Публикация научных статей.
Вход на сайт
E-mail:
Пароль:
Запомнить
Регистрация/
Забыли пароль?
Научные направления
Поделиться:
Статья опубликована в №83 (июль) 2020
Разделы: Физика
Размещена 23.07.2020. Последняя правка: 22.07.2020.
Просмотров - 655

АНАЛИТИЧЕСКИЕ И ЧИСЛЕННЫЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ О РАСПРЕДЕЛЕНИИ ПРОДОЛЬНОЙ СКОРОСТИ В ОДНОРЯДНОЙ СИСТЕМЕ ИМПАКТНЫХ ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СТРУЙ, НАТЕКАЮЩИХ НА ПЛОСКУЮ ПОВЕРХНОСТЬ

Лобанов Игорь Евгеньевич

доктор технических наук

Московский авиационный институт

ведущий научный сотрудник

Аннотация:
Получены аналитические и численные решения задачи о распределении продольной скорости в однорядной системе импактных плоскопараллельных струй, натекающих на плоскую поверхность, базирующиеся на нелинейном дифференциальном уравнении второго порядка. Решения отличаются от существующих учётом большего числа определяющих факторов, учитывают нелинейность потерь на плоской поверхности. Имеющиеся решения могут быть охарактеризованы как частный случай полученных в данной работе. Результаты могут быть использованы для детерминирования локальных коэффициентов массоотдачи и теплоотдачи.


Abstract:
Analytical and numerical solutions to the problem of the longitudinal velocity distribution in a single-row system of impact plane-parallel jets flowing on a flat surface are obtained, based on a nonlinear second-order differential equation. Solutions differ from existing ones by taking into account a larger number of determining factors, taking into account the non-linearity of losses on a flat surface. The available solutions can be described as a special case of the results obtained in this paper. The results can be used to determine local mass and heat transfer coefficients.


Ключевые слова:
математический; численный; аналитический; метод; скорость; импактный; струя; продольный; однорядный; система; плоскопараллельный; поверхность; плоская; сопротивление; потери; сопло

Keywords:
mathematical; numerical; analytical; method; speed; impact; jet; longitudinal; single-row; system; plane-parallel; surface; flat; resistance; loss; nozzle


УДК 532.525.6

ВВЕДЕНИЕ

Струйное обдувание поверхности - одно из эффективнейших методов повышения интенсификации теплоотдачи при воздушном омывании поверхностей. Для рациональных условий это обусловливает увеличение интенсификации теплоотдачи от 3 раз до 5 раз сравнительно с продольными обтеканиями. Главные плюсы струйных обдуваний по отношению к другим методам интенсифицировании теплоотдачи для газообразных теплоносителей: большая интенсивность для довольно малых прикладываемых мощностях на  реализацию этого в совокупности с простым и гибким регулированием процесса с возможностью реализации интенсифицировании теплоотдачи лишь на локальных поверхностных площадках. Данные преимущества приводят к довольно широким распространениям в разных разделах индустрии. Обдувание поверхности дозвуковой струёй применимо в авиации, ракетной технике, космосе, энергетике, химической технологии и ещё в разных областях текущей индустрии.

В энергетическом машиностроении струйное обтекание используется в устройствах воздушных охлаждений для детали газовой турбины: лопатки, диски. Интенсифицирование процесса сушения и термического обрабатывания в индустрии рулонного материала струйными методами есть основной путь уведичения эффекта их изготовления. Струйное подведение теплоносителя в прокате применяется для установок для термической обработки стальных и цветных листов. В теплообменных аппаратах с системами импактных струй первый теплоноситель выводится на теплообменные поверхности в форме струйных систем, а обогрев или охлаждение другой поверхности осуществляется вторым теплоносителем. Местные охлаждения твэла и блока радиоэлектроаппаратуры реализуются при применении систем струй.

Для защитных систем летательного аппарата от обледенений, для очищения взлётной и посадочной полосы от снегов и наледей есть приспособления для струйных обдувов поверхностей горячими воздушными потеками.

Достаточно обстоятельный анализ гидрогазодинамических и теплообменных, теоретических и экспериментальных исследований для струйного обтекания поверхностей приводится в [1].

Актуальная составляющая работы заключена в том, что интенсификация подведения—отведения теплоты от поверхностей есть фактор, который больше всего детерминирует эффект применения и надёжности изделий современной индустрии, а ещё и эффект производительности разных  процессов технологии, а также качество изделия. Это обстоятельство становится ещё актуальнее в тех устройствах и аппаратах, где применяется газообразный теплоноситель. Самый доступный теплоноситель - воздушный, который менее эффективен, чем жидкостный теплоноситель по коэффициенту теплоотдачи с поверхностей. Поэтому, работы по интенсифицированию процесса теплоотдачи при обтеканиях тела и поверхности воздушным телоносителем являются актуальными во всё большей степени.

Во многих случаях при исследованиях импактных струй применяются эмпирические формулы, сгенерированные на базе методов теории подобия и тепловом моделировании, следовательно, крайне важно является использование теоретического подхода.

 

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ ПРОДОЛЬНЫХ СКОРОСТЕЙ В ОДНОРЯДНЫХ СИСТЕМАХ ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ИМПАКТНЫХ СТРУЙ, КОТОРЫЕ НАТЕКАЮТ НА ПЛОСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ

 

Практически система щелевых плоскопараллельных струй часто реализуются при помощи сопловых коробок, имеющих совокупность из плоского сопла (или из фрезерованного паза) (рис. 1).



Рис. 1. Расчётная схема для однорядных систем  плоскопараллельных импактных струй, которые натекают на плоские поверхности.


Данная конфигурация устройств обусловливает симметричные отводы ко всем боковым краям теплообменных поверхностей (для направления x) всего  сработанного воздуха из сопел, что обусловливает тем более сильное воздействие на поля течений и, на коэффициенты тепломассобменов, чем меньшее отношения поперечных сечений отработанных потоков fb  к площадям выходных сечений плоских сопел, равных bL(b — ширина выходных сечений плоских сопел или щелей; L — длина теплообменных поверхностей в направлениях выходов отработанного воздуха; s — шаги струи в системе), которые называются "относительная площадь сечений отработанных потоков": .

Вопрос о воздействии обработанных потоков на теплоотдачу в направлении оси x при обдуваз щелевого сопла заключается в следующем (рис. 1).
Вначале переписывается массовый баланс по элементарныму объёмам fbdx) трубопроводов с поперечнымм сечениями fb для постоянных плотностях теплоносителей ρ=const:
(1)

Поперечная скорость u зависит от x нижеследующим образом, что вытекает из уравнения (1):

(2)

Для непрерывного подвода воздуха для трубопровода по всей его длине имеют место ускорения потоков dv/dx по оси x, следовательно, скорости на выходах из каналов fравны:

(3)

где ucp— поперечная осреднённая  скорость.

Баланс количеств движений для элементарных объёмов:

(4)

где Fтр — силы трения.
После раскрытия скобок и разделенич обеих частей формулы (4) на dx, определим градиенты давлений (-dp/dx) :

(5)

Далее принимем, что части градиентов давлений, вызываемой силами трения Fтр, прямым образом пропорциональны квадратас местных скоростей отработанных потоков:

(6)

где ξтр — коэффициенты сопротивлений трению; dг — гидравлические диаметры проскых каналов.
Таким образом, градиенты давлений равны:

(7)
Уравнения энергий по объёмас сопел между поперечными сечениями перед соплами в расходных ресиверах sdx и выходных сечениях сопел bdx:

(8)

где pр — давления в ресиверах; uр — скорости в ресиверах ; ζс — коэффициент, учитывающай потери давлений в соплах (коэффициент ζс=0÷1,69; большие величины — отверстия с острой кромкой, маленькие величины — отверстия с абрютированной кромкой; нулевые значения — профилированные сопла).
Следовательно, имеются три уравнения — (2), (7), (8) — и три неизвестных: u(x),v(x),p(x).

Перепишем формулу (8) в нижеследующей форме :
(9)
Продифференцируем формулу (9) по x, и запишем:

(10)

Запишем формулу (2) в нижеследующей форме:

(11)

где .

Левые части формул (7) и (10) соответствуют градиентас давлений, слудовательно, равны и их правые части; при сокращении на 2ρ, можно записать:
(12)

В дальнейшем, вычислим производные  из формулы (11), после этого из формулы (12) получим главное нелинейное обыкновенное дифференциальное уравнение для продольных скоростей v(x):

(13)

В исследовании [4] главное уравнение (13) сильно упрощено методом взятия допущения, что пренебрежительно мало трение сравнительно с ускорениями потоков (а именно: ζк≈0), и ещё: . При введении нижеследующего обозначения:

(14)

где ,
получим нижеследующее обыкновенное дифференциальное уравнение по средним продольным скоростям vx в текущих сечениях:

(15)

Последнее условие существенным образом понижает теоретические ценности реализованных решений для уравнения (15), в особенности для случаея теплообменной поверхности немалых длин.
Решения этого обыкновенного дифференциального уравнения (15) для изменений скорости vx=fx) и ux=fx) для системы щелевой струи, могут быть представлены в нижеследующей форме [4]:

(16)

(17)

Понятно, что полное пренебрежение силами трения обусловливает ощутимые погрешности, следовательно, для учёта последнего необходимо применять эмпирические зависимости (например, тем же авторов [5]) для локального коэффициента массоотдачи  , изменения чего по оси x cоответствуют распределениям скоростей u(x) [4—5]:
(18)

Сходные решения получаются при анализе гидро- и газодинамики для всасывающего коллектора [2]. В этом варианте решению подвергается гораздо сложное обыкновенное дифференциальное уравнение, которое связывает средние продольные скорости vx в сечениях с продольной координатой x:

(19)

где Vx — объёмные расходы; ; индексы "b" означают выходные сечения каналов; fx/fb=1; fL/cos⁡(φ); δ — ширины щелей; L — длины теплообменных поверхностей в направлениях выходов отработанного воздуха; φ — углы наклонов площадок δΔx к осям абсцисс;
— универсальные характеристики коллекторов; ζk — постоянные коэффициенты местных сопротивлений коллекторов; μ1 — коэффициенты расходов [2].
Решение этого обыкновенного дифференциального уравнения сводятся к нижеследующим формулам для продольнойх и поперечной скорости соответственным образом  [2]:

(20)

(21)

Подробным образом теория по этой проблеме приводмтся в исследовании [3], в котором рассматрены аспекты моделирования движения теплоносителей с переменными расходами вдоль пути и для трубопроводов переменных сечений, что выходит за ограничениями настоящей статьи.

Обыкновенное дифференциальное уравнение (19) определённо сложнее, чем (15), но менее сложно, чем (13), т.к. член который описывает потери на трение, принимается как константа, а в главном обыкновенном дифференциальном уравнении (13) он непостонен как пропорциональность квадрата скоростей v

Таким образом, главное обыкновенное дифференциальное уравнение (13) преимущественным образом отличается перед (15), (19), т.к. для его вывода применялось явно меньше допущений, что позволило опреднлить нужные скорости потоков с  болшей точностью с учётом увеличенного количества определяющих характеристик.
Общие нетривиальные формальные аналитические решения задачи Коши главного обыкновенного дифференциального уравнения (13) может быть представлено в следующем виде:
(22)
Нетривиальное формальное аналитическое решение задачи Коши при   главного обыкновенного дифференциального уравнения (13) можно представить в следующем виде:

(23)

Точное аналитическое решение краевой задачи для главного обыкновенного дифференциального уравнения (13), что показано в (23), получить не получится, т.к. имеет место значительная нелинейность, следовательно, она может быть решена численными методами.

Решения (22) и  (23) главного обыкновенного дифференциального уравнения (13) гораздо сложнее ранее выведенных решений (16) и (20), что показывает бесспорные преимущества первых над вторыми.
Численное решение главного нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения (13) по продольным скоростям  выгоднее представить в форме , для чего главное уравнение нужно поделить на (vb)2 . В данном исследовании численный расчёт при нужной точности проводится посредством метода Рунге—Кутта—Фелберга 4—5 порядков.

Численный расчёт для решений главного обыкновенного дифференциального уравнения (13) для задачи Коши можно представить в нижеследующем виде: можно сравнить их с приближённым численным решением при .

Определяющие характеристики для главного обыкновенного дифференциального уравнения (13) колеблются в нижеследующих пределах [1—5]:
=0÷0,212 ; =0,28÷3,5 ; ζc=0÷1,69 ; параметры ζк принимают величины от 0 для теплообменной поверхности малых протяжённостей до единицы или десятки для довольно длинной теплообменной поверхности; протяжённости теплообменной поверхности могут быть метрами или десятками метров (формальные решения возможны при ζк=102 или ζк=103).
Основной интерес - влияние на решение главного обыкновенного дифференциального уравнения (13) характеристик  и ζк.

Сделанный численный расчёт показал, что при ζк=0 характер зависимостей  для этих условий задачи Коши приходятся между прямой (рис. 2) при
=0 ; =3,5 ; ζc=1,69 до изогнутой (рис. 3) при  =0,212 ; =0,28 ; ζc=0 . Можно сказать, что  . Зависимость от характеристики , чем пренебрегалось для получения существующего решения, на величину  может иметь место на 5%.


Рис. 2. Решение задачи Коши для  при  для характеристик: =0 ; =3,5 ; ζc=1,69 ; ζк=0 .



Рис. 3. Решение задачи Коши для  при  для характеристик: =0,212 ; =0,28; ζc=0 ; ζк=0 .


На рис. 4  приведены расчётные данные, которые аналогичны данным рис. 1, но для ζк=100 , из чего ясно, что влияния сопротивлений на трение на  относительно невелико, даже для значительного увеличения коэффициентов сопротивлений на трение ζк.
Соответствующие данные приводятся на рис. 5 и 6, но при    , ζc , что характерно рис. 3.
Из рис. 3—6 ясно понятно, что неучтение или неполное (приблизительное) учтение сопротивлений на трение приведёт в общих случаяъ к очень большому расхожденияю с точными решениями главного обыкновенного дифференциального уравнения (13), что в особенности скажется на протяжённой теплообменной поверхности.
После сделанных численных решений елавного обыкновенного дифференциального уравнения (13) для задачь Коши, приводятся решения краевых задач для данного обыкновенного дифференциального уравнения: 


Рис. 4. Решение задачи Коши для  при  для характеристик: =0 ; =3,5 ; ζc=1,69 ; ζк=100 .



Рис. 5. Решение задачи Коши для
 при  для характеристик=0,212 ; =0,28; ζc=0 ; ζк=1 .



Рис. 6. Решение задачи Коши для  при  для характеристик: =0,212 ; =0,28; ζc=0 ; ζк=10 .


При условиях, которые аналогичны рис. 2, для ζк=0 решения относительно  представляют из себя линейную зависимость (рис. 7).
Колкбания от линейной зависимости почти не имеет место и при повышении ζк с 0 не только до 10, но и фактически до 100. Ощутимые отклонения от линейной зависимости  имеет место, если ζк увеличивается до тысячи (рис. 8). Таким образрм, для практического диапазонона коэффициента сопротивлений на трение для =0 ; =3,5 ; ζc=1,69 профили скоростей  фактически не отклоняется от линейности.


Рис. 7. Решение краевой задачи для  при  для характеристик: =0 ; =3,5; ζc=1,69 ; ζк=0 .



Рис. 8. Решение краевой задачи для  при  для характеристик=0 ; =3,5; ζc=1,69 ; ζк=1000. 


Далее  нужно перейти к решениям краевых вышеуказанных задач для главного обыкновенного дифференциального уравнения (13) при условиях, которые аналогичны рис. 3.
Для ζк=0 решения при  является линия, рост коковой всё время увеличивается от 0 до 1 (рис. 9),  что кардинально различается от линейной зависимости (ср. с рис. 7).


Рис. 9. Решение краевой задачи для  при  для характеристик: =0,212 ; =0,28; ζc=0 ; ζк=0 .


Для увеличения коэффициентов сопротивлений увеличение возрастаний профилей скоростей  около нуля уменьшается, а около единицы — повышается, что хорошо понятно из рис. 10—12 соответственно при ζк=1,10,100.


Рис. 10. Решение краевой задачи для  при  для характеристик: =0,212 ; =0,28; ζc=0 ; ζк=1 .



Рис. 11. Решение краевой задачи для  при  для характеристик: =0,212 ; =0,28; ζc=0 ; ζк=10 .



Рис. 12. Решение краевой задачи для  при  для характеристик: =0,212 ; =0,28; ζc=0 ; ζк=100 .


Последнее обстоятельство говорит о том, что для =0 ; =3,5 ; ζc=1,69 коэффициенты сопротивлений трения для практических диапазонов его изменений влияют на профили скоростей  значительным образом. 
Подытожавая, можно заключить, что полученные величины содержат решения главного обыкновенного дифференциального уравнения (13) фактическидля всего  используемого дипазона для однорядных систем плоскопараллельных импактных  струй, которые натекают на плоские поверхности [1—5], как для случая задач Коши , так и для случая краевых задач, что позволяет получать решение при распределениях продольных скоростей  при меньших допущениях и получать уточнённые решения, по сравнению с существующими.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ

1. В статье были сгенерированы численные решения нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения для распределений продольных скоростей в однорядных системах плоскопараллельных импактных струй, которые натекают на плоские поверхности для диапазонах детерминирующих характеристик, которые представляют практические интересы, более точные, чем дают соответствующие существующие определяющие уравнения.

2. Сгенерированные в статье решения позволяют точнее учитывать влияния на распределения продольных скоростей  характеристик  и ζк для всего диапазона детерминирующих характеристик в практически интересном диапазоне.

3. Разработанные в статье решения указывают, что влияния на распределения продольных скоростей  отношение ширин выходных сечений плоских сопел к шагам струи в системах  может быть порядка пяти процентов.

4. Получено доказательсьво, что влияния коэффициентов сопротивлений на трение на распределения продольных скоростей  могут оказаться довольно существенными, в особенности при теплообменных поверхностях больших протяжённостей.

5. Сгенерированные в статье решения необходимо использовать для целей повышения точности определения коэффициента теплоотдачи и коэффициента массоотдачи в однорядных системах плоскопараллельных  импактных струй, которые натекают на плоские поверхности.

Библиографический список:


1. Дыбан Е.П., Мазур А.И. Конвективный теплообмен при струйном обтекании тел. — Киев: Наукова думка, 1982. — 303 с.
2. Идельчик И.Е. Аэродинамика промышленных аппаратов. — М.: Энергия, 1964. — 288 с.
3. Талиев В.Н. Аэродинамика вентиляции. — М.: Стройиздат, 1963. — 295 с.
4. Martin H. Heat and mass transfer between impinging gas jets and solid surfaces. / Advances in heat transfer. — Volume 13. — New York; London: Acad. Press, 1977. — V. 13. — P. 1—60.
5. Martin H., Schünder E.U. Optimierung von Schlitzdüssentrockern auf Grund neuer Versuchsergebnisse über den Wärme- und Stoffüdergang in solchen Apparaten. // Chem. — Ing. — Techn., 1973. — V. 45. — № 5. — S. 290—294.




Рецензии:

23.08.2020, 11:02 Трутнев Анатолий Федорович
Рецензия:  . Статья написана на высоком профессиональном уровне. Четко обозначены новизна и актуальность научной работы. Представленные выводы математически и графически аргументированы.Рекомендуется к публикации.



Комментарии пользователей:

Оставить комментарий


 
 

Вверх