Статья опубликована в №42 (февраль) 2017
Разделы: Физика
Размещена 25.01.2017. Последняя правка: 16.08.2022.
Просмотров - 2399

Сохранение 4-х мерного тока в формализме, основанном на алгебре Клиффорда

Бабаев Алимжан Холмуратович

кандидат физ. - мат. наук

пенсионер

пенсионер

УДК 537.8; 512.7

Введение

В классической физике электрический заряд и ток[1]

jⁱ=(g₀₀)^-0.5 ∙ρc∙(dxⁱ/dx⁰)                                                (1)

не связаны с явными свойствами пространства, например, с метрикой пространства (искривленностью) и с особыми точками (сингулярностью). Плотность электрического заряда (ρ) вводится ниоткуда, как бы, сама собой разумеющаяся величина. Также закон сохранения заряда (уравнение непрерывности)

jⁱ_;i =(-g)^-0.5∂_i((-g)^0.5jⁱ) =0                                                  (2)

 выводится [1] из уравнения неразрывности гидродинамики.

Было бы логично получить уравнение непрерывности для электромагнитного 4-х тока в рамках нового формализма на основе обобщенной алгебры Клиффорда, предложенной нами в предыдущей статье [2].

Новинка. В рамках данной концепции формализма при выводе сохраняющихся величин наряду с законом сохранения электрического заряда (уравнения непрерывности) появился и нетривиальный закон – закон сохранения вихревого 4-х тока. Говоря простым языком, сохраняется не только 4-х мерная дивергенция, но и «4-х мерный» ротор 4-х тока. 

Теоретические основы

В статье [2] была дана мера локальной неоднородности векторного поля с потенциалом A:

B=∇A                                                             (3)

Если произведение базисных векторов в уравнении (3) разделить на внешнее и внутреннее произведения Клиффорда [2], то неоднородность векторного поля (3) в координатной форме имеет вид:

B= eⁱ•e^jD_iA_j+ eⁱ∧e^jD_iA_j                                              (4)

где eⁱ•e^j = g^ij – метрический тензор; eⁱ∧e^j– антисимметричный тензор второго ранга или бивектор.

Таким образом, локальная неоднородность векторного поля состоит из:

а) деформации – eⁱ•e^jD_iA_j

б) вращения – eⁱ∧e^jD_iA_j

Также в [2] был выведен общий вид единого уравнения электромагнитного поля:

∇B=∇(∇A)                                                   (5)

и замена

∇B= μT•A                                                 (6).

И, наконец, было введено математическое обозначение 4-х мерного тока:

J=∇(∇•A)                                                  (7)

В результате мы получили [2] единое уравнение электромагнетизма, которое объединяет две независимые системы Максвелла:

μT•A =∇(∇•A)+ ∇•(∇∧A)+ ∇∧∇∧A                                  (6)

где

∇∧∇∧A=0                                                    (7)

 

Результаты

Сохранение 4-х тока.

Чтобы получить уравнение непрерывности и сохранение вихревого 4-х тока берем градиент из уравнения (6). С учетом (7), запишем результат:

∇(μT•A)= ∇J +∇(∇•F)                                                (8)

Согласно произведению Клиффорда, разделяя уравнение (8) на симметричную (внутреннее произведение) и антисимметричную (внешнее произведение) части, получим:

∇•(μT•A)= ∇•J +∇•(∇•F)                                                (9)

∇∧(μT•A)= ∇∧J +∇∧(∇•F)                                               (10)

 

1) уравнение непрерывности для 4-х тока.

В уравнении (9) имеет место равенство:

∇•(∇•F)=0                                                         (11)

Доказательство (11) приведено в приложении 1.

Тогда из остатков уравнения (9) получим:

∇•( C – J) =0                                                        (12)

где C = μT•A.

Примечание:

Если C = const (в частности, C = 0 или ∇•C малая величина), то мы получим классическое выражение уравнения непрерывности (2). 

Предположим, что C ≠ const. Преобразуем уравнение (12).

Очевидно, что

∇•C =∇•(μT•A)=μg^nkD_n(g^ijT_kiA_j)= μg^nkg^ijT_ki;nA_j + μg^nkg^ijT_kiA_j;n=

= 0 + μg^nkg^ijT_kiA_j;n= μT^jnA_j;n 

Так как μg^nkg^ijT_ki;n=0, то из уравнения (12) получим:

  μT^k_n Aⁿ_;k  =J^k_;k                                                       (13)

Уравнение (13) – в общем случае дифференциальная форма закона сохранения энергии – импульса в элементарном объёме.

Увеличение 4-х тока (J^k_;k>0) или уменьшение (J^k_;k<0) из-за внешнего воздействия приводит к увеличению или уменьшению деформации 4-х потенциала – μT^k_nAⁿ_;k [3].

Преобразуем (13):

μT^k_nAⁿ_;k = 0.5μ(g^nkg^ijT_kiA_j;n+ g^nkg^ijT_kiA_j;n)= 0.5μ(g^nkg^ijT_kiA_j;n + g^ijg^knT_ikA_n;j)= 0.5μg^nkg^ijT_ki(A_j;n + A_n;j)= 0.5μg^nkg^ijT_kiε_jn=0.5μT^ikε_ik

где ε_jn =0.5(A_j;n + A_n;j) – 4-х мерный тензор деформации поля A.

Теперь уравнение непрерывности (13) можно записать в виде:

0.5μ T^ik ε_ik = J^k_;k                                                       (14)

Мы получили закон сохранения 4-х тока в общем случае (при наличии деформации поля) в рамках нового формализма. При этом закон сохранения электрического заряда не нарушается, так как суммарный заряд состоит из «истоков» (положительных) и «стоков» (отрицательных) зарядов [2]:

J^k_;k=∑ J^+k_;k+∑ J^-k_;k

 

2) сохранение вихревого 4-х тока.

Теперь рассмотрим уравнение (10). Так как в обозначении 4-х тока (7) произведение ∇•A – есть скалярная величина, то имеет место равенство:

∇∧J=0                                                                  (15)

Действительно

∇∧J=(eⁿ∧e^k)D_nD_k(D_iAⁱ)=0.5(eⁿ∧e^k) (D_nD_k(D_iAⁱ)- D_kD_n(D_iAⁱ))=0

Уравнение (15) – есть закон сохранения вихревого тока.     

Уравнение (15) запишем в «привычном» 3-х мерном виде:

eⁿ∧e^k𝒟_nJ_k= e^α∧e⁰ 𝒟_αJ₀+ 𝒟₀(e⁰∧e^αJ_α)+ e^β∧e^μ(𝒟_βJ_μ-  𝒟_μJ_β)

где α,β,μ=1,2,3,также β<μ.

Согласно уравнению (11) в [2]

e^β∧e^μ(𝒟_βJ_μ-  _μJ_β)=γE^βμλ0e_λ∧e₀(𝒟_βJ_μ-  𝒟_μJ_β)= -rotJ

и обозначая e⁰∧e^αJ_α=- J; J₀=ρ; e^α∧e⁰ 𝒟_α=∇,

запишем уравнение (15) в виде:

-∇ρ +𝒟_tJ+ rotJ=0                                                         (16)

где ρ – плотность заряда, J – 3-х мерный ток, ∇- трехмерный набла оператор.

Теперь этот закон покажем наглядно на рисунке 1. Предположим, что носителями тока являются положительные заряды.

 
Рис 1

Для простоты пусть ρ₁<ρ₂ и rotJ =ω,    𝒟_t J=v.     

На рисунке 1 показаны направление потока зарядов (-∇ρ), который противоположен направлению градиента, направления ротора (rotJ =ω) и изменения по времени вектора 3-х тока (𝒟_t J=v), направление вращения ротора тока (сплошная линия с направлением по кругу).

Если -∇ρ+v >0, т.е. если суммарный вектор направлен вверх, то ротор будет направлен вниз, и вращение потенциала будет против часовой стрелки (если смотреть снизу вверх).

Если -∇ρ+v <0, то ротор направлен вверх, а вращение поля будет по часовой стрелке.

Таким образом, изменение суммарного вектора -∇ρ+v будет компенсироваться ротором.

 

Рассмотрим оставшуюся часть уравнения (10) (без ∇∧J=0):  

∇∧(μT•A)= ∇∧(∇•F)                                                           (17)

Уравнение (17) дает уравнение Эйнштейна. Действительно,

∇∧(∇•F)= ∇∧(∇•(∇∧A))=  eⁿ∧ 𝒟_n(e^k•(eⁱ∧e^j) 𝒟_k𝒟_i A_j)

Согласно формуле cross - произведения векторов Клиффорда

x• (y∧z)=(x•y)z- (x•z)y

из предыдущего уравнения получим:

eⁿ∧ 𝒟_n(e^k•(eⁱ∧e^j) 𝒟_k𝒟_i A_j)=eⁿ∧𝒟_n(g^kie^j𝒟_k𝒟_iA_j –g^jieⁱ𝒟_k𝒟_iA_j) =

=eⁿ∧e^j𝒟_n(𝒟_k𝒟^k A_j) - eⁿ∧eⁱ𝒟_n(𝒟_j𝒟_iA^j)=eⁿ∧e^j𝒟_n(∆A_j) - eⁿ∧eⁱ𝒟_n(𝒟_j𝒟_iA^j)

Произведем замены:

∆A_j=(Λ+0.5R)δ^m_jA_m  и

𝒟_j𝒟_iA^j= 𝒟_i𝒟_jA^j -A^pR^j_pij= 𝒟_i𝒟_jA^j +A^pR_pi

Тогда уравнение (17) принимает вид:

eⁿ∧e^j𝒟_n(μT_jiAⁱ) =eⁿ∧e^j𝒟_n((Λ+0.5R)δ^m_jA_m) - eⁿ∧eⁱ𝒟_n(𝒟_i𝒟_jA^j +A^pR_pi).

Так как eⁿ∧eⁱ𝒟_n(𝒟_i𝒟_jA^j )=0 (15), то получим

eⁿ∧eⁱ𝒟_n(A^pR_pi) - eⁿ∧e^j𝒟_n((Λ+0.5R)δ^m_jA_m)+eⁿ∧e^j𝒟_n(μT_jiAⁱ) =0

Упрощая это равенство, получим тождество:

eⁿ∧eⁱ𝒟_n(A^j(R_ij - (Λ+0.5R)g_ij+μT_ij)) =0,

так как выражение во внешней скобке (под дифференциалом 𝒟_n)  равно нулю (уравнение Эйнштейна).  

 

Обсуждения и выводы

1. Уравнение непрерывности (14) означает, что изменение деформации поля порождает изменение 4-х тока. Также рождение пары частицы - античастицы порождает изменение деформации поля. При этом закон сохранения суммарного заряда не нарушается, так как общий заряд состоит из суммы положительных и отрицательных зарядов. Например, столкновение фотона с электрическим полем ядра порождает пару частицы – античастицы:

0.5μT^ikε_ik = ∑ J^+k_;k+∑ J^-k_;k                                             (18)

2. Кроме сохранения 4-х мерной дивергенции 4-х тока (уравнение непрерывности – ∇•( C – J) =0), оказывается, сохраняется и «4-х мерный» ротор 4- тока (∇∧J=0 ).

3. В законе сохранения вихревого тока (16), если градиент равен нулю (∇ρ=0), увеличение тока компенсируется направлением вихря тока (ротором rotJ):

0=rotJ+∂_tJ

Если ток увеличивается, то вихрь тока пытается уменьшить рост тока. Если ток уменьшается, то вихрь тока пытается увеличить ток.

Если градиент не равен нулю (∇ρ≠0), то направление вращения вихря тока зависит от разности векторов ∇ρ-∂_tJ.

Возможно, этот закон имеет место не только для электромагнитных явлений, но также и для механических движений и термодинамических процессов. Например, движение жидкости (водовороты), атмосферных газов (смерч, торнадо и т.д.) тоже, может быть, подчиняются уравнению (16).

При механических процессах векторный потенциал (A) имеет смысл перемещения элементов среды, а «временная» компонента потенциала (A₀) – смысл плотности среды.

Приложение 1

Доказательство формулы (11).

∇•(∇•F)=eⁿ•𝒟_n(eⁱ•e^je^k𝒟_iF_jk)= eⁿ•e^k𝒟_n(eⁱ•e^j𝒟_iF_jk)= g^nkg^ij 𝒟_n𝒟_iF_jk=

Разложим F_jk и поменяем местами индексы k иj, также i и n в первом слагаемом (так как идет суммирование):

=g^nkg^ij(𝒟_n𝒟_i𝒟_jA_k - 𝒟_n𝒟_i𝒟_kA_j)= g^ijg^nk𝒟_i𝒟_n𝒟_kA_j - g^nkg^ij 𝒟_n𝒟_i𝒟_kA_j=

Учитывая дважды ковариантное дифференцирование тензора 𝒟_kA_j, имеем:

= g^ijg^nk𝒟_i𝒟_n𝒟_kA_j - g^nkg^ij 𝒟_n𝒟_i𝒟_kA_j = g^ijg^nk(𝒟_pA_jR^p_kin + 𝒟_kA_pR^p_jin)=

= g^ijg^nk𝒟_pA_jR^p_kin + g^ijg^nk 𝒟_kA_pR^p_jin= g^ij𝒟_pA_jR^p_i - g^nk 𝒟_kA_pR^p_n=

= g^nk𝒟_pA_kR^p_n - g^nk 𝒟_kA_pR^p_n= 𝒟_pA_kR^pk - 𝒟_kA_pR^pk= 𝒟_pA_kR^pk - 𝒟_pA_kR^kp=0,

 так как R^pk =R^kp ,

где R_kp=g^ijR_kijp – тензор Риччи.

Утверждение (11) доказано. 

1. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля, том 2. Москва, ФИЗМАТЛИТ, стр. 331-332.
2. Бабаев А. Х. Альтернативный формализм на основе алгебры Клиффорда. SCI-ARTICLE.RU. № 40 (декабрь) 2016, стр. 34.
3. Алфутов Н.А., Основы расчёта на устойчивость упругих систем. М., «Машиностроение», 1978. стр. 39 – 77.

Рецензии:

24.03.2017, 15:48 Батанов Михаил Семенович
Рецензия: Статья несомненно достойна публикации.

27.03.2017, 14:01 Батанов Михаил Семенович
Рецензия: Уважаемый Алимжан Холмуратович! Один из Ваших выводов: "...изменение деформации поля порождает изменение 4-х тока" полностью согласуется с тем, что я пытаюсь делать в области физики вакуума. Любая деформация локального участка вакуума сопровождается возникновением внутривакуумного течения. Поэтому Ваша математика может быть весьма полезна для физики вакуума, хотя она затрагивает нескладно иные процессы. Но законы Природы фрактально повторяются на различных уровнях Бытия. Если захотите познакомиться с моими работами, то найдете их www.alsignat.narod.ru Если пришлете ваш е-мэил на мой адрес alsignat@yandex.ru, то я вышлю Вам опубликованные статьи. С уважением, М.Батанов



Комментарии пользователей:

Оставить комментарий