Публикация научных статей.
Вход на сайт
E-mail:
Пароль:
Запомнить
Регистрация/
Забыли пароль?
Международный научно-исследовательский журнал публикации ВАК
Научные направления
Поделиться:
Разделы: Математика
Размещена 10.08.2016. Последняя правка: 06.08.2016.

Сравнительный анализ эффективности систем массового обслуживания с различной структурой

Галимова Гульшат Рифкатовна

Набережночелнинский институт ФГАОУ ВО Казанский (Приволжский) федеральный

студентка

Демьянов Дмитрий Николаевич, кандидат технических наук, доцент кафедры системного анализа и информатики Набережночелнинского института КФУ


Аннотация:
Статья посвящена сравнительному анализу эффективности функционирования систем массового обслуживания (СМО), имеющих различную структуру. Рассмотрены различные способы организации СМО с несколькими обслуживающими устройствами. Теоретическим и экспериментальным методом определено среднее время ожидания заявки в очереди для случая одной многоканальной СМО и нескольких одноканальных СМО. Показано, что многоканальная СМО обеспечивает наилучшие показатели качества функционирования.


Abstract:
The article is devoted to the comparative analysis of efficiency of functioning of queueing system (QS), which have a different structure. Considered different ways of organizing QS with several servicing devices. Using theoretical and experimental method, it was determined the average waiting time of requests in the queue for the case of one multichannel QS and several single-channel QS. It was demonstrated that a multichannel QS provides the best indicators of quality of functioning.


Ключевые слова:
система массового обслуживания; среднее время ожидания; одноканальные СМО; многоканальные СМО.

Keywords:
queueing system; average waiting time; single-channel QS; multichannel QS.


УДК 519.872

Введение
. Многие социально-экономические системы реального мира (магазины, больницы, банки и т. д.) могут быть описаны как СМО – комплекс, состоящий из случайного входящего потока требований (событий), нуждающихся в обслуживании, дисциплины очереди и механизма, осуществляющего обслуживание [3]. Увеличение численности населения, быстрое развитие сферы услуг приводит к необходимости улучшения существующих и созданию новых, более эффективных систем массового обслуживания. При этом то, насколько хорошо функционирует система зависти не только от характеристик её отдельных элементов, но и от характера взаимосвязей этих элементов между собой, структуры системы. Разработка математических моделей и анализ показателей эффективности позволяют сделать рациональный выбор структуры СМО.

Постановка задачи. Пусть имеется неисчерпаемый источник заявок, который генерирует входящий поток требований с интенсивностью λ. Также имеется n обслуживающих устройств, каждое из которых обеспечивает поток обслуживания с интенсивностью μ. Предполагается, что в каждый момент времени может возникать только одна заявка. Каждое из обслуживающих устройств одновременно может обслуживать лишь одну заявку.

Заявка, поступающая в момент времени, когда все обслуживающие каналы заняты, становится в очередь, если перед ней стоит менее m заявок, или уходит, если перед ней стоит ровно m заявок (СМО с ограниченной длиной очереди).

Рассмотрим два варианта организации процесса обслуживания.

  1. Обслуживающая система состоит из нескольких параллельно работающих одноканальных СМО, к аждая из которых имеет собственную очередь. Поступающие заявки равномерно передаются на вход каждой из одноканальных СМО. Таким образом, интенсивность потока заявок для каждой из них составляет λ/n.
  2. Обслуживающая система представляет собой многоканальную СМО с единой очередью. Поступающие на вход системы заявки встают в единую очередь и затем распределяются между обслуживающими устройствами по мере их освобождения.

Требуется определить, какой из вариантов организации процесса обслуживания является наиболее эффективным.

Для оценки эффективности функционирования СМО могут использоваться различные критерии: абсолютная пропускная способность, относительная пропускная способность, вероятность отказа, среднее число занятых каналов и т. д. Выбор показателя качества для оценки эффективности СМО зависит от цели. Можно выделить цель клиента (заявки) и цель системы обслуживания (обслуживающих устройств). Клиенты стараются минимизировать время, проведенное в очереди, а системы обслуживания – сократить время простоя [1].

В данной работе в качестве критерия эффективности выберем среднее время ожидания, как показатель, наиболее важный для клиентов СМО. Среднее время ожидания вычисляется по формуле: tож = r / λ , где r – среднее число заявок в очереди. При этом наиболее эффективной будем считать СМО с наименьшим средним временем ожидания.

Теоретическая оценка эффективности СМО. Используя известные аналитические соотношения [1], найдем выражения для среднего времени ожидания при различных вариантах организации процесса обслуживания.

Для одноканальной СМО с ожиданием и ограниченной очередью среднее число заявок, находящихся в очереди, определяется по формуле: 
 


Здесь  p = λ / μ – приведенная интенсивность потока.

Для многоканальной СМО с ожиданием и ограниченной очередью среднее число заявок, находящихся в очереди, определяется по формуле:
 

Здесь  – вероятность того, что все каналы свободны.

Экспериментальная оценка эффективности СМО. Для определения показателей качества функционирования СМО может быть также использован метод имитационного моделирования. В настоящее время существует большое количество различных программных продуктов для проведения имитационного моделирования. Для решения поставленной задачи будем использовать среду AnyLogic – программное обеспечение для имитационного моделирования сложных систем и процессов, которое имеет специальную библиотеку (Enterprise Library) для моделирования дискретно-событийных (процессных) систем [2].

В качестве примера практической реализации на рисунке 1 представлена система из 4 одноканальных СМО, а на рисунке 2 – многоканальная СМО с единой очередью. Имеющиеся в AnyLogic модули позволяют исследовать поведение таких СМО в режиме реального времени, а также собирать всю требуемую статистику.

Рисунок 1 – Модель работы четырех одноканальных СМО с ожиданием и ограниченной очередью

Рисунок 2 – Модель работы многоканальной СМО с ожиданием и ограниченной очередью

Сравнительный анализ результатов моделирования. Сопоставим результаты исследования СМО, полученные теоретическим и экспериментальным путем. Для примера в таблице 1 приведены результаты исследований для СМО с 4 обслуживающими устройствами, максимальной длиной очереди 20 и интенсивностью потока обслуживания 0,25.

 

Таблица 1 - Результаты исследования

Интенсивность потока заявок

Среднее время ожидания одноканальной СМО

Среднее время ожидания многоканальнойСМО

Расчет

Эксперимент

Расчет

Эксперимент

0,1

0,444

0,421

0,001

0,001

0,2

1

0,966

0,012

0,012

0,3

1,714

1,657

0,053

0,046

0,4

2,667

2,608

0,151

0,155

0,5

4

3,96

0,348

0,358

0,6

5,998

5,896

0,717

0,757

0,7

9,285

9,065

1,421

1,404

0,8

15,19

15,542

2,826

2,837

0,9

25,368

25,781

5,476

5,651

1

38,182

37,54

9,044

9,219

Как видно из приведенных в таблице данных, теоретические и экспериментальные результаты оказались весьма близки друг к другу. Имеющиеся различия могут быть объяснены стохастическим характером исследуемых процессов. Кроме того, расчетные формулы позволяют определить характеристики установившегося режима, а при проведении имитационного моделирования на начальном этапе имеет место неустановившийся режим функционирования СМО.

Можно заметить, что эффективность функционирования многоканальной СМО существенно выше системы нескольких одноканальных СМО (среднее время ожидания гораздо меньше).

Исследования эффективности СМО различной структуры. Проанализируем эффективность многоканальной СМО и системы одноканальных СМО при различных сочетаниях параметров.

На рисунке 3 представлены графики зависимости среднего времени ожидания от интенсивности потока обслуживания для многоканальной СМО и системы одноканальных СМО при λ = 4, m = 20, n = 4.


Рисунок 3 – Среднее время пребывания заявки в очереди для совокупности одноканальных СМО и многоканальной СМО при различных значениях μ

Как видно на графике, время ожидания для одноканальных СМО (t1) существенно превышает время ожидания для многоканальной СМО (t2), т. е. второй вариант реализации оказывается эффективнее.

На рисунке 4 представлены графики зависимости среднего времени ожидания от количества обслуживающих устройств для многоканальной СМО и системы одноканальных СМО при λ = 4, m = 20, μ = 0,25.

Рисунок 4 – Среднее время пребывания заявки в очереди для совокупности одноканальных СМО и многоканальной СМО при различном числе каналов обслуживания

В данном случае также вне зависимости от количества каналов среднее время ожидания для одноканальных СМО (t1) существенно превышает время ожидания для многоканальной СМО (t2), т. е. второй вариант реализации является предпочтительным.

На рисунке 5 представлены графики зависимости среднего времени ожидания от количества мест в очереди для многоканальной СМО и системы одноканальных СМО при λ = 0,9, μ = 0,25, n = 4.

 

Рисунок 5 – Среднее время пребывания заявки в очереди для совокупности одноканальных СМО и многоканальной СМО при различном количестве мест в очереди

Как и в предыдущих случаях, независимо от максимального числа мест в очереди среднее время ожидания для одноканальных СМО (t1) намного больше среднего времени ожидания для многоканальной СМО (t2), т. е. второй вариант реализации эффективнее.

Выводы. Был проведен сравнительный анализ эффективности функционирования СМО с различной структурой. Показано, что независимо от интенсивности входного потока заявок, времени обслуживания, числа обслуживающих устройств и от количества мест в очереди наиболее эффективным способом реализации является многоканальная СМО с единой очередью. Полученные результаты могут быть использованы на практике, например, для оптимизации работы продуктовых магазинов (рекомендуется объединять соседние кассы в кластеры с единой очередью, что позволит обслуживать покупателей быстрее).

Библиографический список:

1. Кошуняева Н.В. Патронова Н.Н. Теория массового обслуживания (практикум по решению задач). Архангельск: САФУ.2013. 107 с.
2. Мезенцев К.Н. Моделирование систем в среде Anylogic 6.4.1: Учеб. пособие. / Под ред Николаева А.Б. М: МАДИ.2011. 103 с.
3. Павский В.А. Теория массового обслуживания: учебное пособие. Кемерово: Кемеровский технологический институт пищевой промышленности. 2008. 116 с.




Комментарии пользователей:

Оставить комментарий


 
 

Вверх