решение обратной задачи теплопроводности гораздо сложнее, чем прямой, однако в прямой задаче при измерении или реализации заданных граничных условий может возникнуть много препятствий экспериментального характера. Физические условия бывают, например, таковыми, что практически не всегда возможна установка датчика на поверхности тела или существенно снижается точность измерений, вследствие размещения датчиков. Следовательно, часто трудно измерить закон изменения температуры нагреваемой поверхности  твёрдого тела. Гораздо проще выполнить достаточно точные измерения временных зависимостей температуры во внутренних точках на теплоизолированной поверхности тела. Таким образом, возникает проблема выбора между относительно неточными измерениями и сложной аналитической задачей. В то же время достаточно точное и легко реализуемое решение обратной задачи позволило бы одновременно свести обе трудности к минимуму [19].  Прямая задача теплопроводности при корректно поставленных условиях имеет единственное решение. В случае обратных задач возможна тождественность температурных полей в результате различных по своей природе, но равноценных в энергетическом отношении внешних воздействий [5, 6, 19].

Температурное поле твёрдого тела не определяет однозначно граничных условий, при которых оно возникло. Целый ряд  энергетически равноценных по своим воздействиям на систему граничных условий могут по-разному отражать сложные температурные процессы.

Примером может служить тот факт, что любое перераспределение плотностей тепловых потоков, например, между конвективными и радиационными составляющими при их совокупности приводит к тождественному тепловому состоянию системы [19].

Имеют место и другие недостатки, присущие обратным методам исследования нестационарного теплообмена в технических системах:  ограничение числа точек в деталях, в которых измеряются температуры и тепловые потоки; экспериментально определённые значения температур и тепловые потоки, на основе которых производятся расчёты, содержат погрешности измерения даже при использовании прецизионных приборов, т.к. размещение датчиков в твёрдом теле в какой-то мере нарушает температурное поле деталей; кривизна поверхности, пространственное и временное изменение тепловых потоков в теле не дают возможности точно предсказать направление теплового потока, или иными словами, определить месторасположение датчика, которое должно находиться на нормали к поверхности.

Следует отметить, что обратные методы не дают возможности физической интерпретации нестационарных  сложных  процессов, протекающих в системах.

Кроме недостатков, в том числе вышеуказанных, обратные методы обладают некоторыми преимуществами, по сравнению с прямыми. В прямой задаче при измерении  или реализации заданных граничных условий может возникнуть много препятствий экспериментального характера. Физические условия в  исследуемых системах могут быть такими, что невозможна установка датчика на поверхности тела (например, на поверхности покрытий) или существенно снижается точность измерений вследствие размещения датчиков,  поэтому часто трудно измерить закон изменения температур и тепловых потоков поверхностей твёрдых тел.

Резюмируя вышеизложенное, можно заключить, что имеет место актуальность получения в едином виде точного замкнутого аналитического решения нестационарной линейной обратной задачи теплопроводности для тел одномерной геометрии с граничными условиями на одной поверхности. В рамках данной статьи точное замкнутое аналитическое решение данной обратной задачи теплопроводности достигается в рекуррентной форме, т.е. в неявной форме,  поскольку это не во всех случаях возможно в явной форме [2—6].

2.  Решения в рекуррентной форме для нестационарнОЙ линейной обратной задачи теплопроводности для тел одномерной геометрии с граничными условиями на одной поверхности

 

Существующие точные решения  обратных задач нестационарной теплопроводности относительно немногочисленны, и их ощутимо меньше, чем соответствующих решений прямой задачи нестационарной теплопроводности. Можно указать, что одна из первых удачных попыток решения обратной задачи нестационарной теплопроводности для плоского тела впервые была предпринята в 1890 г. Й.Стефаном [1].

Впоследствии для одномерной линейной обратной нестационарной задачи теплопроводности были получены решения независимым друг от друга образом О.Р.Бургграфом [2] и Д.Лэнгфордом [3] в предположении известности в точке расположения датчика нестационарных плотности теплового потока и температуры. Точные решения для полей температур по заранее известным температурам в двух разных внутренних точках методом интегрального преобразования Лапласа были получены М.Имбером и Д.Кханом [4].

Аналогичные решения для одномерных тел приведены также в работах [5] и [6], в которых решения для нестационарной температуры приводятся в явном виде, а плотность теплового потока детерминировалась дифференцированием полей температур.

В дальнейшем были получены решения сходных задач, отчасти имеющих не только теоретический, но и прикладной характер, в том числе, и нелинейной одномерной задачи нестационарной теплопроводности [7—19].

Как отчасти указывалось в работах [2—6], выражение решений для нестационарной линейной обратной задачи теплопроводности для тел одномерной геометрии в явной форме возможно не во всех случаях, поэтому в целях получения окончательного решения приходится применять дополнительные допущения, например, как в [2], где используется допущение о тонкой стенке.

Целью данной статьи является получить решение нестационарной линейной обратной задачи теплопроводности для тел одномерной геометрии с граничными условиями на одной поверхности с единых позиций в замкнутой рекуррентной форме, которые будут иметь перед решениями в явном виде определённые преимущества, поскольку они могут быть получены для всех вышеуказанных задач, а в явном виде — не для всех.

За­пи­шем урав­не­ние не­ли­ней­ной не­ста­цио­нар­ной те­п­ло­про­вод­но­сти для те­ла од­но­мер­ной гео­мет­рии и постоянной кривизны (в данном случае рассматривается радиальная координата) в сле­дую­щем ви­де [5]:
(1)

где k — число конечных измерений: 1 — плоское поле; 2 — цилиндрическое; 3 — сферическое; t — температура; r — радиальная координата; а — коэффициент температуропроводности.

Область определения дифференциального уравнения (1) заключена от 0 до r₂ (радиальная координата внешней поверхности) по координате (в случае полых тел: от r₁ (радиальная координата внутренней поверхности) до r₂) и от 0 до текущего значения τ по времени (τ >0).

В безразмерном виде данное уравнение можно записать следующим образом [5]:

(2)

где   — критерий Фурье; ρ=r/r₁ — безразмерная координата; T — безразмерная температура r₁ —радиальная координата, на которой заданы граничные условия.

Обратная задача теплопроводности для уравнения (1) или (2) состоит в нахождении граничных условий на поверхности одномерного тела при известных нестационарных температуре и тепловому потоку и теплофизических характеристиках материала тела, не зависящих от температуры.

В рамках данной статьи изучается процесс теплопроводности в момент, достаточно удаленный от начального момента времени, поэтому влияние начальных условий практически не сказывается на распределении температуры в момент измерения или наблюдения (т.н. "задача без начальных условий"). В практическом разрезе это может означать, что при достаточном удалении от начального момента времени компонента последействия, учитывающая влияние начальных условий, становиться настолько малой, что она будет уже меньше погрешности измерения датчиков, измеряющих температуры и тепловые потоки [5, 6].

Компонента воздействия температурного поля одномерного слоя, который подогревается на внутренней поверхности, рассматривается при использовании безразмерной координаты, для которой подогреваемая поверхность соответствует единичному значению (комплекс гомохронности относится к данной внутренней радиальной координате) может быть представлена в следующем виде [5]:

 (3)

где  — критерий Кирпичёва;  — критерий Фурье; ρ=r/r₁ — безразмерная координата; r₁ —радиальная координата, на которой заданы граничные условия; а — коэффициент температуропроводности; λ — коэффициент теплопроводности; q — плотность теплового потока; Δt — разность температур.

На подогреваемой поверхности имеет место граничное условие второго рода. В данном случае плотность теплового потока и температура измеряются на одной и той же поверхности.

Решения для тел простой конфигурации будут отличаться значениями радиальных квазиполиномов Р_n,1 и Р_n,2.

В рамках данной работы эти квазиполиномы будут решены в рекуррентных формах, в отличие от работ [2—6] и [7—19].

 

1. ПЛОСКАЯ ПЛАСТИНА

 

Квазиполиномы Р_n,1 и Р_n,2 для плоской пластины будут следующими:

(4)

(5)

(6)

Для первых квазиполиномов Р_1,1 и Р_2,1 и т.д., Р_1,2 и Р_2,2 и т.д. для плоской пластины можно записать:

(7)

(8)

 

Следовательно, используя метод математической индукции, можно записать квазиполиномы для решения обратной нестационарной задачи теплопроводности при задании граничных условий на одной и той же поверхности для плоской пластины в рекуррентной форме:
(9)

(10)

 

2. СПЛОШНОЙ ЦИЛИНДР

 

Квазиполиномы Р_n,1 для сплошного цилиндра будут следующими:

(11)

(12)

Для первых квазиполиномов Р_1,1 и Р_2,1 и т.д. для сплошного цилиндра можно записать:
(13)

Следовательно, используя метод математической индукции, можно записать квазиполиномы для решения обратной нестационарной задачи теплопроводности при задании граничного условия на оси cплошного цилиндра в рекуррентной форме:

(14)

 

3. ПОЛЫЙ ЦИЛИНДР

 

Квазиполиномы Р_n,1 и Р_n,2 для полого цилиндра будут следующими:

(15)

(16)

(17)
Для первых квазиполиномов Р_1,1 и Р_2,1и т.д. для полого цилиндра можно записать:

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

Следовательно, используя метод математической индукции, можно записать квазиполиномы для решения обратной нестационарной задачи теплопроводности при задании граничного условия на внутренней поверхности полого цилиндра в рекуррентной форме:
(24)

(25)

4. СПЛОШНОЙ ШАР

 

Квазиполиномы Р_n,1 для cплошного шара будут следующими:

(26)

(27)

Для первых квазиполиномов Р_1,1 и т.д. для сплошного шара можно записать:

(28)

(29)

 

5. ПОЛЫЙ ШАР

 

Квазиполиномы Р_n,1 и Р_n,2 для полого шара будут следующими:

(30)

(31)

(32)
Для первых квазиполиномов Р_1,1 и Р_2,1и т.д. для полого шара можно записать:

(33)

(34)

(35)

Следовательно, используя метод математической индукции, можно записать квазиполиномы для решения обратной нестационарной задачи теплопроводности при задании граничного условия на внутренней поверхности полого шара в рекуррентной форме:

(36)

(37)

Для заданных нестационарных граничных условий Θ_n,1 и Θ_n,2 рекуррентные соотношения будут следующими:
(38)
Вышеприведённые соотношения выражают рекуррентную форму точного решения обратной задачи нестационарной теплопроводности для тел одномерной геометрии при нестационарных граничных условиях, заданных на одной стороне.

Рекуррентная форма записи решения позволяет осуществить решение данной задачи с единых позиций в замкнутой форме, поскольку выражение решений в явной форме, как, например в [7—19, 25], возможно не во всех случаях, на что указано в [2, 5, 6].

Вопросы корректности данной обратной задачи теплопроводности (т.е. существования решения, его единственности и его устойчивости) были подробно рассмотрены в работах [5, 6], поэтому в данном исследовании нет необходимости их повторного рассмотрения.

Вышеуказанные полученные в статье решения нестационарной обратной задачи теплопроводности для одномерных тел были успешно практическим образом применены в качестве составной части сопряжённой задачи при детерминировании максимального воздействия слоя нагара на поверхности камеры сгорания на нестационарные параметры рабочего тела при радиационно-конвективном теплообмене [20—22, 25], а также при разработке теории теплообмена в теплоизоляционной упаковке для стабилизации температурных режимов хранения скоропортящихся продуктов [23—24].

Для условий теплообмена, характерных для работ [23—24], были проведены расчёты по зависимостям, сгенерированным в данной статье. При одинаковом температурном граничном условии наибольшее отклонение будет для плоского тела, а наименьшее — для сплошного шара; для сплошного цилиндра будет иметь место промежуточное значение. Как для полого цилиндра, так и для полого шара отклонение температуры будет бóльшим, чем для сплошных цилиндра и шара соответственно. Сравнение полого цилиндра с полым шаром показывает, что при малых значениях r₂/r₁ отклонение для полого цилиндра будет меньше, чем для полого шара, но для больших значений r₂/r₁ отклонение для полого цилиндра уже будет больше, чем для полого шара. Для рассматриваемых условий [23—24] вышеуказанный перелом происходит при значении r₂/r₁ ≈ 3²/₁₅. Анализ проведённых расчётов указывает на более сильную зависимость расчётной температуры от параметра r₂/r₁ для полого шара, чем для полого цилиндра.

3. Выводы

 

1. Актуальность проблемы решения обратной линейной нестационарной задачи теплопроводности одномерной геометрической формы, полученные в данной работе в замкнутой рекуррентной форме, состоит в том, что имеет место возможность достаточной степенью точности восстанавливать граничные условия по измерениям датчика теплового потока.

2. В данной работе получены точные аналитические решения для нестационарной линейной обратной задачи теплопроводности для тел одномерной геометрии с граничными условиями на одной поверхности, полученные в рекуррентной форме.

3. Полученная в статье рекуррентная форма записи решения нестационарной линейной обратной задачи теплопроводности для тел одномерной геометрии с граничными условиями на одной поверхности является решением в замкнутой форме с единых позиций, что не всегда возможно в явной форме.

4. С практической точки зрения полученные решения могут быть использованы при расчёте нестационарных полей температур и плотностей тепловых потоков для различных материалов, применяемых в авиационной и ракетно-космической технике, исходя из измеренных нестационарных граничных условиях на одной из сторон.

1. Stefan J. Über die Theorie dir Eisbilding, insbesondere über die Eisbilding im Po-larmeere // Sitzungsberichte der Kaiserlichen Akademie Wiss., Wien., Math. — naturwiss. Kl. — 1890. — V. 98 (2a). — S. 956—973.
2. Бургграф О.Р. Точное решение обратной задачи в теории теплопроводности и её приложениях // Труды американского общества инженеров-механиков. Серия С: Теплопередача. — 1964. — № 3. — С. 94—106.
3. Langford D. New analytical Solutions of the One–Dimensional Heat Equation for Temperature are Heat Flow Rate Both Prescribed at the Same Fixed Boundary (with applications to the phase change problem) // Q. App. Math. — 1976. — 24 (4). — P. 315—322.
4. Имбер М., Кхан Д. Расчёт нестационарного распределения температуры на основании показаний тепмопар, расположенных внутри тела // Ракетная техника и космонавтика. — 1972. — № 2. — С. 83—90.
5. Тёмкин А.Г. Обратные задачи теплопроводности. — М.: Энергия, 1973. — 464 с.
6. Бек Дж., Блакуэлл Б., Сент-Клэр Ч., мл. Некорректные обратные задачи теплопроводности. — М.: Мир, 1989. — 312 с.
7. Кавтарадзе Р.З., Лапушкин Н.А., Лобанов И.Е. Исследование теплоизолирующего действия слоя нагара на поверхностях КС дизеля с использованием об-ратных и сопряжённых методов теплопроводности // Изв. вузов. Машиностроение. — 1997. — № 4—6. — С. 66—71.
8. Кавтарадзе Р.З., Лапушкин Н.А., Лобанов И.Е. Расчётно-экспериментальное исследование нестационарного теплообмена в камере сгорания быстроходного дизеля с учетом теплоизолирующего действия слоя нагара // Совершенствование мощностных, экономических и экологических показателей ДВС. Материалы VI международного научно-практического семинара. — Владимир, 1997. — С. 111—112.
9. Кавтарадзе Р.З., Лапушкин Н.А., Лобанов И.Е. Исследование теплоизолирующего действия слоя нагара с применением обратных и сопряжённых методов теплопроводности // Двигатель—97. Материалы международной научно-технической конференции. — М., 1997. — С. 25.
10. Лобанов И.Е. Аналитическое решение нелинейной обратной задачи тепло-проводности для тела с низким коэффициентом теплопроводности одномерной геометрии // Проблемы газодинамики и тепломассообмена в энергетических установках: Программа XII Школы-семинара молодых ученых и специалистов под руководством академика РАН А.И.Леонтьева. — М.: МЭИ, 1999. — С. 10.
11. Лобанов И.Е. Точные аналитические решения нелинейной нестационарной обратной задачи теплопроводности для тела с низким коэффициентом тепло-проводности // Известия вузов. Авиационная техника. — 2010. — № 3. — С. 72—74.
12. Лобанов И.Е. Обратная одномерная нелинейная задача теплопроводности: точные аналитические решения // Электронный научный журнал "Теплофизика и теплотехника". — 2012. — Выпуск 1(1). — Июль-Декабрь. — С. 3—12.
13. Лобанов И.Е. Точные аналитические решения нелинейной нестационарной обратной задачи теплопроводности для тел с низким коэффициентом теплопроводности одномерной геометрии // Альманах современной науки и образования. — Тамбов: Грамота, 2010. — № 8 (39). — C. 56—64.
14. Лобанов И.Е. Нелинейная нестационарная обратная задача теплопроводно-сти для тел одномерной геометрии с низким коэффициентом теплопроводности: точные аналитические решения // Тепловые процессы в технике. — 2012. — Т. 4. — № 6. — С. 274—283.
15. Лобанов И.Е. Точные аналитические решения нелинейной нестационарной обратной задачи теплопроводности для тел с низким коэффициентом теплопроводности одномерной геометрии // Труды XIV Минского международного фо-рума по тепломассообмену. — Минск, 2012. — Секция № 7. Общие вопросы тепломассообмена и теплопроводность. — Доклад № 1—19. — С. 1—11.
16. Лобанов И.Е. Точные аналитические решения нелинейной нестационарной обратной задачи теплопроводности для тел с низким коэффициентом тепло-проводности одномерной геометрии // Тезисы докладов и сообщений XIV Мин-ского международного форума по тепло- и массообмену. — Минск, 2012. — Т. 1. — Ч. 2. — С. 729—732.
17. Лобанов И.Е. Теоретико-экспериментальное детерминирование нестационарного температурного состояния слоя нагара в камерах сгорания тепловых двигателей // Электронный периодический рецензируемый научный журнал "SCI-ARTICLE.RU". — 2016. — № 40 (декабрь). — С. 194—206.
18. Лобанов И.Е. К вопросу детерминирования влияния медной плёнки в кон-струкции датчика поверхностной температуры на расчёт теплового состояния слоя нагара // Электронный периодический рецензируемый научный журнал "SCI-ARTICLE.RU". — 2017. — № 43 (март). — С. 142—148.
19. Лобанов И.Е., Парамонов Н.В. Измерение и моделирование тепловых нагрузок в камерах двигателей внутреннего сгорания. — М.: Издательство МАИ, 2012. — 160 с.
20. Лобанов И.Е., Доценко А.И. Влияние слоя нагара на поверхностях камер сгорания на параметры рабочего тела // Механизация строительства. — 2009. — № 5. — С. 23—26.
21. Лобанов И.Е. Теоретическое определение максимального воздействия слоя нагара на поверхности камеры сгорания на нестационарные параметры рабочего тела при радиационно-конвективном теплообмене // Mосковское научное обозрение. — 2013. — № 9. — С. 11—15.
22. Лобанов И.Е. Расчётно-экспериментальная методика косвенного измерения толщины слоя нагара на поверхностях камер сгорания тепловых двигателей // Электронный периодический рецензируемый научный журнал "SCI-ARTICLE.RU". — 2016. — № 38 (oктябрь). — С. 96—100.
23. Белозёров Г.А., Лобанов И.Е. Применение теплоизоляционной упаковки для стабилизации температурных режимов хранения скоропортящихся продуктов // Актуальные проблемы современной науки. — 2012. — № 2. — С. 193—200.
24. Лобанов И.Е. Теория теплообмена теплоизоляционной упаковки для стабилизации температурных режимов хранения скоропортящихся продуктов // Электронный научный журнал "Исследования технических наук". — 2011. — Июль. — Выпуск 1. — Том 1. — С. 3—10.
25. Лобанов И.Е. Локальный радиационно-конвективный теплообмен в турбулентном пограничном слое в камерах сгорания быстроходных дизелей: Диссертация на соискание учёной степени кандидата технических наук. — М.: МГТУ им.Н.Э.Баумана, 1998. — 173 с.

Рецензии:

21.02.2019, 4:18 Шаповалов Владимир Михайлович
Рецензия: Рассматривается решение обратной задачи нестационарной теплопроводности. Автор ограничился рассмотрением регулярной стадии теплообмена. Представлены рекурентные формулы для расчёта. 1. Задачей является нахождение теплового потока, входящего в критерий Кирпичёва. Между тем, расчётная формула (3) записана для температуры. 2. В формуле (3) появляется функция "тета", но отсутствует её расшифровка. 3. В формуле (3) полином (Pn,1) безразмерный, а полином (Pn,2) имеет размерность "градус". Между тем в (6) (Pn,2) - безразмерный. И вообще, следовало бы перейти к безразмерной температуре. 4. Отсутствует пример численного расчёта частного случая, сопровождаемый графиками. 5. В конце отмечается, что метод в зависимости от геометрии тела даёт погрешность. Не указано какого порядка погрешность. Между тем, это определяет область применимости предложенной теории. Вероятно статья требует доработки. Д.т.н., профессор Шаповалов В.М.



Комментарии пользователей:

24.02.2019, 18:11 Лобанов Игорь Евгеньевич Отзыв: Благодарю Рецензента за подробный разбор моей статьи! Полагаю, что исправление высказанных замечаний позволит улучшить качество статьи. 1. Задача в статье ставилась очень узкая, а именно: нахождение точных аналитических решений ОЗТ в рекуррентных формах, поскольку в явной форме это не всегда возможно, что указывалось в классических работах по этой теме. Считаю, что мне это удалось. Я верифицировал полученные решения прямым интегрированием антилапласианов n-ой степени, что на данном этапе возможно с помощью методов численной математики, например, в системе Maple. Более узко: нахождение рекуррентных форм квазиполиномов посредством антилапласианов n-ой степени. Других задач в статье не ставилось. 2. Рецензент указывает на определённое несоблюдение размерности. Я исправил этот аспект. Несоблюдение размерности произошло по причине моей недостаточной педантичности при записи уравнений, которые не отличаются от записи, приведённой в классической монографии [5]. 3. Рецензент указывает, что задача состоит в отыскании теплового потока, однако, в обратной задаче отыскивается поле температур по измерениям в данном случае температуры и теплового потока. Нередко измерения проводятся одним датчиком в одном месте, что и обусловливает широкую применимость задачи. Именно так были проведены расчёты по результатам измерений в работах автора, приведённые в библиографии. 4. Функция "тетта" в формуле (3) введена для удобства; она равна, как видно из равенства, соответствующим производным n-oй степени. Они потом показаны в формуле (38). 5. Расчёт частного случая с графиками может быть получен только тогда, когда будут соответствующие измерения датчиков под поверхностями различных кривизн. На данном этапе такими данными я не располагаю. Конкретные данные расчётов, исходя из имеющихся экспериментальных данных, были приведены в работах [7—22], а также в [25]. 6. В конце статьи я говорил не о погрешности, а об расчётном отклонении поля температур при прочих равных условиях, т.е. каким будет влияние кривизны на температурное поле в одномерных случаях, но при различной кривизне. Погрешность метода будет определяться как раз влиянием начальных условий, но в данном случае рассматривается т.н. задача "без начальных условий" в смысле А.Н.Тихонова. В статье было указано, что решается задача отыскания компоненты воздействия, которая зависит только от граничных условий, а погрешность будет связана как раз с компонентой последействия, которая зависeть от начальных условий. Ответ на этот вопрос выходит за рамки статьи: его можно дать, оценив именно вклад компоненты последействия; на эту тему имеется раздел в классической монографии [25]. Для практических расчётов, как это было сделано в [7—22, 25], считается, что в измеряемых датчиком значениях уже косвенным образом содержится информация о начальных условиях. 7. Если я не в полной мере ответил на замечания Рецензента, то не возражаю повторного исправления статьи.

7.03.2019, 18:34 Лобанов Игорь Евгеньевич Отзыв: 1. Moжно узнать, в полной мере я ответил не замечания Рецензента, или нет? 2. Дело в том, что на материале данной статьи основываются последующие мои научные работы, ведущиеся в данном направлении. Если в этой стате имеются недостатки, то они распространяются и на последующие мои научные работы, опирающиеся на данную работу. Более того, данная статья частично опирается на мои предыдущие научные работы (см.библиографию). Следовательно, если данная статья неверна, то мне следует провести ревизию моих предыдущих работ в этом направлении. 3. Рецензент указывает, что "...Вероятно статья требует доработки..." Следовательно, он сам сомневается в необходимости доработки статьи. 4. В рецензии содержатся противоречия: с одной стороны Рецензент указывает, что ему не ясна "...область применимости предложенной теории...", хотя в начале рецензии он заявляет, что "...Автор ограничился рассмотрением регулярной стадии теплообмена..." Следовательно, Рецензенту из текста статьи ясна область применения данной теории. Здесь Рецензент противоречит самому себе. Относительно применимости данной теории я указывал в предыдущем ответе на рецензию: этот аспект рассматривался в классических работах по этой теме, например, подробно в [5], поэтому лишний раз перерассматривать этот аспект в узкой статье нет никакой необходимости. 5. Могу ещё раз подчеркнуть, что в статье решалась узкая задача: решение конкретной ОЗТ в рекуррентной форме, поскольку в явной форме это не всегда возможно. Большей задачи в статье не ставилось. Если я неверно решил задачу, то мне самому интересно, где это имело место.

Оставить комментарий