кандидат физ. - мат. наук
пенсионер
пенсионер
УДК 517.373; 512.718; 537.812
Введение
В двумерном плоском пространстве соответствие между векторами и комплексными числами очевидно из классического курса теории функций комплексного аргумента [1]. Но в многомерном пространстве (d >2) эта очевидность не кажется явной.
В данной статье рассматривается связь между криволинейными и поверхностными интегралами от 2-х мерного и до 4-х мерного физического «плоского» пространства (пространства Минковского) в рамках алгебры Клиффорда. При этом устанавливается взаимно - однозначное соответствие (биекция) между гиперкомплексными числами и элементами пространства ℰ4 (γi – матрицы Дирака и их комбинации, в частности, γαγ0 =σα – матрицы Паули).
Особенность рассмотрения 4-х мерного пространства заключается в том, что 4-х мерное “плоское” пространство (пространство-время) — псевдоевклидово. Также все законы физики в нулевом приближении происходят в пространстве Минковского (СТО, квантовая механика и т.д).
В качестве базисных векторов мы будем использовать матрицы Паули σα(α=1,2,3) [2] для 2х и 3х мерного случая (согласно сигнатуре пространств: ++ и +++) , и матрицы Дирака γi (i=0,1,2,3) [3] для четырехмерного случая пространства (сигнатура +- - -).
Результаты
I. Плоский случай (d=2)
Пусть на плоскости ХОУ заданы вектор-функция R(x,y) и радиус-вектор r(x,y).
R(x,y)=σ1X(x,y)+σ2Y(x,y) и r(x,y) = σ1x+σ2y,
где X(x,y), Y(x,y) – функции от x и y.
Рассмотрим криволинейный интеграл l∳Rdr по замкнутому контуру l, который ограничивает область (D) (Рис. 1).
Условимся, что при интегрировании по контуру l область D всегда остается слева, т. е. движение по контуру идет против часовой стрелки. Также пока не будем рассматривать особенности (односвязность, неодносвязность [4]) области D и поведение функции R(x,y) и её производных (полюсы [5]).
Рис. 1. r0 – особая точка.
Применяя произведение Клиффорда к произведению векторов Rdr [6]
Rdr=R∙ dr +R∧dr=(σ1X+σ2Y)∙ (σ1x+σ2y)+(σ1X+σ2Y)∧(σ1x+σ2y)
и упрощая, получим
l∳Rdr = σ0 l∬(Xdx +Ydy)+ σ1σ2l∳(Xdy-Ydx) (1)
Теперь установим взаимосвязь между криволинейными l∳ и поверхностными интегралами D∬.
Теорема 1
Справедлива формула
l∳Rdr =D∬(∇R)ds, (2)
где ds = σ1σ2dxdy=iσ3dxdy – элемент площади , ∇= σ1∂x+σ2∂y – набла оператор, i – мнимая единица.
Другими словами, криволинейный интеграл от функции R по контуру l равен поверхностному интегралу от ∇ R по области D, которая ограничивается контуром l.
Замечание. В Rdr и (∇R)ds используется клиффордово произведение векторов.
Доказательство теоремы 1 в Приложении 1.
Теперь перейдем к особенностям функции и области интегрирования.
Для простоты допустим, что область D односвязная. Если область D неодносвязная (например, не всюду выпуклая [7]), то можно разбить область D на односвязные подобласти и интегрировать функцию по всем подобластям и суммировать результаты интегрирования.
Теорема 2.
Пусть функция R(x,y)=σ1X(x,y)+σ2Y(x,y) со своими первыми производными определена во всех точках области D, т. е. она аналитическая в D [8]. Тогда справедлива формула
l∳Rdr = D∬(∇R)ds =0. (3)
Проще говоря, если функция R дифференцируемая (аналитическая) в интегрируемой области, то криволинейный интеграл от R по контуру l равен нулю. И наоборот, если поверхностный интеграл от ∇ R по области D (или l∳Rdr =0) равен нулю, то функция R в этой области аналитическая.
Доказательство теоремы 2 приведено в Приложении 2.
Теперь предположим, что функция R(x,y)=σ1X(x,y)+σ2Y(x,y) имеет особенность в рассматриваемой области.
Теорема 3
Пусть функция R(x,y)=σ1X(x,y)+σ2Y(x,y) имеет неустранимую особую точку (полюс) в области D вида
R(r) = f(r)/(r – r0) (4)
Если функция R(r) аналитическая в области D, за исключением в точке r0, этой области, т. е. если функция имеет вид (4), то справедлива формула:
(5)
Доказательство теоремы 3 приведено в Приложении 3.
Следствие
Если функция R(x,y) дифференцируемая n раз в области D и при этом в точке r0 имеет особенность вида l∳f(r)dr/(r – r0)n+1, то справедлива формула
(6)
Вывод:
Обобщая формулы (2) – (6), можем заключить:
1. Если функция R(x,y) аналитическая в области D, ограниченной контуром l, то справедлива формула (3), т. е.
σ0l∳(Xdx+Ydy)+iσ3 l∳(Xdy-Ydx)=σ0 D∬(∂yX– ∂xY)dxdy+iσ3 D∬(∂xX+∂yY)dxdy=0 (7)
Разделяя (7) на действительную и мнимую части, получим формулу Грина:
l∳(Xdx+Ydy = D∬(∂yX– ∂xY)dxdy (7.1)
l∳(Xdy – Ydx) = D∬(∂xX+∂yY)dxdy (7.2)
Примечание 1. В (7.2) заменяя Y→ –Y , получим (7.1), т.е. (7.1) и (7.2) – есть формула Грина.
Примечание 2. Подчеркиваем, если функция аналитическая, то интеграл равен нулю (и действительная, и мнимая части):
l∳(Xdx+Ydy = D∬(∂yX– ∂xY)dxdy = 0 (7.3)
l∳(Xdy – Ydx) = D∬(∂xX+∂yY)dxdy = 0 (7.4)
2. Если функция имеет полюс первого порядка, т. е. имеет вид (4), то справедлива формула (5):
σ0l∳(Xdx+Ydy)+iσ3(Xdy-Ydx)=D∬σ0(∂yX– ∂xY)dxdy+iσ3(∂xX+∂yY)dxdy=2πiσ3f(r0) (8)
Формула (8) объединяет формулу Грина и интегральную формулу Коши.
Разделяя (8) на действительную и мнимую части, получим:
l∳(Xdx+Ydy)=D∬(∂yX– ∂xY)dxdy=0 (8.1)
il∳(Xdy-Ydx)=iD∬(∂xX+∂yY)dxdy=2πif(r0) (8.2)
Примечание. Если в области интегрирования функция имеет полюс первого порядка, то действительная часть интеграла равна нулю (8.1), а мнимая часть равна вычету функции в особой точке, умноженному на 2πiσ3 (в плоскости X0Y) (8.2).
II. Пространственный случай (d=3)
Рассмотрим интеграл l∳Rdr в трехмерном евклидовом пространстве.
R(x,y,z) =σ1X(x,y,z) + σ2Y(x,y,z) + σ3Z(x,y,z),
dr(x,y,z) = σ1dx+ σ2dy + σ3dz.
Применяем произведение Клиффорда к Rdr.
Rdr =(σ1X + σ2Y + σ3Z)(σ1dx+ σ2dy + σ3dz)
Rdr =σ0 (Xdx + Ydy +Zdz) + σ1σ2(Xdy- Ydx) + σ2σ3(Ydz - Zdy) + σ3σ1(Zdx - Xdz)
Интегрируя последнее выражение по замкнутому контуру l,получим формулу
l∳Rdr = σ0 l∳Xdx+ Ydy+ Zdz+i(l∳σ1(Ydz - Zdy)+ σ2(Zdx - Xdz)+ σ3(Xdy - Ydx)) (9)
Теперь рассмотрим поверхностный интеграл. Пусть положительно ориентированная поверхность S с контуром l задана в пространстве XYZ (Рис.2). Нормаль n с осями координат x,y,z составляет углы α, β, γ.
Рис. 2
К интегралу D∬(∇R)ds применяем произведение Клиффорда
D∬(∇R)ds = D∬(∇∙ R)ds + D∬(∇∧R)∙ ds + D∬(∇∧ R)∧ds, (10)
где ∇ ≡ σ1∂x+σ2∂y+σ3∂z – оператор набла;
ds = nds = (σ1σ2cosγ+ σ2σ3cosα + σ3σ1cosβ)ds – элемент поверхности;
σ2σ3cosα ds= iσ1dydz; σ3σ1cosβ ds= iσ2dzdx; σ1σ2cosγ ds= iσ3dxdy.
Теперь докажем некоторые теоремы для трехмерного случая, как в предыдущем двумерном случае.
Теорема 4
Справедлива формула
l∳Rdr =D∬(∇R)ds (11)
или
l∳R∙ dr = D∬(∇∧R)∙ ds (11.1)
l∳R∧dr = D∬(∇∙ R)ds (11.2)
D∬(∇∧ R)∧ds = 0 (11.3)
Другими словами, в 3-х мерном пространстве интеграл от функции R по контуру l равен интегралу от ∇R по поверхности D, которая ограничивается контуром l.
Формулы (11.1) и (11.2) – теорема Стокса.
Доказательство теоремы 4 в Приложении 4.
При интегрировании, для простоты, и здесь допускали, что область D односвязная, и сама функция не имеет никаких особенностей.
Разбивание неодносвязной области на односвязные подобласти не будем рассматривать, так как эта процедура в трехмерном случае пространства производится так же, как и в двумерном пространстве.
Теперь рассмотрим случай, когда функция имеет особенности в области интегрирования.
Теорема 5
Пусть функция R(x,y,z)=σ1X(x,y,z)+σ2Y(x,y,z)+ σ3Z(x,y,z) со своими первыми производными определена во всех точках области D. По-другому говоря, она аналитическая в области D. Тогда справедлива формула
l∳Rdr = D∬(∇R)ds =0. (12)
Другими словами, если функция R(x,y,z) аналитическая в области интегрирования, то интеграл по замкнутому контуру l равен нулю. И наоборот, если интеграл по замкнутому контуру l равен нулю, то функция аналитическая.
Доказательство теоремы 5 приведено в Приложении 5.
Теперь предположим, что функция в области D имеет особую точку вида – полюс первого порядка:
R(r) = f(r)/(r – r0) (13)
Теорема 6
Если функция R(r) аналитическая в области D и при этом имеет особую точку r0 в этой области, т. е. если функция имеет вид (13), то справедлива формула:
(14)
n= σ1σ2cosγ + σ2σ3cosα + σ3σ1cosβ – вектор нормали.
Формула (14) – есть обобщение интегральной формулы Коши [9] на случай трехмерного пространства.
Доказательство формулы (14) приведено в Приложении 6.
Следствие
Если функция R(x,y,z) дифференцируема k раз и имеет вид l∳f(r)dr/(r – r0)k+1, то справедлива формула
(15)
Обобщая (12), (14) и (15), можем сделать заключение:
1. Если функция R(x,y,z) аналитическая в области D, то справедлива формула
l∳Rdr = σ0 l∳R∙ dr+i l∳R∧dr = σ0 D∬(rotR)∙ ds +iD∬(divR)ds =0 (16)
Разделяя (16) на действительную и мнимую части, получим
l∳R∙ dr = D∬(rotR)∙ ds =0 (16.1)
l∳R∧dr = D∬(divR)ds =0 (16.2)
2. Если функция имеет полюс первого порядка в области D, т. е. имеет вид R(r) = f(r)/(r – r0), то справедлива формула
l∳Rdr = σ0 l∳R∙ dr+i l∳R∧dr = σ0 D∬(rotR)∙ ds +iD∬(divR)ds =2πin f(r0) (17)
Разделяя (17) на действительную и мнимую части, получим
l∳R∙ dr = D∬(rotR)∙ ds =0 (17.1)
l∳R∧dr = D∬(divR)ds =2πn f(r0) (17.2)
Формула (17) объединяет теорему Стокса с обобщенной интегральной формулой Коши.
Вывод:
Если функция R аналитическая во всех точках области D, то имеет место быть формула Стокса
l∳R∙ dr = D∬(rotR)∙ ds
и новая формула
l∳R∧dr = D∬(divR)ds,
при этом l∳R∙ dr =0
и l∳R∧dr =0.
Если функция R аналитическая во всех точках области D, за исключением в точке r0, и в этой точке имеет вид R(r) = f(r)/(r – r0) (13), то действительная часть интеграла (17) равна нулю:
l∳R∙ dr = D∬(rotR)∙ ds =0,
а мнимая часть равна «3-х мерному вычету» функции, умноженному на 2πin (формула (17.2)).
III. Пространственно - временной случай (d=4 – пространство Минковского)
В качестве базиса берем матрицы Дирака γi [3].
Пусть дана функция R=γiAi(xj) и дифференциал радиус-вектора (интервал) dρ= γjdxj (i,j=0,1,2,3). Пусть положительно ориентированная гиперповерхность S со своим контуром l задана в пространстве TXYZ.
Рассмотрим взаимосвязь между криволинейными (l∳Rdρ) и поверхностными (D∬(∇R)dS) интегралами в пространстве Минковского.
Здесь
∇ = γj∂i – набла оператор,
dS=Nds=(γ0γ1cosα01+γ0γ2cosα02+γ0γ3cosα03+γ2γ1cosα12+γ1γ3cosα13+γ3γ2cosα23)ds – элемент гиперповерхности;
π/2- α01,π/2- α02,… – углы между нормалью N и гиперплоскостями TX (γ0γ1), TY(γ0γ2) и т.д. По-другому, cosα01, cosα02,… – направляющие косинусы.
В частности:
A0=T, A1=X, A2=Y, A3=Z, x0=t, x1=x, x2=y, x3=z;
γ0γ1cosα01ds= γ0γ1dtdx; γ0γ2cosα02ds= γ0γ2dtdy; γ0γ3cosα03ds= γ0γ3dtdz;
γ2γ1cosα12ds= γ2γ1dxdy; γ1γ3cosα13ds= γ1γ3dxdz; γ3γ2cosα23ds= γ3γ2dydz;
Примечание («переход» от матриц Дирака к матрицам Паули) :
γ0γ1= -γ0γ1=γ1γ0≡σ1; γ0γ2=γ2γ0≡σ2; γ0γ3=γ3γ0≡σ3;
γ2γ1=γ2γ1=γ2γ1γ0γ0=-γ2γ0γ1γ0 ≡ -σ2σ1=σ1σ2=iσ3; γ1γ3=γ3γ0γ1γ0 ≡σ3σ1=iσ2; γ3γ2= -γ3γ0γ2γ0 ≡σ2σ3=iσ1;
γαγ0≡ σα– «замена» матриц Дирака матрицами Паули.
Ниже будем доказывать теоремы, аналогичные двум предыдущим разделам (2-х и 3-х мерное пространства), тем самым обобщая их.
Теорема 7
Справедлива формула
l∳Adρ= D∬(∇A)dS (18)
Другими словами, в 4-х мерном псевдоевклидовом пространстве (пространство Минковского) интеграл от функции R по контуру l равен интегралу от ∇R по поверхности D, которую ограничивает контур l. Теорема 7 (или формула (18)) – это частный, 4-х мерный случай смешанной структуры Ходжа [10].
Применяя произведение Клиффорда к формуле (18), получим в развернутом виде:
l∳A∙ dρ+l∳A∧dρ= D∬(∇∙ A)dS + D∬(∇∧A)∙ dS + D∬(∇∧A)∧dS
Приравнивая симметричную («скалярную») и бивекторную части правой и левой стороны последнего уравнения, получим:
l∳A∙ dρ= D∬(∇∧A)∙ dS (18.1)
l∳A∧dρ= D∬(∇∙ A)dS (18.2)
Простые вычисления показывают:
D∬(∇∧A)∧dS =0 (18.3)
Формула (18.1) – есть обобщенная формула Стокса на случай пространства Минковского. Смысл формул (18.2) и (18.3) раскроим в следующем разделе.
В теореме 7 для простоты мы допустили, что область D односвязная, и сама функция не имеет никаких особенностей в рассматриваемой области.
Доказательство теоремы 7 в Приложении 7.
Теперь рассмотрим общий случай, где функция имеет особенности в области интегрирования.
Теорема 8
Пусть функция A=γiAi(xj) со своими первыми производными определена во всех точках области D, т. е. она аналитическая в области D. Тогда
l∳Adρ = D∬(∇A)dS =0 (19)
Если функция A=γiAi(xj) аналитическая в области D, то интеграл по замкнутому контуру l равен нулю. И наоборот, если выполняется (19), то функция аналитическая.
Доказательство приведено теоремы 8 в Приложении 8.
Теперь предположим, что функция в области D имеет особую точку (полюс)R(ρ) = f(ρ)/(ρ – ρ0)
Теорема 9
Если функция R(ρ) аналитическая в области D, за исключением в точке ρ0, и в этой точке имеет особенность (полюс) вида R(ρ) = f(ρ)/(ρ – ρ0), то справедлива формула:
(20)
N=γ0γ1cosα01+γ0γ2cosα02+γ0γ3cosα03+γ2γ1cosα12+γ1γ3cosα13+γ3γ2cosα23 – бивектор нормали.
Другими словами, формула (20) – есть обобщение интегральной формулы Коши [9] на случай пространства Минковского.
Доказательство теоремы 9 приведено в Приложении 9.
Следствие
Если функция A(t,x,y,z) дифференцируема k раз и имеет вид l∳f(ρ)dρ/(ρ – ρ0)k+1, то имеет место формула
(21)
Обобщая теоремы 7, 8 и 9, можем сделать заключение:
1. Если функция A=γiAi(xj) аналитическая во всех точках D, то справедлива формула
l∳Adρ= l∳A∙ dρ+l∳A∧dρ= D∬(∇∙ A)dS+ D∬(∇∧A)∙ dS+ D∬(∇∧A)∧dS =0, (22)
или, разделяя (22) на «скалярную» и бивекторную части, получим
l∳A∙ dρ = D∬(∇∧A)∙ dS =0 (23)
l∳A∧dρ= D∬(∇∙ A)dS =0 (24)
D∬(∇∧A)∧dS =0
2. Если функция A=γiAi(xj) аналитическая в области D, за исключением в точке ρ0 и в этой точке функция имеет «4-х мерный» полюс первого порядка (имеет вид A(ρ) = f(ρ)/(ρ – ρ0)), то справедлива формула
l∳Adρ= l∳A∙dρ+l∳A∧dρ= D∬(∇∙A)dS+ D∬(∇∧A)∙dS+ D∬(∇∧A)∧dS = 2πiNA(ρ0), (25)
а разделяя (25) на «скалярную» и бивекторную части, получим:
l∳A∙dρ = D∬(∇∧A)∙dS =0 (26)
l∳A∧dρ = D∬(∇∙A)dS = 2πiNA(ρ0) (27)
D∬(∇∧A)∧dS =0 (28)
Формула (25) объединяет теорему Стокса с обобщенной интегральной формулой Коши в 4-х мерном псевдоевклидовом пространстве.
Физический смысл формул (22) – (28) прояснится в следующем разделе.
IV. Физическая интерпретация формул (18) – (28).
Пусть A0, A1, A2, A3 – потенциалы электромагнитного поля. Тогда формулу (18) можем записать в виде
l∳A∙dρ+ l∳A∧dρ= D∬(∇∙A)dS+ D∬F∙dS+ D∬F∧dS (29)
где F =∇∧A – тензор электромагнитного поля.
Согласно формулам (26) – (28), уравнение (29) разделим на скалярные, бивекторные и на псевдоскалярные части:
l∳A∙ dρ= D∬F∙ dS (29.1)
l∳A∧dρ= D∬(∇∙ A)dS (29.2)
0= D∬F∧dS (29.3)
Теперь формулу (29) и её частные виды запишем в привычном трехмерном векторном виде. В формулах (26) — (28) величины A, dρ, F, dS записывая в трехмерном векторном виде, получим:
σ0 l∳(A0dt– A∙dr) = σ0 D∬(E + iB)∙(dST + idSP) (30.1)
l∳(A0 dr– Adt – iA⨯dr)= D∬(∂tA0 – ∇∙A)(dST + idSP) = 2πiNA(ρ0) (или =0) (30.2)
D∬(E + iB)×(dST + idSP) =0, (30.3)
где
E — напряженность электрического поля; B — вектор магнитной индукции; ×— символ трехмерного векторного произведения; σ0— единичная 2х2 матрица; dST = drdt =(σ1 dx +σ2 dy +σ3 dz)dt; dSP =(σ1 dydz +σ2 dxdz +σ3 dxdy); N= σ1cosα01+σ2cosα02 +σ3cosα03+iσ1cosα23 + iσ2cosα31 + iσ3cosα12; =NT+iNP:
Доказательства формул (30.1) — (30.3) приведены в Приложении 10.
Следствие 1
Согласно формуле (19), в пространстве, где отсутствуют заряды1,(по математическим терминам, область без особых точек и функция аналитическая в области) и циркуляция электромагнитного потенциала, и поток тензорного поля равны нулю.
Примечание1. Утверждение 1 доказано в [11], где “дырки” в пространстве ассоциируются с 4х мерным электрическим током.
Следствие 2
Согласно формуле (20), если в пространстве присутствуют заряды (“дырки” — полюсы по математическим терминам), т. е. потенциал электромагнитного поля имеет вид
A(ρ) = f(ρ)/(ρ – ρ0),
то тогда верна формула
l∳Adρ= 2πiNf(ρ0). (31)
Другими словами, если в пространстве существует заряд в точке ρ0, то циркуляция потенциала электромагнитного поля равняется вычету потенциала в этой точке ρ0. Совсем по-простому, «математический 4х мерный» простой полюс — ничто иное, как 4х мерный электромагнитный ток.
Обсуждения и выводы
l∳A∧dρ= D∬(∇∙ A)dS = 2πiNA(ρ0) (или =0),
которая в классической теории полей в физике обычно априори приравнивается к нулю (калибровка Лоренца) [18]:
∇∙ A =0
для исключения сингулярности поля – зарядов (электромагнитных токов – см. формулу (30) и [11]).
Благодарность
Выражаю искреннюю признательность своим домочадцам – сыну, дочерям, внукам, особенно, жене и соратнице Любе за поддержку, вдохновление, за созданный уют и помощь, без чего, вряд ли данный труд появился бы на свет. Также благодарен всем, кто сопутствовал появлению работы и/или был (есть) заинтересованным читателем.
Приложение 1.
Доказательство.
Так как
(∇R)ds =(∇∙R)ds + (∇∧ R)∙ds + (∇∧ R)∧ds,
то равенство (2) можно переписать
l∳R∙dr +l∳R∧dr=D∬(∇∙R)ds + D∬(∇∧R)∙ ds + D∬(∇∧R)∧ds
Записывая ∇, R и ds в координатном виде и вычисляя, убедимся, что последний интеграл справа равен нулю:
D∬(∇∧R)∧ds = σ1σ2 D∬(∂xY – ∂yX)∧σ1σ2dxdy =0,
так как (σ1σ2)∧(σ1σ2) =0.
В итоге из (2) получим
l∳Rdr =D∬(∇∙ R)ds + D∬(∇∧R)∙ ds (1.1)
Далее
∇∙ R = (σ1∂x+σ2∂y)∙ (σ1X+σ2Y) = σ0(∂xX +∂yY) (1.2)
∇∧R=(σ1∂x+σ2∂y)∧(σ1X+σ2Y) = σ1σ2(∂xY - ∂yX) (1.3)
Учитывая (1.2), (1.3) и
(∇∙ R)ds= σ0(∂xX+∂yY)σ1σ2dxdy = iσ3(∂xX+∂yY)dxdy
(∇∧R)∙ ds = iσ3(∂xY - ∂yX)iσ3dxdy = σ0(∂yX - ∂xY)dxdy,
из (1.1) получим
l∳Rdr = σ0D∬(∂yX - ∂xY)dxdy + iσ3D∬(∂xX +∂yY)dxdy (1.4)
Сравнивая формулы (1) и (1.4), получим
σ0l∳(Xdx+Ydy)+iσ3l∳(Xdy-Ydx)=σ0D∬(∂yX - ∂xY)dxdy+iσ3D∬(∂xX+∂yY)dxdy (1.5)
Приравнивая “скалярные” и бивекторные части (1.5), получим:
l∳(Xdx +Ydy) = D∬(∂yX - ∂xY)dxdy (1.6)
l∳(Xdy - Ydx) = D∬(∂xX + ∂yY)dxdy (1.7)
Ссылая любопытного читателя за простыми доказательствами (1.6) и (1.7) в [15], напомним лишь то, что (1.6) — есть формула Грина. Доказательство (1.7) аналогично доказательству (1.6). Формула (1.7) также есть формула Грина при Y→- Y .
Формула (2) доказана.
Приложение 2.
Доказательство теоремы 2.
В формуле (1.5) Приложения 1 рассмотрим правую сторону уравнения:
σ0 D∬(∂yX - ∂xY)dxdy + σ1σ2 D∬(∂xX +∂yY)dxdy
Нам достаточно будет доказать равенство нулю одного из этих четырех интегралов, например, D∬∂yXdxdy, а равенство остальных интегралов будет аналогично.
Двойной интеграл по D превращаем в двукратный интеграл.
Рис.2.1
Согласно рисунку 2.1,
D∬∂yXdxdy = a∫bdxy1∫y2dy∂X/∂y = a∫bdx (X(x,y2) -X(x,y1))= a∫bdxX(x,y2) - a∫bdxX(x,y1)
Существуют интегралы (первообразные F(x,y2) и F(x,y1)) от X(x,y2) и X(x,y1), так как предполагали, что функция аналитическая.
Тогда
D∬∂yXdxdy = F(x,y2) |ba - F(x,y1)|ba = F(b,y2(b)) - F(b,y2(a)) - F(a,y1(b)) + F(a,y1(a))
Так как
y2(b) = y1(b) и y2(a) = y1(a), то
D∬∂yXdxdy = 0
Аналогично доказывается равенство нулю и остальных двойных интегралов из (1.5). Таким образом, мы доказали равенство нулю правую сторону уравнения (1.5).
σ0 D∬(∂yX - ∂xY)dxdy + σ1σ2 D∬(∂xX +∂yY)dxdy = 0
Теперь рассмотрим левую сторону уравнения (1.5).
σ0 l∳(Xdx +Ydy)+ σ1σ2l∳(Xdy-Ydx)
Преобразуем криволинейный интеграл в определенный:
l∳(Xdx +Ydy) = a∫b(X +Yy’x)dx
Так как функция аналитическая (т.е. существует первообразная) и a =b, то последний интеграл равен нулю (легко вычисляется). Точно также и вторая часть криволинейного интеграла тоже равна нулю:
∳(Xdy-Ydx) =0
Тем самым, мы доказали необходимость и достаточность равенства нулю (1.5) (теорему 2). Теорема 2 доказана.
Приложение 3.
Доказательство формулы (5) — Теоремы 3.
Преобразуем интеграл l∳f(r)dr/(r–r0):
Очевидно, что первый интеграл в правой стороне равен нулю:
l∳[f ‘(r)]rdr = f ‘(r)|l = 0
Во втором интеграле (l∳dr/(r – r0) ) произведем параметризацию: r - r0 =z, z = σ1u+σ2v:
l∳dr/(r – r0) = l∳dz/z
Тогда получим интегральную формулу Коши [9]:
l∳dz/z =l∳d(σ1u+σ2v)/(σ1u+σ2v)=l∲d(σ0u+σ1σ2v)/(σ0u+σ1σ2v)=
=l∳d(σ0u+iσ3v)/(σ0u+iσ3v)=l∳d(|z|exp(iσ3φ))/|z|exp(iσ3φ)=
=0∫2πρexp(iσ3φ)dφ/ρexp(iσ3φ) =2πiσ3
В итоге получим (5), т.е. доказательство теоремы 3.
Приложение 4.
Простые вычисления формулы (10) показывают, что
D∬(∇∙ R)ds = D∬(∂x X + ∂yY +∂zZ)ds (4.1)
D∬(∇∧R)∙ ds =σ0 D∬(∂zY - ∂yZ)dydz +(∂xZ - ∂zX)dxdz +(∂yX - ∂xY)dxdy (4.2)
D∬(∇∧R)∧ds = iD∬σ3[(∂zY - ∂yZ)dxdz - (∂xZ- ∂zX)dydz]+σ2[(∂yX- ∂xY)dydz- (∂zY-
∂yZ)dxdy]+ σ1[(∂xZ- ∂zX)dxdy- (∂yX- ∂xY)dxdz] (4.3)
1. Рассмотрим интеграл (4.1). Этот интеграл (D∬(∇∙ R)ds) проецируем на плоскости X0Y, Y0Z, Z0X (Рис.2):
D∬(∇∙ R)ds = D∬(∂x X + ∂yY +∂zZ)ds =
=iσ1 D1∬(∂yY+∂zZ)dydz + iσ2 D2∬(∂x X+∂zZ)dzdx+ iσ3 D3∬(∂x X+ ∂yY)dxdy
К каждому интегралу этого выражения применяем формулы (1.6) и (1.7) из Приложения 1.
iσ1 D1∬(∂yY +∂zZ)dydz= iσ1 l1∳(Ydz-Zdy)
iσ2 D2∬(∂x X +∂zZ)dzdx = iσ2 l2∳(Xdz-Zdx)
iσ3 D3∬(∂x X + ∂yY)dxdy = iσ3 l2∳(Xdy-Ydx)
Сравнивая эти выражения со второй частью правой стороны формулы (9), получим
D∬(∂x X+ ∂yY+∂zZ)ds =i l∳σ1(Ydz - Zdy) + σ2(Zdx - Xdz) + σ3(Xdy - Ydx) (4.4)
2. Теперь рассмотрим интеграл (4.2). Проектируя интеграл по плоскостям X0Y, Y0Z, Z0X:
D∬(∇∧R)∙ ds =σ0(D1∬(∂zY - ∂yZ)dydz + D2∬(∂xZ - ∂zX)dxdz + D3∬(∂yX - ∂xY)dxdy)
и применяя к каждому интегралу формулы (1.6) и (1.7) из Приложения 1, получим
D1∬(∂zY - ∂yZ)dydz = l1∳(Ydy +Zdz)
D2∬(∂xZ - ∂zX)dxdz = l2∳(Zdz +Xdx)
D3∬(∂yX - ∂xY)dxdy = l3∳(Xdx +Ydy)
Сравнивая эти выражения с первой частью правой стороны формулы (9), получим
σ0 l∳Xdx+ Ydy+ Zdz = σ0 D∬(∂zY - ∂yZ)dydz +(∂xZ - ∂zX)dxdz +(∂yX - ∂xY)dxdy (4.5)
Это классическая формула Стокса.
3. Теперь рассмотрим интеграл (4.3). Опять, проектируя интеграл на плоскости X0Y, Y0Z, Z0X и интегрируя, убедимся, что
D∬(∇∧R)∧ds =0 (4.6)
Доказательство (4.6) очень просто, в чем любознательный читатель может убедиться сам. Например, рассматривая проекцию на плоскости X0Y, получим
i D3∬σ2[ - (∂zY - ∂yZ)dxdy]+ σ1[(∂xZ - ∂zX)dxdy] =0,
так как на плоскости X0Y Z=const и dz=0.
Таким образом, мы получили формулу
l∳Rdr = D∬(∇∙R)ds + D∬(∇∧R)∙ds (4.7)
Это и есть обобщенная формула Стокса.
Теорема 4 доказана.
Приложение 5.
Доказательство теоремы 5.
Проектируем интегралы (4.1), (4.2) и (4.3) на плоскости X0Y, Y0Z, Z0X:
Например,
D∬(∂x X+ ∂yY+∂zZ)ds= D∬(∂x X+ ∂yY+∂zZ)(σ1σ2cosγ+ σ2σ3cosα + σ3σ1cosβ)ds=
=iσ1D1∬(∂yY+∂zZ)dydz + iσ2D2∬(∂x X+ ∂zZ)dzdx + iσ3D3∬(∂x X+ ∂yY) dxdy
Теперь к каждому интегралу по двумерным плоскостям, применяя процедуры из Приложения 1, убедимся, что все эти интегралы равны нулю. Аналогично доказывается равенство нулю и остальных интегралов (4.2) и (4.3).
Теорема 5 (формула (12)) доказана.
Приложение 6.
Доказательство теоремы 6.
Преобразуем интеграл
l∳f(r)dr/(r– r0) = l∳(f(r) - f(r0) + f(r0))dr/(r– r0)=
= l∳(f(r) - f(r0))dr/(r– r0) + f(r0) l∳dr/(r– r0)
f(r) - f(r0))/(r – r0)→f ‘(r) при r→ r0.
Очевидно, что первый интеграл по замкнутому контуру l равен нулю:
l∳(f(r) - f(r0))dr/(r – r0)= l∳f ‘(r)dr = f(r)|l=0
Проектируя на плоскости X0Y, Y0Z, Z0X второй интеграл (точнее l∳dr/(r– r0)) и заменяя r=r– r0, получим
l∳dr/(r– r0) =l∳(σ1dx+σ2dy+σ3dz)/(σ1(x–x0) + σ2(y–y0) + σ3(z–z0)) →
→l3∳(σ1dx+σ2dy)/(σ1x+σ2y) +l2∳(σ1dx+σ3dz)/(σ1x+σ3z) +l1∳(σ2dy+σ3dz)/(σ2y+σ3z)
Применяя к каждому интегралу теорему 2, в итоге получим
f(r0) l∳dr/(r– r0)= 2πi f(r0)(σ1cosα+σ2cosβ+σ3cosγ)= 2πin f(r0)
Теорема 6 (формула (14)) доказана.
Приложение 7
Доказательство формул (18)
Пространство TXYZ, соответственно, интегралы l∳Adρи D∬(∇A)dS разложим по подпространствам XYZ(D0, l0), TYZ(D1, l1), TXZ(D2, l2), TXY(D3, l3):
l∳Adρ = l0∳Adρ0 + l1∳Adρ1 + l2∳Adρ2 + l3∳Adρ3 (7.1)
и
D∬(∇A)dS= D0∬(∇A)dS0+ D1∬(∇A)dS1+ D2∬(∇A)dS2+ D3∬(∇A)dS3 (7.2)
Теперь к каждому «подпространственному» интегралу l∳Adρи D∬(∇A)dS применяем Приложение 4. Далее, разделяя на «скалярные» и на бивекторные части формулы
l∳A∙ dρ+ l∳A∧dρ = D∬(∇∙ A)dS+ D∬(∇∧A) ∙ dS+ D∬(∇∧A)∧dS, (7.3)
получим:
l∳A∙ dρ = D∬(∇∧A)∙ dS (7.4)
l∳A∧dρ = D∬(∇∙ A)dS (7.5)
Остальные члены правой стороны (7.3) равны нулю, в частности,
D∬(∇∧A)∧dS = 0 (7.6)
Мы не будем приводить элементарные, но однообразные математические выкладки, читатель сам легко сможет убедиться в справедливости формул (7.4) – (7.6).
Формула (18) доказана.
Приложение 8
Доказательство теоремы 8.
Интегралы l∳Adρ и D∬(∇A)dS из (19) разложим по подпространствам, как в предыдущем приложении 7 и применим к каждому подпространственному интегралу (криволинейному и поверхностному) приложение 5. Простые математические выкладки показывают, что формула (19) выполняется.
Теорема 8 (формула (19)) доказана.
Приложение 9.
Доказательство теоремы 9.
Преобразуем интеграл (20)
l∳f(ρ)dρ/(ρ– ρ0) = l∳(f(ρ) - f(ρ0) + f(ρ0))dρ/(ρ– ρ0)=
= l∳(f(ρ) - f(ρ0))dρ/(ρ– ρ0) + f(ρ0) l∳dρ/(ρ– ρ0)
f(ρ) - f(ρ0))/(ρ – ρ0)→f ‘(ρ) при ρ→ ρ0.
Очевидно, что этот первый интеграл по замкнутому контуру l равен нулю:
l∳(f(ρ) - f(ρ0))dρ/(ρ – ρ0)= l∳f ‘(ρ)dρ = f(ρ)|l=0
Проектируя на плоскости X0Y, Y0Z, Z0X, T0Y, T0Z, T0X второй интеграл (точнее l∳dρ/(ρ– ρ0)) и заменяя ρ=ρ– ρ0, получим
l∳dρ/(ρ– ρ0) = l∳(γ0dt +γ1dx+ γ2dy+ γ3dz)/(γ0(t–t0)+γ1(x–x0)+ γ2(y–y0)+ γ3(z–z0)) →
→ lT0X∳(γ0dt+γ1dx)/(γ0t+γ1x)+ lT0Y∳(γ0dt+γ2dy)/(γ0t+γ2y)+ lT0Z∳(γ0dt+γ3dz)/(γ0t+γ3z)++lX0Y∳(γ1dx+ γ2dy)/(γ1x+γ2y)+ lX0Z∳(γ1dx+γ3dz)/(γ1x+γ3z)+ lY0Z∳(γ2dy+ γ3dz)/(γ2y+γ3z)
Применяя к каждому интегралу теорему 3, в итоге получим
f(ρ0) l∳dρ/(ρ–ρ0)= 2πiN f(ρ0),
где N – 4-хмерный нормаль.
Теорема (9) (или формула (20)) доказана.
Приложение 10
Доказательство формулы (30.1).
Перепишем формулу (29.1):
Левая часть уравнения
l∳(A0dt - A1dx - A2dy - A3dz) =l∳(A0dt — A∙dr)
Правая часть уравнения
D∬(γ0γ1F01+γ0γ2F02+γ0γ3F03+γ2γ1F21+γ1γ3F13+γ3γ2F32)∙ (γ0γ1dtdx+γ0γ2dtdy+
γ0γ3dtdz+γ2γ1dxdy+γ1γ3dxdz+γ3γ2dzdy) =
= D∬(σ1E1+σ2E2+σ3E3+iσ3B3+iσ2B2+iσ1B1)∙ (σ1dtdx+σ2 dtdy+ σ3dtdz+iσ1dxdy+iσ2dxdz+iσ3dzdy) = D∬(E+iB)∙(dtdr+idSP).
где γ0γ1= -γ0γ1 = γ1γ0=σ1; ... γ2γ1= γ2γ1γ0γ0 = -γ2γ0γ1γ0 =-σ2σ1 = iσ3 ; ... и т.д.
Формула (30.1) доказана.
Доказательство формулы (30.2).
Перепишем формулу (29.2):
l∳(γ0A0+γ1A1+γ2A2+γ3A3)∧(γ0dt+γ1dx+ γ2dy+γ3dz)=
= l∳(σ1(A0dx - A1dt)+σ2(A0dy - A2dt)+σ3(A0dz - A3dt)+iσ1(A3dy - A2dz)+iσ2(A1dz - A3dx)+iσ3(A2dx - A1dy))=
=l∳(A0dr – Adt+iA×dr);
D∬(∇∙ A)dS =D∬(∂0A0 – ∂1A1 – ∂2A2 – ∂3A3)(γ0γ1dtdx+γ0γ2dtdy+ γ0γ3dtdz+γ2γ1dxdy+γ1γ3dxdz+γ3γ2dzdy) =
=D∬(∂0A0 – ∇∙A)(dtdr+idSP );
Формула (30.2) доказана.
Доказательство формулы (30.3).
Перепишем формулу (29.3):
D∬F∧dS = D∬(γ0γ1F01+γ0γ2F02+γ0γ3F03+γ2γ1F21+γ1γ3F13+γ3γ2F32)∧ (γ0γ1dtdx+γ0γ2dtdy+ γ0γ3dtdz+γ2γ1dxdy+γ1γ3dxdz+γ3γ2dzdy) =
= D∬[σ1(E1+iB1)+σ2(E2+iB2)+σ3(E3+iB3)]∧ [σ1(dtdx+idxdy)+σ2(dtdy+idxdz)+ σ3(dtdz+idzdy)] =
=iD∬(E+iB)×(drdt+idSP) =0;
Формула (30.3) доказана.
Рецензии:
16.07.2019, 12:19 Мирмович Эдуард Григорьевич
Рецензия: Работа интересная, имеет признаки научной новизны, даже может быть включена в курс высшей математики профильного высшего учебного заведения.
Рецензент сделает, с позволения автора, несколько замечаний.
Не очень понятно: автор то декларирует, что доказывает взаимное соответствие гиперкомплексных чисел и алгебры Клиффорда, то их отождествляет в текстовых фрагментах, что совершенно естественно, т.к. это соответствие входит в дефиницию данной алгебры и вряд ли требует отдельного доказательства.
Рецензент имеет публикации по кватернионам, и немного обидно, что автор свои рассуждения относит по большей части к 4-х размерному пространству, а в тексте слово "кватернион" отсутствует.
В цитате, например: "все законы физики в нулевом приближении происходят" необходимо уточнить смысл, т.к. законы не происходят, а выполняются.
Ссылка [1] (курс лекций в МГУ) не является первичной в авторском смысле в рамках констатации соответствия между векторами и комплексными числами, тем более что существует более позднее издание этого курса (например, 2005 год).
В перечне источников у книг следует указывать общее количество страниц этой книги, а то читатель может подумать, что фундаментальный курс лекций состоит всего из 14 стр.
Ссылка на один и тот же источник в перечне недопустима, указывается, например, [1, стр. 144]. В перечне: "Теорема Грина. Пискунов Н. С., Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т. 2, -13-е изд.- М.,Наука, 1985, стр. 217 – 219" - надо начать с автора, а не названия.
Большое число синтаксических ошибок (деепричастные обороты в некоторых случаях, лишние запятые, например, перед "как" в контексте сравнений и др.).
Несмотря на то, что рецензент "исповедует религию" отсутствия в природе плоского пространства и универсальности пространства квазипостоянной кривизны, в котором заведомо невыполнима теорема Пифагора, следовательно, спорны все аддитивные квадратичные формы, настоящая статья с учётом микрозамечаний рецензента рекомендуется к опубликованию как уточнения и дополнения в целый ряд ортодоксальных представлений классической математики, что составляет существенный вклад в неё, а также как гигантский осмысленный и формативно-оформительский труд.