Публикация научных статей.
Вход на сайт
E-mail:
Пароль:
Запомнить
Регистрация/
Забыли пароль?
https://wos-scopus.com
Научные направления
Поделиться:
Статья опубликована в №17 (январь) 2015
Разделы: Математика
Размещена 12.01.2015. Последняя правка: 24.01.2015.

Размышления о математике

Булыгин Владимир Викторович

нет

Ростелеком

инженер

Аннотация:
Статья о понятии доказательства, роли переменной и конструировании натурального ряда


Abstract:
Article about concept of the proof, role of a variable and designing of a natural row


Ключевые слова:
доказательство; функция; переменная; натуральное число

Keywords:
proof; function; variable; natural number


УДК 510.21

Доказано, согласно Турчину, если [6]: «выведено убедительным, не допускающим сомнений образом из этих совершенно очевидных истин».

Иначе говоря, доказательство – это вывод, так или иначе использующий логический оборот «если, то только», но не использующий оборот «если, то». Возможны и вариации типа «тогда и только тогда, когда»,  «если  и только если»,  т.е. те обороты, в которых присутствует однозначность. В явном или неявном виде они указывают на функциональную зависимость. Так, однозначно замкнутое преобразование «U: B->A->D->A» без указания функции U, читается как «из B следует только A, из А следует только D, из D следует снова только A». Зачастую, мы именно так и формулируем законы. Но существенный недостаток таких формулировок в том, что в таком случае никак не оговаривается функция и поэтому нет возможности что-то одно выразить через нечто другое используя равенство.

Обычно, с понятием переменной знакомят после обучения в начальных классах. Считаю возможным и даже необходимым делать это уже в классе первом.

Рассмотрим простенькую задачку [7, с. 7]: «На ветке сидело 4 воробья и 3 снегиря. Сколько птиц сидело?». Поскольку уже в первом классе формируется понятие натурального ряда, то дети дают правильный ответ, как правило, без каких-либо затруднений. Причем, считается правильным только такая запись: «4+3=7». Но если вдуматься, сама задача изначально звучит как: «4+3=?». Знак вопроса в этом случае есть неизвестная величина.  И тогда можно записать: «4+3=X» и «X=7».

По своему смыслу, это X – «сколько-то». Переформулируем задачку несколько иначе:

1) X+3=7 … Сколько на ветке сидело воробьев, если на ней еще сидело 3 снегиря, а всего воробьев и снегирей сидело 7?

2) 4+X=7 ... На ветке сидело 4 воробья. Сколько на ней сидело снегирей, если всего воробьев и снегирей сидело 7?

3) 4+3=X … Если на ветке сидело 4 воробья и 3 снегиря, сколько воробьев и снегирей сидело на ветке?

Третий вариант является в таком случае лишь вырожденным случаем нахождения неизвестной величины – вырожденным в том смысле, что это X находится непосредственно, не требуя дополнительный действий. И, как будет показано ниже, третий вариант соответствует F(X)->Y, т.е. соответствует функциональной зависимости, порождающей ряд натуральных чисел. Хочу еще сказать, что неизвестная величина (это сколько-то) в таком виде легко усваивается даже в первом классе, включая и понимание перехода от «4+3=X» к «X=7».

Более того, считаю верным и полезным формулировать любые задачи, используя X. Например, для задачи [7, с. 63]: «Поймали одного карася, ершей на 5 больше, чем карасей, окуней на 2 меньше, чем ершей. На сколько больше карасей и ершей, чем окуней?».

Решение, включая формальную запись с использованием переменных, приведено ниже. Сам вопрос (начинаем с цели задачи) записывается как: «(К+Е) – О = X», где X – на сколько больше, К – сколько-то карасей, Е – сколько-то ершей, О – сколько-то окуней. Известно, что «К=1», «Е=К+5», «О=Е-2». Тогда ершей и окуней, соответственно: «Е=6», «О=4». И поэтому: «(К+Е) – О = (1+6) – 4 = X = 3», т.е. «на сколько больше карасей и ершей, чем окуней» будет равняться трем.

Или рассмотрим одну из оригинальных задач В.И. Арнольда [1, с. 3]: «Бутылка с пробкой стоит 10 копеек, причем бутылка на 9 копеек дороже пробки. Сколько стоит бутылка без пробки?»

Согласно условия задачи: Б+П=10 и Б-П=9, где Б - сколько стоит бутылка, П - сколько стоит пробка. Далее легко находится, что бутылка стоит 9.5 копеек.

Разумеется, прежде чем решать подобные задачи, ребенок должен иметь понятие о натуральном ряде (для вышеприведенных примеров в пределах десяти). Как оно формируется?

Чтобы получить понятие натурального ряда, приводят множество примеров, на которых и учатся счету. Сначала, как правило, считают предметы одного качества. Например, яблоко и другое яблоко. Или считают палочку и другую палочку. На языке множеств это будет соответствовать: {яблоко в одном месте, яблоко в другом месте | яблоко}, {палочка слева, палочка справа | палочка}. Это означает, что яблоко в одном месте – не то же самое,  что яблоко в другом месте. И это означает, что палочка справа – не то же самое, что палочка.

Палочка справа и палочка слева попарно различаются своим месторасположением. Не будь этого различия, можно было бы говорить только об одном и том же предмете, о том же самом предмете. Но и палочка справа имеет различие с просто палочкой тем, что палочка справа является более конкретным понятием, нежели палочка. И это различие видно из логики этого понятия: «палочка справа = палочка, если справа» или в формате функциональной записи «палочка справа = справа (палочка)». Более подробно о логической связке «то же самое» - в статье «Жизнь и мышление с точки зрения логики» [5, с. 63-65]. 

Итак, каждая палочка – палочка (но, повторяю, нельзя ставить между ними равно) и каждое яблоко – яблоко. Что имеем? Во-первых, считаем только те предметы, у которых есть что-то общее (нельзя считать яблоко и палочку и получить, например, палочки). И, во-вторых, эти предметы, у которых есть что-то общее, должны попарно различаться хотя бы чем-то.

Потом можно переходить и к счету различающихся по качеству предметов. Например, для яблока и палочки можно записать: {яблоко, палочка | предмет}. Общее в этом случае то, что каждое из них – предмет. И счет, в таком случае, будет: первый предмет -> второй предмет.

Когда же мы говорим о числе как таковом, нас не интересует что понимается под этими яблоками, палочками или предметами. Общее в этом случае будет то, что каждый из элементов множества будет «равен себе». Получается, что понятием натурального числа мы просто выделяем два момента: быть равным себе и быть (попарно) различным.

Конструирование натурального ряда (первый->второй->и т.д.) с учетом Y=F(X) или, что то же, F(X)->Y поэтому таково: F – внесение различия по отношению к предыдущим элементам натурального ряда, а X - изначально то, что «равно себе».  И на каждом последующем шаге вместо X подставляется полученное на предыдущем шаге Y. Более подробно с понятием единицы (и нуля) можно будет ознакомиться, прочитав статью «Фундаментальное ограничение математики» [4].

Если натуральный ряд формируется внесением различия по отношению к предыдущим числам (причем, сами эти предыдущие числа никак не зависят от внесения различия формируемых далее чисел), то обратный этому процесс выражается знаком действия, обратному знаку плюс - минусом. А если еще учесть, что знак действия можно отождествлить со знаком числа (указано И.В. Арнольдом - отцом В.И. Арнольда  [3, с. 29]), то и возникает идея отрицательных чисел. Таким образом, отрицательное число - это разность чисел, в котором вычитаемое число больше числа из которого вычитают.

Замечу здесь, что практическая ценность такого подхода в том, что он позволяет понять, как натуральное число формируется у живых существ. Например, позволяет понять, как возникает счет у врановых. И ценность такого подхода еще и в том, что этот способ легко программируется, поскольку оперирует лишь к примитивам «равно» и «не равно».

Натуральный ряд – наиболее абстрактная сущность. Теперь обратимся к более конкретным и более полезным вещам. Сравним несколько способов получения целей.

1) W: B->С->А->А

2) W: B->С; U: С->D->A->A

Если брать в расчет только количество логических переходов до А, то первый вариант имеет самое короткое решение и поэтому он наиболее ценен. Но если нет возможности, скажем, фиксировать  оператор (функцию) в значении W, то можно выбрать и второй способ.

Само понимание сути Y=F(X) является той путеводной звездой, на которую следует ориентироваться: «если к X применить F, то получим только Y и ничто иное». Если же это не так, т.е. получили «если к X применили F и получили как Y, так и нечто иное», то тогда неверно, что F(X)->Y.

Для примера рассмотрим доказательство теоремы Пифагора.  Имеется треугольник АВС с прямым углом В. Проведем высоту из угла В и обозначим ее основание через D.  Имеем cos(А)=AD/AB=AB/AC и cos(C)=DC/BC=BC/AC.

Применим  функцию F такую, что умножим (свойство пропорции) числитель одной дроби на знаменатель другой дроби. Получим (только), что квадрат стороны АВ равен произведению сторон AD и AC. И получим (только), что квадрат стороны ВС равен произведению сторон DC и AC. Далее применим к этим равенствам другую функцию F такую, что сложим эти равенства почленно. В результате получим (только), что квадрат стороны АС(гипотенуза) равен сумме квадратов сторон АВ и ВС (катетов).

Хотя, в самом общем виде, не вызывает затруднений как можно и нужно  строить доказательство, выбор конкретной функции F остается весьма трудным делом. 

Будет правильным привести еще мнение В.И. Арнольда [2]: «Схема построения математической теории совершенно такая же, как в любой естественной науке. Сначала мы рассматриваем какие-либо объекты и делаем в частных случаях какие-то наблюдения. Потом мы пытаемся найти пределы применимости своих наблюдений, ищем контрпримеры, предохраняющие от неоправданного распространения наших наблюдений на слишком широкий круг явлений»

Это означает, что если найдено сначала, скажем, G(D)->M, а потом (в результате поиска контрпримеров) выявлено, что из G(D) следует как M, так и N, то необходимо найти причину этой неоднозначности. И устранить неоднозначность можно (при условии, что это вообще возможно сделать), если найдется такая функция H, что из G(D) последует только M и найдется такая функция S, что из G(D) последует только N. В таком и только в таком случае «не будет неоправданного распространения на слишком широкий круг явлений». 

Можно ли всё выразить однозначно, что и требует запись «F(X)->Y»? Нет. Если имеем, скажем, однозначно замкнутое преобразование Т (W:B->A->D->A), то состояниями этого преобразования Т могут быть, в свою очередь, тоже преобразования. И они не обязательно должны быть однозначно замкнутыми. Например, преобразование D может быть однозначным, но не замкнутым (K->H), а преобразование А может быть и не замкнутым, и не однозначным (R->C, R->E). Причем, однозначно незамкнутое преобразование можно трансформировать в однозначно замкнутое, если учесть, что конечным состоянием преобразования D является состояние «не существование D» (K->H->нет_D->нет_D). А если еще учесть, что и начальным состоянием преобразования D является состояние «не существование D», то более точным будет сказать, что D - это (нет_D->K->H->нет_D->нет_D).

Когда говорят, что между объектами ничего нет, означает, что между объектами есть это ничего (ноль). И этот ноль есть ничто иное как граница. С точки зрения описания существующих объектов (преобразований) границу объекта следует внести в описание объекта. На самом деле так и поступают, например, рассматривая объекты на языке UML, когда состояние нет_D преобразования D обозначают состояниями entry и exit. Причем, эти особенные состояния иногда рисуются на диаграммах состояний как внутри объекта, так и вовне объекта. Что еще раз подчеркивает суть нуля (нуля объекта D) как границы D и не-D. И что логически выражается как: «D равно не-D» или «D не-равно D». 

Если поначалу может показаться, что это какие-то логические абстракции, не имеющие практического применения, скажу, что это далеко не так. В качестве примера можно привести небольшую программу (может быть запущена на маршрутизаторе с поддержкой командного интерпретатора shell или на любой unix системе).

#!/bin/sh

A=A

#Комментарий: по умолчанию, значение переменной А - буква А

if [ $# -eq 1 ]; then

A=$1

#Комментарий: при желании, значение А переопределяется аргументом программы.

fi

echo "В множестве один элемент Х, введите его:"

read X

if [ $X = $A ]; then

echo "В множестве есть $A"

#Комментарий: если "А равно А", то "есть А"

else

echo "В множестве нет $A"

#Комментарий: если "А не-равно А" или "не-А равно А", то "нет А"

fi

Библиографический список:

1. Арнольд В.И. Задачи для детей от 5 до 15 лет. Издательство МЦНМО 2004 URL: http://www.mccme.ru/free-books/izdano/2004/VIA-taskbook.pdf
2. Арнольд В.И. О преподавании математики. URL: http://www.abitura.com/mathematics/arnold.html
3. Арнольд И.В. Отрицательные числа в курсе алгебы. Издательство академии педагогических наук РСФСР 1947 URL: http://eknigi.org/estestvennye_nauki/109193-otricatelnye-chisla-v-kurse-algebry.html
4. Булыгин В.В. Фундаментальное ограничение математики. SCI-ARTICLE.RU. 2013. URL: http://sci-article.ru/stat.php?i=1411322275
5. Булыгин В.В. Жизнь и мышление с точки зрения логики. Глобальный научный потенциал №10(43) 2014 URL: http://globaljournals.ru/assets/files/journals/global-scientific-potential/43/g-n-p-10(43)-main.pdf
6. Турчин В.Ф. Феномен науки. Кибернетический подход к эволюции. URL: http://refal.net/turchin/phenomenon/chapter10.htm
7. Узорова О.В. Нефёдова Е. А. 2500 задач по математике. URL: http://knigi.b111.org/nauka_i_ucheba/?book=MjU2MzcxMw__




Рецензии:

17.01.2015, 16:50 Мордашев Владимир Михайлович
Рецензия: Вопросы математического образования, его методики являются важнейшими вопросами образования вообще. Методология мышления определяет и формирование мировоззрения. Одним из замечательных российских-советских математиков и педагогов, размышлявших о методах преподавания математики был В.И.Арнольд. Не учитывать его взгляды в публикациях о математическом образовании - неправильно. Рекомендую автору как-то учесть в статье высказывания В.И.Арнольда на эту тему.

18.01.2015 17:17 Ответ на рецензию автора Булыгин Владимир Викторович:
Спасибо за замечание. С пользой для себя ознакомился со взглядами В.И. Арнольда. По тексту статьи внесены изменения. Приведена одна из его задач, ставящая в тупик многих взрослых. А также показана возможность формирования отрицательных чисел с учетом его мнения относительно отождествления знака действия и знака числа. Кроме того, в текст статьи добавлены рассуждения о возможности существования однозначно замкнутого преобразования, состояния которого хоть и являются преобразованиями, но могут быть как неоднозначны, так и незамкнуты.



Комментарии пользователей:

Оставить комментарий


 
 

Вверх