Публикация научных статей.
Вход на сайт
E-mail:
Пароль:
Запомнить
Регистрация/
Забыли пароль?
Научные направления
Поделиться:
Статья опубликована в №71 (июль) 2019
Разделы: Математика
Размещена 16.07.2019. Последняя правка: 13.07.2019.
Просмотров - 375

Криволинейные интегралы в концепции гиперкомплексных чисел алгебры Клиффорда

Бабаев Алимжан Холмуратович

кандидат физ. - мат. наук

пенсионер

пенсионер

Аннотация:
В статье рассматривается взаимосвязь между криволинейными и поверхностными интегралами в алгебре Клиффорда (ℰ4 - 4-х мерное псевдоевклидово пространство) и, в частности, в декартовом (2-х и 3-х мерное) пространстве. Установлено взаимно однозначное соответствие (биекция) между гиперкомплексными числами и элементами пространства ℰ4 (γi – гамма - матрицы и их комбинации, в частности, σα – матрицы Паули). Обобщены формулы Грина, Стокса, интегральная теорема и формула Коши. Физическая интерпретация (электромагнетизм) полученных формул хорошо согласуется с законами Максвелла и дает некоторые нетривиальные результаты.


Abstract:
The relationship between curvilinear and surface integrals in Clifford's algebra (ℰ4 - 4-dimensional pseudo-Euclidean space), and in particular, in Cartesian space (2nd and 3rd dimensional) is considered in the article. A one-to-one correspondence (bijection) between hypercomplex numbers and elements of the space ℰ4 (γi - Dirac matrices and their combinations, in particular, σα - Pauli matrices) was established. The Green's theorem, the Stokes' theorem and the Cauchy's integral formula and integral theorem were generalized. The physical interpretation (electromagnetism) of the formulas corresponded well with Maxwell's laws and gives some non-trivial results.


Ключевые слова:
гиперкомплексные числа; интеграл Коши; формула Стокса; формула Грина; полюса и особые точки функции; матрицы Дирака; матрицы Паули; алгебра Клиффорда

Keywords:
hypercomplex number; Cauchy's integral formula; Stokes' theorem; Green's theorem; zeros and poles; Dirac matrices; Pauli matrices; Clifford algebra


УДК 517.373; 512.718; 537.812

 

Введение

В двумерном плоском пространстве соответствие между векторами и комплексными числами очевидно из классического курса теории функций комплексного аргумента [1]. Но в многомерном пространстве (d >2) эта очевидность не кажется явной.

В данной статье рассматривается связь между криволинейными и поверхностными интегралами от 2-х мерного и до 4-х мерного физического «плоского» пространства (пространства Минковского) в рамках алгебры Клиффорда. При этом устанавливается взаимно - однозначное соответствие (биекция) между гиперкомплексными числами и элементами пространства 4i – матрицы Дирака и их комбинации, в частности, γαγ0α – матрицы Паули). 

Особенность рассмотрения 4-х мерного пространства заключается в том, что 4-х мерное “плоское” пространство (пространство-время) — псевдоевклидово. Также все законы физики в нулевом приближении происходят в пространстве Минковского (СТО, квантовая механика и т.д).  

В качестве базисных векторов мы будем использовать матрицы Паули σα(α=1,2,3) [2]  для 2х и 3х мерного случая (согласно сигнатуре пространств: ++ и +++) , и матрицы Дирака γi (i=0,1,2,3) [3] для четырехмерного случая пространства (сигнатура +- - -).

 

Результаты

 

I. Плоский случай (d=2)

Пусть на плоскости ХОУ заданы вектор-функция R(x,y) и радиус-вектор r(x,y).

R(x,y)=σ1X(x,y)+σ2Y(x,y)   и    r(x,y) = σ1x+σ2y,

где X(x,y), Y(x,y) – функции от x и y.

 

Рассмотрим криволинейный интеграл lRdr по замкнутому контуру l, который ограничивает область (D) (Рис. 1).

Условимся, что при интегрировании по контуру l область D всегда остается слева, т. е. движение по контуру идет против часовой стрелки. Также пока не будем  рассматривать особенности (односвязность, неодносвязность [4]) области D и поведение функции R(x,y) и её производных (полюсы [5]).

 

Рис. 1. r0 – особая точка.

Применяя произведение Клиффорда к произведению векторов Rdr [6]

Rdr=Rdr +Rdr=1X2Y)∙ (σ1x2y)+(σ1X2Y)∧(σ1x2y)

и упрощая, получим

lRdr = σ0 l∬(Xdx +Ydy)+ σ1σ2l∳(Xdy-Ydx)                                        (1)

 

Теперь установим взаимосвязь между криволинейными l∳ и поверхностными интегралами D∬. 

 

Теорема 1

Справедлива формула

lRdr =D∬(R)ds,                                                   (2)

где ds = σ1σ2dxdy=iσ3dxdy – элемент площади , = σ1x2y – набла оператор, i – мнимая единица.

Другими словами, криволинейный интеграл от функции R по контуру l равен поверхностному интегралу от R  по области D, которая ограничивается контуром l.

 

Замечание. В Rdr и (R)ds  используется клиффордово произведение векторов.                                                      

Доказательство теоремы 1 в Приложении 1.

 

 

Теперь перейдем к особенностям функции и области интегрирования.

Для простоты допустим, что область D односвязная. Если область D неодносвязная (например, не всюду выпуклая [7]), то можно разбить область D на односвязные подобласти и интегрировать функцию по всем подобластям и суммировать результаты интегрирования.

 

Теорема 2.

Пусть функция R(x,y)=σ1X(x,y)+σ2Y(x,y) со своими первыми производными определена во всех точках области D, т. е.  она аналитическая в D [8]. Тогда справедлива формула

lRdr = D∬(R)ds =0.                                                     (3)

 

Проще говоря, если функция R дифференцируемая (аналитическая) в интегрируемой области, то криволинейный интеграл от R по контуру l равен нулю. И наоборот, если поверхностный интеграл от R по области D (или lRdr =0) равен нулю, то функция R в этой области аналитическая.

Доказательство теоремы 2 приведено в Приложении 2.

 

 

Теперь предположим, что функция R(x,y)=σ1X(x,y)+σ2Y(x,y) имеет особенность в рассматриваемой области.

 

Теорема 3

Пусть функция R(x,y)=σ1X(x,y)+σ2Y(x,y) имеет неустранимую особую точку (полюс) в области D вида

R(r) = f(r)/(rr0)                                                        (4)

Если функция R(r) аналитическая в области D, за исключением в точке r0, этой области, т. е. если функция имеет вид (4), то справедлива формула:

                                                (5)

Доказательство теоремы 3 приведено в Приложении 3.

 

 

Следствие

Если функция R(x,y) дифференцируемая n раз в области D и при этом в точке r0 имеет особенность вида  lf(r)dr/(rr0)n+1, то справедлива формула

                                     (6)

 

Вывод:

Обобщая формулы (2) – (6), можем заключить:

1. Если функция R(x,y) аналитическая в области D, ограниченной контуром l, то справедлива формула (3), т. е.

σ0l∳(Xdx+Ydy)+iσ3 l∳(Xdy-Ydx)=σ0 D∬(∂yX– ∂xY)dxdy+iσ3 D∬(∂xX+∂yY)dxdy=0  (7)

 

Разделяя (7) на действительную и мнимую части, получим формулу Грина:

l∳(Xdx+Ydy = D∬(∂yX– ∂xY)dxdy                                     (7.1)

l∳(Xdy Ydx) = D∬(∂xX+∂yY)dxdy                                    (7.2)

 

Примечание 1. В (7.2) заменяя Y→ Y , получим (7.1), т.е. (7.1) и (7.2) – есть формула Грина.

Примечание 2. Подчеркиваем, если функция аналитическая, то интеграл равен нулю (и действительная, и мнимая части):

l∳(Xdx+Ydy = D∬(∂yX– ∂xY)dxdy = 0                                    (7.3)

l∳(Xdy Ydx) = D∬(∂xX+∂yY)dxdy = 0                                    (7.4)

 

2. Если функция имеет полюс первого порядка, т. е. имеет вид (4), то справедлива формула (5):

σ0l∳(Xdx+Ydy)+iσ3(Xdy-Ydx)=D∬σ0(∂yX– ∂xY)dxdy+iσ3(∂xX+∂yY)dxdy=2πiσ3f(r0) (8)

 

Формула (8) объединяет формулу Грина и интегральную формулу Коши.

 

Разделяя (8) на действительную и мнимую части, получим:

l∳(Xdx+Ydy)=D∬(∂yX– ∂xY)dxdy=0                              (8.1)

il∳(Xdy-Ydx)=iD∬(∂xX+∂yY)dxdy=2πif(r0)                     (8.2)

Примечание. Если в области интегрирования функция имеет полюс первого порядка, то действительная часть интеграла равна нулю (8.1), а мнимая часть равна вычету функции в особой точке, умноженному на 2πiσ3 (в плоскости X0Y) (8.2).

 

 

II. Пространственный случай (d=3)

Рассмотрим интеграл lRdr  в трехмерном евклидовом пространстве.

R(x,y,z) =σ1X(x,y,z) + σ2Y(x,y,z) + σ3Z(x,y,z),

dr(x,y,z) = σ1dx+ σ2dy  + σ3dz.

Применяем произведение Клиффорда к Rdr.

Rdr =(σ1X + σ2Y + σ3Z)(σ1dx+ σ2dy  + σ3dz)

Rdr0 (Xdx + Ydy +Zdz) + σ1σ2(Xdy- Ydx) + σ2σ3(Ydz - Zdy) + σ3σ1(Zdx - Xdz)

Интегрируя последнее выражение по замкнутому контуру l,получим формулу

lRdr  = σ0 lXdx+ Ydy+ Zdz+i(l∳σ1(Ydz - Zdy)+ σ2(Zdx - Xdz)+ σ3(Xdy - Ydx))    (9)

 

Теперь рассмотрим поверхностный интеграл. Пусть положительно ориентированная поверхность S с контуром l задана в пространстве XYZ (Рис.2). Нормаль n с осями координат x,y,z составляет углы α, β, γ.

 

Рис. 2

К интегралу D∬(R)ds  применяем произведение Клиффорда

D∬(R)ds = D∬(R)ds + D∬(R)∙ ds + D∬(∇∧ R)∧ds,                         (10)

где        ≡ σ1x2y3z – оператор набла;

ds = nds = (σ1σ2cosγ+ σ2σ3cosα + σ3σ1cosβ)ds – элемент поверхности;

σ2σ3cosα ds= iσ1dydz;   σ3σ1cosβ ds= iσ2dzdx;   σ1σ2cosγ ds= iσ3dxdy.

 

Теперь докажем некоторые теоремы для трехмерного случая, как в предыдущем двумерном случае.

 

Теорема 4

Справедлива формула

lRdr =D∬(R)ds                                                    (11)

или

lR∙ dr  = D∬(R)∙ ds                                           (11.1)

lRdr  = D∬(R)ds                                           (11.2)

D∬(∇∧ R)∧ds = 0                                           (11.3)

Другими словами, в 3-х мерном пространстве интеграл от функции R по контуру l равен интегралу от R  по поверхности D, которая ограничивается контуром l.

Формулы (11.1) и (11.2) – теорема Стокса.  

Доказательство теоремы 4 в Приложении 4.

 

При интегрировании, для простоты, и здесь допускали, что область D односвязная, и сама функция не имеет никаких особенностей.

Разбивание неодносвязной области на односвязные подобласти не будем рассматривать, так как эта процедура в трехмерном случае пространства производится так же, как и в двумерном пространстве.    

 

Теперь рассмотрим случай, когда функция имеет особенности в области интегрирования.

 

Теорема 5

Пусть функция R(x,y,z)=σ1X(x,y,z)+σ2Y(x,y,z)+ σ3Z(x,y,z) со своими первыми производными определена во всех точках области D. По-другому говоря, она аналитическая в области D. Тогда справедлива формула

lRdr = D∬(∇R)ds =0.                                                (12)

 

Другими словами, если функция R(x,y,z) аналитическая в области интегрирования, то интеграл по замкнутому контуру l равен нулю. И наоборот, если интеграл по замкнутому контуру l равен нулю, то функция аналитическая.      

Доказательство теоремы 5 приведено в Приложении 5.

 

 

Теперь предположим, что функция в области D имеет особую точку вида – полюс первого порядка:

R(r) = f(r)/(rr0)                                                  (13)

Теорема 6

Если функция R(r) аналитическая в области D и при этом имеет особую точку r0 в этой области, т. е. если функция имеет вид (13), то справедлива формула:

                                              (14)

n= σ1σ2cosγ + σ2σ3cosα + σ3σ1cosβ – вектор нормали.

Формула (14) – есть обобщение интегральной формулы Коши [9] на случай трехмерного пространства.

Доказательство формулы (14) приведено в Приложении 6.

 

 

Следствие

Если функция R(x,y,z) дифференцируема k раз и имеет вид  lf(r)dr/(rr0)k+1, то справедлива формула

                                    (15)

 

Обобщая (12), (14) и (15), можем сделать заключение:

1. Если функция R(x,y,z) аналитическая в области D, то справедлива формула

lRdr = σ0 lRdr+i lRdr = σ0 D∬(rotR)∙ ds +iD∬(divR)ds =0               (16)

Разделяя (16) на действительную и мнимую части, получим

lRdr = D∬(rotR)∙ ds  =0                                          (16.1)

 lRdr = D∬(divR)ds =0                                          (16.2)

 

2. Если функция имеет полюс первого порядка в области D, т. е. имеет вид R(r) = f(r)/(rr0), то справедлива формула

lRdr = σ0 lRdr+i lRdr = σ0 D∬(rotR)∙ ds +iD∬(divR)ds =2πin f(r0)          (17)

Разделяя (17) на действительную и мнимую части, получим 

lRdr  = D∬(rotR)∙ ds =0                                   (17.1)

lRdr  = D∬(divR)ds =2πn f(r0)                             (17.2)

Формула (17) объединяет теорему Стокса с обобщенной интегральной формулой Коши.

 

Вывод:

Если функция R аналитическая во всех точках области D, то имеет место быть  формула Стокса

lRdr  = D∬(rotR)∙ ds

и новая формула

lRdr  = D∬(divR)ds,

при этом                                                              lRdr  =0

и                                                                                    lRdr  =0.

Если функция R аналитическая во всех точках области D, за исключением в точке r0, и в этой точке имеет вид R(r) = f(r)/(rr0) (13), то действительная часть интеграла (17) равна нулю:

lRdr = D∬(rotR)∙ ds =0,

а мнимая часть равна «3-х мерному вычету» функции, умноженному на 2πin (формула (17.2)). 

 

 

III. Пространственно - временной случай (d=4 – пространство Минковского)

В качестве базиса берем матрицы Дирака γi [3].

Пусть дана функция R=γiAi(xj) и дифференциал радиус-вектора (интервал) dρ= γjdxj (i,j=0,1,2,3). Пусть положительно ориентированная гиперповерхность S со своим контуром l задана в пространстве TXYZ.

Рассмотрим взаимосвязь между криволинейными (lRdρ) и поверхностными (D∬(∇R)dS) интегралами в пространстве Минковского.

Здесь  

∇ = γji –  набла оператор,

dS=Nds=0γ1cosα010γ2cosα020γ3cosα032γ1cosα12+γ1γ3cosα13+γ3γ2cosα23)ds – элемент гиперповерхности;   

π/2- α01,π/2- α02,… – углы между нормалью N и гиперплоскостями TX 0γ1), TY0γ2) и т.д. По-другому, cosα01,  cosα02,… – направляющие косинусы.

В частности:

A0=T, A1=X, A2=Y, A3=Z, x0=t, x1=x, x2=y, x3=z;

γ0γ1cosα01ds= γ0γ1dtdx;     γ0γ2cosα02ds= γ0γ2dtdy;     γ0γ3cosα03ds= γ0γ3dtdz;

γ2γ1cosα12ds= γ2γ1dxdy;     γ1γ3cosα13ds= γ1γ3dxdz;     γ3γ2cosα23ds= γ3γ2dydz;

 

Примечание («переход» от матриц Дирака к матрицам Паули) :

γ0γ1= -γ0γ11γ0≡σ1;     γ0γ22γ0≡σ2;     γ0γ33γ0≡σ3;    

γ2γ12γ12γ1γ0γ0=-γ2γ0γ1γ0 ≡ -σ2σ11σ2=iσ3; γ1γ33γ0γ1γ0 ≡σ3σ1=iσ2;  γ3γ2= -γ3γ0γ2γ0 ≡σ2σ3=iσ1;

γαγ0≡ σα– «замена» матриц Дирака матрицами Паули. 

 

Ниже будем доказывать теоремы, аналогичные двум предыдущим разделам (2-х и 3-х мерное пространства), тем самым обобщая их.

  

Теорема 7

Справедлива формула

lAdρD∬(∇A)dS                                                     (18)

Другими словами, в 4-х мерном псевдоевклидовом пространстве (пространство Минковского) интеграл от функции R по контуру l равен интегралу от ∇R  по поверхности D, которую ограничивает контур l. Теорема 7 (или формула (18)) – это частный, 4-х мерный случай смешанной структуры Ходжа [10].

Применяя произведение Клиффорда к формуле (18), получим в развернутом виде:

lA∙ dρ+lAdρD∬(∇∙ A)dS + D∬(∇∧A)∙ dS + D∬(∇∧A)∧dS

 

Приравнивая симметричную («скалярную») и бивекторную части правой и левой стороны последнего уравнения, получим:

   lA∙ dρD∬(∇∧A)∙ dS                                         (18.1)

lAdρD∬(∇∙ A)dS                                          (18.2)

Простые вычисления показывают:

D∬(∇∧A)∧dS =0                                              (18.3)

Формула (18.1) – есть обобщенная формула Стокса на случай пространства Минковского.  Смысл формул (18.2) и (18.3) раскроим в следующем разделе.

 

В теореме 7 для простоты мы допустили, что область D односвязная, и сама функция не имеет никаких особенностей в рассматриваемой области.

Доказательство теоремы 7 в Приложении 7.

 

 

Теперь рассмотрим общий случай, где функция имеет особенности в области интегрирования.

 

Теорема 8

Пусть функция A=γiAi(xj) со своими первыми производными определена во всех точках области D, т. е. она аналитическая в области D. Тогда

lAdρ = D∬(∇A)dS =0                                                             (19)

Если функция A=γiAi(xj) аналитическая в области D, то интеграл по замкнутому контуру l равен нулю. И наоборот, если выполняется (19), то функция аналитическая.   

Доказательство приведено теоремы 8 в Приложении 8.

 

 

Теперь предположим, что функция в области D имеет особую точку (полюс):

R(ρ) = f(ρ)/(ρρ0)

 

Теорема 9

Если функция R(ρ) аналитическая в области D, за исключением в точке ρ0, и в этой точке имеет особенность (полюс) вида R(ρ) = f(ρ)/(ρρ0), то справедлива формула:

                                                                (20)

N0γ1cosα010γ2cosα020γ3cosα032γ1cosα12+γ1γ3cosα13+γ3γ2cosα23 – бивектор  нормали.

Другими словами, формула (20) – есть обобщение интегральной формулы Коши [9] на случай пространства Минковского.

Доказательство теоремы 9 приведено в Приложении 9.

 

 

Следствие

Если функция A(t,x,y,z) дифференцируема k раз и имеет вид  lf(ρ)dρ/(ρρ0)k+1, то имеет место формула

                                                            (21)

 

 

Обобщая теоремы 7, 8 и 9, можем сделать заключение:

1. Если функция A=γiAi(xj) аналитическая во всех точках D, то справедлива формула

lAdρ= lA∙ dρ+lAdρD∬(∇∙ A)dS+ D∬(∇∧A)∙ dS+ D∬(∇∧A)∧dS =0, (22)

или,  разделяя (22) на «скалярную» и бивекторную части, получим

lA∙ dρ = D∬(∇∧A)∙ dS  =0                                          (23)

lAdρ= D∬(∇∙ A)dS =0                                          (24)

 D∬(∇∧A)∧dS =0

 

2. Если функция A=γiAi(xj) аналитическая в области D, за исключением в точке ρ0 и в этой точке функция имеет «4-х мерный» полюс первого порядка (имеет вид A(ρ) = f(ρ)/(ρρ0)), то справедлива формула

lAdρ= lA∙dρ+lAdρD∬(∇∙A)dS+ D∬(∇∧A)∙dS+ D∬(∇∧A)∧dS = 2πiNA(ρ0), (25)

а разделяя (25) на «скалярную» и бивекторную части, получим:

lA∙dρ  = D∬(∇∧A)∙dS =0                                   (26)

lAdρ = D∬(∇∙A)dS = 2πiNA(ρ0)                             (27)

D∬(∇∧A)∧dS =0                                           (28)

Формула (25) объединяет теорему Стокса с обобщенной интегральной формулой Коши в 4-х мерном псевдоевклидовом пространстве.

Физический смысл формул (22) – (28) прояснится в следующем разделе.

 

 

IV. Физическая интерпретация формул (18) – (28).

Пусть A0, A1, A2, A3 – потенциалы электромагнитного поля. Тогда формулу (18) можем записать в виде

lA∙dρ+ lAdρ= D∬(∇∙A)dS+ DFdS+ DFdS                     (29)

где F =∇∧A – тензор электромагнитного поля.

Согласно формулам (26) – (28), уравнение (29) разделим на скалярные, бивекторные и на псевдоскалярные части:

lAdρ= DFdS                                               (29.1)

 lAdρ= D∬(∇∙ A)dS                                          (29.2)

0= DFdS                                                   (29.3)

  

Теперь формулу (29) и её частные виды запишем в привычном трехмерном векторном виде.   В формулах (26) — (28) величины A, dρ, F, dS записывая в трехмерном векторном виде, получим:

 σ0 l∳(A0dt– Adr) = σ0 D∬(E + iB)∙(dST + idSP)                           (30.1)

 l∳(A0 dr– AdtiAdr)= D∬(tA0 A)(dST + idSP) = 2πiNA(ρ0) (или =0)    (30.2)

 D∬(E + iB)×(dST + idSP) =0,                                          (30.3)

где

E напряженность электрического поля; B — вектор магнитной индукции; ×— символ трехмерного векторного произведения; σ0— единичная 2х2 матрица;    dST  = drdt =1 dx +σ2 dy +σ3 dz)dt; dSP =(σ1 dydz +σ2 dxdz +σ3 dxdy);  N= σ1cosα012cosα02 3cosα03+iσ1cosα23 + iσ2cosα31 + iσ3cosα12; =NT+iNP:

Доказательства формул (30.1) — (30.3) приведены в Приложении 10.

 

 

Следствие 1

Согласно формуле (19), в пространстве, где отсутствуют заряды1,(по математическим терминам, область без особых точек и функция аналитическая в области) и циркуляция электромагнитного потенциала, и поток тензорного поля равны нулю.

Примечание1.  Утверждение 1 доказано в [11], где “дырки” в пространстве ассоциируются с 4х мерным электрическим током.

 

Следствие 2

Согласно формуле (20), если в пространстве присутствуют заряды (“дырки” — полюсы по математическим терминам), т. е. потенциал электромагнитного поля имеет вид

A(ρ) = f(ρ)/(ρρ0),

то тогда верна формула

lAdρ= 2πiNf(ρ0).                                               (31)

Другими словами, если в пространстве существует заряд в точке ρ0, то циркуляция потенциала электромагнитного поля равняется вычету потенциала в этой точке ρ0.  Совсем по-простому, «математический 4х мерный» простой полюс — ничто иное, как 4х мерный электромагнитный ток.

 

Обсуждения и выводы

  1.  Некоторые аспекты классической двумерной теории функции комплексного аргумента (например, интегральная теорема Коши и т. д.) расширены до 4х мерного случая (пространства Минковского [12]) — от комплексных (С) до гиперкомплексных (4 )  чисел.
  2. В рамках алгебры Клиффорда (4 ) найдена взаимосвязь между криволинейными и поверхностными интегралами, также между гиперкомплексными числами и элементами алгебры Клиффорда (4 ) (поливекторами) [13].
  3. Обобщены и объединены теорема Стокса [14], в частности, теорема Грина [15], а также интегральная теорема [16] и формула [9] Коши для гиперкомплексных чисел.
  4. Физическая интерпретация формул 4х  мерного случая пространства описывают известные законы взаимосвязи циркуляции векторного потенциала A и потока электромагнитного тензора F. Также хорошо описывается теорема Гаусса [17]. Результаты интерпретации полностью согласуются с уравнениями Максвелла.
  5. «4х мерный» вычет ассоциируется с 4х мерным электромагнитным током, тем самым представляется, что 4-х ток является одним из свойств, точнее, особенностей самого пространства. Проще говоря, сингулярности в теории классических полей — есть 4х мерный электромагнитный ток.      
  6. Следствием физической интерпретации формулы (29.2) или (30.2) является несколько необычной, на первый взгляд, формула

lAdρ= D∬(∇∙ A)dS = 2πiNA(ρ0) (или =0),

которая в классической теории полей в физике обычно априори  приравнивается к нулю (калибровка Лоренца) [18]:

∇∙ A =0

для исключения сингулярности поля – зарядов (электромагнитных токов – см. формулу (30) и [11]).

 

Благодарность

Выражаю искреннюю признательность своим домочадцам – сыну, дочерям, внукам, особенно, жене и соратнице Любе за поддержку, вдохновление, за созданный уют и помощь, без чего, вряд ли данный труд появился бы на свет.  Также благодарен всем, кто сопутствовал появлению работы и/или был (есть) заинтересованным читателем. 

 

 

Приложение 1.

Доказательство.

Так как

(R)ds =(R)ds + (∇∧ R)∙ds + (R)∧ds,

то равенство (2) можно переписать

                        lR∙dr +lRdr=D∬(R)ds + D∬(R)∙ ds + D∬(R)∧ds

Записывая , R и ds в координатном виде и вычисляя, убедимся, что последний интеграл справа равен нулю:

D∬(R)∧ds = σ1σ2 D∬(∂xY – ∂yX)∧σ1σ2dxdy =0,

так как (σ1σ2)∧(σ1σ2) =0.

В итоге из (2) получим

lRdr =D∬(R)ds + D∬(R)∙ ds                                    (1.1)

Далее

R = (σ1x2y)∙ (σ1X+σ2Y) = σ0(∂xX +∂yY)                                  (1.2)

R=(σ1x2y)∧(σ1X+σ2Y) = σ1σ2(∂xY - ∂yX)                              (1.3)

Учитывая (1.2), (1.3) и

(R)ds= σ0(∂xX+∂yY1σ2dxdy = iσ3(∂xX+∂yY)dxdy

(R)∙ ds = iσ3(∂xY - ∂yX)iσ3dxdy = σ0(∂yX - ∂xY)dxdy,

из (1.1) получим

lRdr = σ0D∬(∂yX - ∂xY)dxdy + iσ3D∬(∂xX +∂yY)dxdy                      (1.4)

Сравнивая формулы (1) и (1.4), получим

σ0l∳(Xdx+Ydy)+iσ3l∳(Xdy-Ydx)=σ0D∬(∂yX - ∂xY)dxdy+iσ3D∬(∂xX+∂yY)dxdy   (1.5)

Приравнивая “скалярные” и бивекторные части  (1.5),  получим:

l∳(Xdx +Ydy) = D∬(∂yX - ∂xY)dxdy                                                 (1.6)

l∳(Xdy - Ydx) = D∬(∂xX + ∂yY)dxdy                                                  (1.7)

Ссылая любопытного читателя за простыми доказательствами (1.6) и (1.7) в [15], напомним лишь то, что (1.6) — есть формула Грина. Доказательство (1.7) аналогично доказательству (1.6). Формула (1.7) также есть формула Грина при Y→- Y .

Формула (2) доказана.

 

 

Приложение 2.

Доказательство теоремы 2.

В формуле (1.5) Приложения 1 рассмотрим правую сторону уравнения:

σ0 D∬(∂yX - ∂xY)dxdy + σ1σ2 D∬(∂xX +∂yY)dxdy

Нам достаточно будет доказать равенство нулю одного из этих четырех интегралов, например,  D∬∂yXdxdy, а равенство остальных интегралов будет аналогично. 

Двойной интеграл по D превращаем в двукратный интеграл.

 

Рис.2.1

Согласно рисунку 2.1,

D∬∂yXdxdy = abdxy1y2dyX/y = abdx (X(x,y2) -X(x,y1))= abdxX(x,y2)  - abdxX(x,y1)

 

Существуют интегралы (первообразные F(x,y2) и F(x,y1)) от X(x,y2) и X(x,y1), так как предполагали, что функция аналитическая.

Тогда

D∬∂yXdxdy = F(x,y2) |ba - F(x,y1)|ba = F(b,y2(b)) - F(b,y2(a)) - F(a,y1(b)) + F(a,y1(a))

Так как

y2(b) = y1(b) и y2(a) = y1(a), то

D∬∂yXdxdy = 0

Аналогично доказывается равенство нулю и остальных двойных интегралов из (1.5). Таким образом, мы доказали равенство нулю правую сторону уравнения (1.5).

σ0 D∬(∂yX - ∂xY)dxdy + σ1σ2 D∬(∂xX +∂yY)dxdy = 0

 

Теперь рассмотрим левую сторону уравнения (1.5).

σ0 l∳(Xdx +Ydy)+ σ1σ2l∳(Xdy-Ydx)

Преобразуем криволинейный интеграл в определенный:

l∳(Xdx +Ydy) = ab(X +Yyx)dx

Так как функция аналитическая (т.е. существует первообразная) и a =b, то последний интеграл равен нулю (легко вычисляется). Точно также и вторая часть криволинейного интеграла тоже равна нулю:

∳(Xdy-Ydx) =0

Тем самым, мы доказали необходимость и достаточность равенства нулю (1.5) (теорему 2). Теорема 2 доказана.

 

 

Приложение 3.

Доказательство формулы (5) — Теоремы 3.

Преобразуем интеграл lf(r)dr/(rr0):

 

Очевидно, что первый интеграл в правой стороне равен нулю:

 l∳[f ‘(r)]rdr = f ‘(r)|l = 0

Во втором интеграле (ldr/(rr0) ) произведем параметризацию: r  - r0 =z, z = σ1u+σ2v:

ldr/(rr0) = ldz/z

Тогда получим интегральную формулу Коши [9]:

ldz/z =ld1u+σ2v)/(σ1u+σ2v)=ld0u+σ1σ2v)/(σ0u+σ1σ2v)=

=ld0u+iσ3v)/(σ0u+iσ3v)=ld(|z|exp(iσ3φ))/|z|exp(iσ3φ)=

=0ρexp(iσ3φ)dφ/ρexp(iσ3φ) =iσ3

В итоге получим  (5), т.е. доказательство теоремы 3.

 

 

Приложение 4.

Простые вычисления формулы (10) показывают, что

D∬(R)ds  = D∬(∂x X + ∂yY +∂zZ)ds                                            (4.1)

D∬(R)∙ ds0 D∬(∂zY - ∂yZ)dydz +(∂xZ - ∂zX)dxdz +(∂yX - ∂xY)dxdy                 (4.2)

D∬(R)∧ds = iD∬σ3[(∂zY - ∂yZ)dxdz - (∂xZ- ∂zX)dydz]+σ2[(∂yX- ∂xY)dydz- (∂zY-

 ∂yZ)dxdy]+ σ1[(∂xZ- ∂zX)dxdy- (∂yX- ∂xY)dxdz]                               (4.3)

 

1.  Рассмотрим интеграл (4.1). Этот интеграл (D∬(R)ds) проецируем на плоскости X0Y, Y0Z, Z0X (Рис.2):

D∬(R)ds  = D∬(∂x X + ∂yY +∂zZ)ds =

=iσ1 D1∬(∂yY+∂zZ)dydz + iσ2 D2∬(∂x X+∂zZ)dzdx+ iσ3 D3∬(∂x X+ ∂yY)dxdy

К каждому интегралу этого выражения применяем формулы (1.6) и (1.7) из Приложения 1.

iσ1 D1∬(∂yY +∂zZ)dydz= iσ1 l1∳(Ydz-Zdy)

iσ2 D2∬(∂x X +∂zZ)dzdx = iσ2 l2∳(Xdz-Zdx)

iσ3 D3∬(∂x X + ∂yY)dxdy = iσ3 l2∳(Xdy-Ydx)

Сравнивая эти выражения со второй частью правой стороны формулы (9), получим

D∬(∂x X+ ∂yY+∂zZ)ds =i l∳σ1(Ydz - Zdy) + σ2(Zdx - Xdz) + σ3(Xdy - Ydx)  (4.4)

 

2. Теперь рассмотрим интеграл (4.2). Проектируя интеграл по плоскостям X0Y, Y0Z, Z0X:  

D∬(R)∙ ds0(D1∬(∂zY - ∂yZ)dydz + D2∬(∂xZ - ∂zX)dxdz + D3∬(∂yX - ∂xY)dxdy)

и применяя к каждому интегралу формулы (1.6) и (1.7) из Приложения 1, получим

D1∬(∂zY - ∂yZ)dydz = l1∳(Ydy +Zdz)

D2∬(∂xZ - ∂zX)dxdz = l2∳(Zdz +Xdx)

D3∬(∂yX - ∂xY)dxdy = l3∳(Xdx +Ydy)

Сравнивая эти выражения с первой частью правой стороны формулы (9), получим

σ0  lXdx+ Ydy+ Zdz = σ0 D∬(∂zY - ∂yZ)dydz +(∂xZ - ∂zX)dxdz +(∂yX - ∂xY)dxdy  (4.5)

Это классическая формула Стокса.

 

3. Теперь рассмотрим интеграл (4.3). Опять, проектируя интеграл на плоскости X0Y, Y0Z, Z0X  и интегрируя, убедимся, что 

D∬(R)∧ds =0                                              (4.6)

Доказательство (4.6) очень просто, в чем любознательный читатель может убедиться сам. Например, рассматривая проекцию на плоскости X0Y, получим

i D3∬σ2[ - (∂zY - ∂yZ)dxdy]+ σ1[(∂xZ - ∂zX)dxdy] =0,

так как на плоскости X0Y  Z=const и dz=0.

Таким образом, мы получили формулу 

lRdr  = D∬(R)ds + D∬(R)∙ds                           (4.7)

Это и есть обобщенная формула Стокса.

Теорема 4 доказана.

 

 

Приложение 5.

Доказательство теоремы 5.

Проектируем интегралы (4.1), (4.2) и (4.3) на плоскости X0Y, Y0Z, Z0X:

Например,

D∬(∂x X+ ∂yY+∂zZ)ds= D∬(∂x X+ ∂yY+∂zZ)(σ1σ2cosγ+ σ2σ3cosα + σ3σ1cosβ)ds=

=iσ1D1∬(∂yY+∂zZ)dydz + iσ2D2∬(∂x X+ ∂zZ)dzdx + iσ3D3∬(∂x X+ ∂yY) dxdy

Теперь к каждому интегралу по двумерным плоскостям, применяя процедуры из Приложения 1, убедимся, что все эти интегралы равны нулю. Аналогично доказывается равенство нулю и остальных интегралов (4.2) и (4.3).

Теорема 5 (формула (12)) доказана.

 

 

Приложение 6.

Доказательство теоремы 6.

Преобразуем интеграл

lf(r)dr/(rr0) =  l∳(f(r) - f(r0) + f(r0))dr/(rr0)=

= l∳(f(r) - f(r0))dr/(rr0) + f(r0) ldr/(rr0)

f(r) - f(r0))/(rr0)→f ‘(r) при r→ r0.

Очевидно, что первый интеграл по замкнутому контуру l равен нулю:

l∳(f(r) - f(r0))dr/(rr0)= lf ‘(r)dr = f(r)|l=0

 

Проектируя на плоскости X0Y, Y0Z, Z0X второй интеграл (точнее ldr/(rr0)) и заменяя r=rr0, получим

ldr/(rr0) =l∳(σ1dx2dy3dz)/(σ1(xx0) + σ2(yy0) + σ3(zz0)) →

l3∳(σ1dx2dy)/(σ1x2y) +l2∳(σ1dx3dz)/(σ1x3z) +l1∳(σ2dy3dz)/(σ2y3z)

Применяя к каждому интегралу теорему 2, в итоге получим

f(r0) ldr/(rr0)= 2πi f(r0)(σ1cosα2cosβ3cosγ)= 2πin f(r0)

Теорема 6 (формула (14)) доказана.

 

 

Приложение 7

Доказательство формул (18)

Пространство TXYZ, соответственно, интегралы lAdρи D∬(∇A)dS разложим по подпространствам XYZ(D0, l0), TYZ(D1, l1), TXZ(D2, l2), TXY(D3, l3):

lAdρ = l0Adρ0 + l1Adρ1 + l2Adρ2 + l3Adρ3                         (7.1)

и

D∬(∇A)dS= D0∬(∇A)dS0+ D1∬(∇A)dS1+ D2∬(∇A)dS2+ D3∬(∇A)dS3           (7.2)

Теперь к каждому «подпространственному» интегралу lAdρи D∬(∇A)dS применяем Приложение 4.  Далее, разделяя на «скалярные» и на бивекторные части формулы

lAdρ+ lAdρ = D∬(∇∙ A)dS+ D∬(∇∧A) ∙ dS+ D∬(∇∧A)∧dS,                    (7.3)

получим:

lA∙ dρ = D∬(∇∧A)∙ dS                                               (7.4)

lAdρ = D∬(∇∙ A)dS                                                 (7.5)

Остальные члены правой стороны (7.3) равны нулю, в частности,

D∬(∇∧A)∧dS = 0                                                   (7.6)

Мы не будем приводить элементарные, но однообразные математические выкладки, читатель сам легко сможет убедиться в справедливости формул (7.4) – (7.6).

Формула (18) доказана.

 

 

Приложение 8

Доказательство теоремы 8.

Интегралы lAdρ и D∬(∇A)dS из (19) разложим по подпространствам, как в предыдущем приложении 7 и применим к каждому подпространственному интегралу (криволинейному и поверхностному) приложение 5. Простые математические выкладки показывают, что формула (19) выполняется.

Теорема 8 (формула (19)) доказана.

 

 

Приложение 9.

Доказательство теоремы 9.

Преобразуем интеграл (20)

lf(ρ)dρ/(ρρ0) =  l∳(f(ρ) - f(ρ0) + f(ρ0))dρ/(ρρ0)=

= l∳(f(ρ) - f(ρ0))dρ/(ρρ0) + f(ρ0) ldρ/(ρρ0)

f(ρ) - f(ρ0))/(ρρ0)→f ‘(ρ) при ρ ρ0.

Очевидно, что этот первый интеграл по замкнутому контуру l равен нулю:

l∳(f(ρ) - f(ρ0))dρ/(ρρ0)= lf ‘(ρ)dρ = f(ρ)|l=0

 

Проектируя на плоскости X0Y, Y0Z, Z0X, T0Y, T0Z, T0X второй интеграл (точнее ldρ/(ρρ0)) и заменяя ρ=ρρ0, получим

ldρ/(ρρ0) = l∳(γ0dt1dx+ γ2dy+ γ3dz)/(γ0(tt0)+γ1(xx0)+ γ2(yy0)+ γ3(zz0)) →

lT0X∳(γ0dt1dx)/(γ0t1x)+ lT0Y∳(γ0dt2dy)/(γ0t2y)+ lT0Z∳(γ0dt3dz)/(γ0t3z)++lX0Y∳(γ1dx+ γ2dy)/(γ1x2y)+ lX0Z∳(γ1dx3dz)/(γ1x3z)+ lY0Z∳(γ2dy+ γ3dz)/(γ2y3z)

Применяя к каждому интегралу теорему 3, в итоге получим

f(ρ0) ldρ/(ρρ0)= 2πiN f(ρ0),

где N – 4-хмерный нормаль.

Теорема (9) (или формула (20)) доказана.

 

 

Приложение 10

Доказательство формулы (30.1).

Перепишем формулу (29.1): 

Левая часть уравнения

l∳(A0dt - A1dx - A2dy - A3dz) =l∳(A0dt — A∙dr)

Правая часть уравнения

 D∬(γ0γ1F010γ2F020γ3F032γ1F211γ3F133γ2F32)∙ (γ0γ1dtdx0γ2dtdy+

 γ0γ3dtdz2γ1dxdy1γ3dxdz3γ2dzdy) =

= D∬(σ1E12E23E3+iσ3B3+iσ2B2+iσ1B1)∙ (σ1dtdx+σ2 dtdy+ σ3dtdz+iσ1dxdy+iσ2dxdz+iσ3dzdy) = D∬(E+iB)∙(dtdr+idSP).

где γ0γ1= -γ0γ1 = γ1γ01; ... γ2γ1= γ2γ1γ0γ0 = -γ2γ0γ1γ0 =-σ2σ1 = iσ3 ; ... и т.д.

Формула (30.1) доказана.

 

Доказательство формулы (30.2).

Перепишем формулу (29.2):

 l∳(γ0A01A12A23A3)∧(γ0dt1dx+ γ2dy3dz)=

= l∳(σ1(A0dx - A1dt)+σ2(A0dy - A2dt)+σ3(A0dz - A3dt)+iσ1(A3dy - A2dz)+iσ2(A1dz - A3dx)+iσ3(A2dx - A1dy))=

=l∳(A0drAdt+iA×dr);

 D∬(∇∙ A)dS =D∬(0A0 1A1 2A2 3A3)(γ0γ1dtdx0γ2dtdy+ γ0γ3dtdz2γ1dxdy1γ3dxdz3γ2dzdy) =

=D∬(0A0 A)(dtdr+idSP );

Формула (30.2) доказана.

 

Доказательство формулы (30.3).

Перепишем формулу (29.3):

 DFdS =  D∬(γ0γ1F010γ2F020γ3F032γ1F211γ3F133γ2F32)∧ (γ0γ1dtdx0γ2dtdy+ γ0γ3dtdz2γ1dxdy1γ3dxdz3γ2dzdy) =

=  D∬[σ1(E1+iB1)+σ2(E2+iB2)+σ3(E3+iB3)]∧ [σ1(dtdx+idxdy)+σ2(dtdy+idxdz)+ σ3(dtdz+idzdy)] =

=iD∬(E+iB)×(drdt+idSP) =0;

Формула (30.3) доказана.

Библиографический список:

1. Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной. — М.: Наука, 1967. стр. 14..
2. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Краткий курс теоретической физики, том 2: Квантовая механика. М.: Наука, 1972, стр. 144.
3. Пескин М., Шредер Д. Введение в квантовую теорию поля, Ижевск, 2002, 784 с.
4. Научная библиотека, Математический справочник, Односвязная область. http://dict.sernam.ru/index.php?id=1088.
5. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. М.: Наука, 1961, стр. 119.
6. Chris J.L. Doran. Geometric Algebra and Application to Mathematical Physics, Sidney Sussex College, University of Cambridge. February 1994, pages 4-6.
7. Половинкин Е.С., Балашов М.В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа, М., ФИЗМАТЛИТ, -2004. ISBN 5-9221-0499-3, стр.24.
8. Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной. — М.: Наука, 1967. стр. 32, 109..
9. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. М.: Наука, 1961, стр. 90 – 93.
10. Ф. Гриффитс, Дж. Харрис. Принципы алгебраической геометрии. - ИО НФМИ, 2000. - Т. 1. - 496 с. - ISBN 5-80323-126-6.
11. Бабаев А.Х., Сохранение 4-х мерного тока в формализме, основанном на алгебре Клиффорда, Электронный периодический рецензируемый научный журнал «SCI-ARTICLE.RU», №42 (февраль) 2017, стр. 27-33. http://sci-article.ru/number/02_2017.pdf
12. Кострикин А.И., Манин Ю.И., Линейная алгебра и геометрия, М., Наука, 1986.
13. Dirac P.A.M., The Quantum Theory of the Electron? Proc/ R/ Soc/ A117 610 (1928).
14. Пискунов Н. С., Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т. 2, -13-е изд.- М.,Наука, 1985, стр. 229 – 233.
15. Теорема Грина. Пискунов Н. С., Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т. 2, -13-е изд.- М.,Наука, 1985, стр. 217 – 219.
16. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. М.: Наука, 1961, стр. 80 – 89.
17. Матвеев А. Н., Электричество и магнетизм, М., 1983. стр. 81- 86.
18. Калибровка Лоренца. Ландау Л.Д., Лифшиц У.М., Теория поля, том 2, Москва, ФИЗМАТЛИТ, стр. 155.




Рецензии:

16.07.2019, 12:19 Мирмович Эдуард Григорьевич
Рецензия: Работа интересная, имеет признаки научной новизны, даже может быть включена в курс высшей математики профильного высшего учебного заведения. Рецензент сделает, с позволения автора, несколько замечаний. Не очень понятно: автор то декларирует, что доказывает взаимное соответствие гиперкомплексных чисел и алгебры Клиффорда, то их отождествляет в текстовых фрагментах, что совершенно естественно, т.к. это соответствие входит в дефиницию данной алгебры и вряд ли требует отдельного доказательства. Рецензент имеет публикации по кватернионам, и немного обидно, что автор свои рассуждения относит по большей части к 4-х размерному пространству, а в тексте слово "кватернион" отсутствует. В цитате, например: "все законы физики в нулевом приближении происходят" необходимо уточнить смысл, т.к. законы не происходят, а выполняются. Ссылка [1] (курс лекций в МГУ) не является первичной в авторском смысле в рамках констатации соответствия между векторами и комплексными числами, тем более что существует более позднее издание этого курса (например, 2005 год). В перечне источников у книг следует указывать общее количество страниц этой книги, а то читатель может подумать, что фундаментальный курс лекций состоит всего из 14 стр. Ссылка на один и тот же источник в перечне недопустима, указывается, например, [1, стр. 144]. В перечне: "Теорема Грина. Пискунов Н. С., Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т. 2, -13-е изд.- М.,Наука, 1985, стр. 217 – 219" - надо начать с автора, а не названия. Большое число синтаксических ошибок (деепричастные обороты в некоторых случаях, лишние запятые, например, перед "как" в контексте сравнений и др.). Несмотря на то, что рецензент "исповедует религию" отсутствия в природе плоского пространства и универсальности пространства квазипостоянной кривизны, в котором заведомо невыполнима теорема Пифагора, следовательно, спорны все аддитивные квадратичные формы, настоящая статья с учётом микрозамечаний рецензента рекомендуется к опубликованию как уточнения и дополнения в целый ряд ортодоксальных представлений классической математики, что составляет существенный вклад в неё, а также как гигантский осмысленный и формативно-оформительский труд.

17.07.2019 6:06 Ответ на рецензию автора Бабаев Алимжан Холмуратович:
Уважаемый Эдуард Григорьевич, спасибо за положительный отзыв! Я полностью согласен с Вашими замечаниями. Себе «в оправдание» хочу внести некоторые пояснения. Я считал, что биекция между гиперкомплексными числами и элементами (d числами) алгебры Клиффорда не очевидна. Мне казалось (возможно, ошибаюсь), что элементы алгебры Клиффорда E4 шире (скаляр, вектор, тривектор с их дуальные «партнеры» - их 16), чем гиперкомплексные числа в 4хмерном пространстве (6 + скаляр). Если Вы имеете в виду только четные d числа Дирака, то здесь я абсолютно согласен с Вами. Связь квартернионов, точнее, биквартернионов с гиперкомплексными числами в данной статье дейстивительно упущена. Если совсем честно, то я сам пока ещё не очень понимаю связь между биквартернионами и гиперкомплексными числами. Фразой «Также все законы физики в нулевом приближении происходят в пространстве Минковского (СТО, квантовая механика и т.д.)» я имел в виду, что «плоское» пространство (в данном случае, пространство Минковского) – это всего лишь простая (упращенная) модель для изучения физических процессов. Насчет грамматики русского языка, Вы правы – это моя «ахиллесова пята». Надеюсь, что и Вы, и читатели отнесутся снисходительно ко мне, как к «инакоязычному».

18.07.2019, 16:56 Мирмович Эдуард Григорьевич
Рецензия: Дорогой коллега! Было отмечено лишь, что физические процессы происходят, а физические законы выполняются. Замените одно слово и всё. 4-мерное пространство соответствует алгебре кватернионов Гамильтона ("система гиперкомплексных чисел, образующая векторное пространство размерностью четыре над полем вещественных чисел" - Википедия). О расширении Ваших рассуждений до бикватернионов ещё надо говорить. В предыдущей рецензии имелось в виду, что в одном случае ВЫ говорите, что "Установлено взаимно однозначное соответствие (биекция) между гиперкомплексными числами (ГЧ) и элементами пространства ℰ4", где между ГЧ и элементами алгебры Клиффорда (АК) ℰ4 только устанавливается Вами геоморфизм, а в другом случае пишите: "... от комплексных (С) до гиперкомплексных (ℰ4) чисел", относя ГЧ автоматически к АК. Просто корректив элементарный, убрав из скобок второго предложения "ℰ4", добавив "и далее - до АК". Рецензент отметил некоторые исправления в списке литературы и др. правки. Желательно ещё убрать лишние запятые, но... Работа РЕКОМЕНДУЕТСЯ к опубликованию с аргументами из предыдущей рецензии. А вообще-то, жаргон "плоская 4-мерность пространства" должен уходить из научной терминологии. Пространство с нулевой кривизной, пространство нулевой кривизны и пр. - это корректнее. Приведу не совсем свои слова: "Понятно, что "пространственно-плоская" модель, требующая абсолютной изотропности по всем реальным и виртуальным параметрам, не соответствует наблюдательным фактам. Вещество вокруг нас распределено неоднородно и анизотропно (где-то есть звезды и галактики, а где-то их нет), скопления материи эволюционируют (меняются со временем), а пространство, как мы знаем из экспериментально подтвержденной теории относительности, искривлено. Что такое кривизна в трехмерном пространстве? В евклидовом мире сумма углов любого треугольника равна 180 градусам — по всем направлениям и в любом объеме. В неевклидовой геометрии — в искривленном пространстве — сумма углов треугольника будет зависеть от кривизны. Два классических примера — это треугольник на сфере, где кривизна положительна, и треугольник на седлообразной поверхности, где кривизна отрицательна. В первом случае сумма углов треугольника больше 180 градусов, а во втором случае — меньше. Когда мы обычно говорим о сфере или о седле, мы представляем себе искривленные двумерные поверхности, окружающие трехмерные тела. Когда мы говорим о Вселенной, надо понимать, что мы переходим к представлениям о трехмерном искривленном пространстве — например, говорим уже не о двумерной сферической поверхности, а о трехмерной гиперсфере". Об этом намекалось и в предыдущей рецензии. Работы по развитию теоретико-математических инструментов и сверхтонких "изысков" в рамках моделей неискривлённого пространства могут оказаться "из пушки по воробьям". Спасибо за внимание! Успехов!



Комментарии пользователей:

Оставить комментарий


 
 

Вверх