Публикация научных статей.
Вход на сайт
E-mail:
Пароль:
Запомнить
Регистрация/
Забыли пароль?
Международный научно-исследовательский журнал публикации ВАК
Научные направления
Поделиться:
Разделы: Физика
Размещена 25.01.2017. Последняя правка: 01.02.2017.

Сохранение 4-х мерного тока в формализме, основанном на алгебре Клиффорда

Бабаев Алимжан Холмуратович

кандидат физ. - мат. наук

пенсионер

пенсионер

Аннотация:
В статье получены уравнения непрерывности и сохранения вихревого 4-х тока в новом формализме на основе обобщенной алгебры Клиффорда (на случай криволинейных координат).


Abstract:
The article presents the derivation of the continuity equation and the conservation law of the eddy 4-current on the generalized Clifford algebra (curvilinear coordinates’ case) based formalism.


Ключевые слова:
внешнее и внутреннее произведения векторов; 4-х мерный электромагнитный ток; уравнение непрерывности; вихревой ток.

Keywords:
inner and outer product of vectors; 4-dimensional electromagnetic current; continuity equation; eddy current.


УДК 537.8; 512.7

Введение

В классической физике электрический заряд и ток[1]

ji=(g00)-0.5 ρc∙(dxi/dx0)                                                (1)

не связаны с явными свойствами пространства, например, с метрикой пространства (искривленностью) и с особыми точками (сингулярностью). Плотность электрического заряда (ρ) вводится ниоткуда, как бы, сама собой разумеющаяся величина. Также закон сохранения заряда (уравнение непрерывности)

ji;i =(-g)-0.5i((-g)0.5ji) =0                                                  (2)

 выводится [1] из уравнения неразрывности гидродинамики.

Было бы логично получить уравнение непрерывности для электромагнитного 4-х тока в рамках нового формализма на основе обобщенной алгебры Клиффорда, предложенной нами в предыдущей статье [2].

Новинка. В рамках данной концепции формализма при выводе сохраняющихся величин наряду с законом сохранения электрического заряда (уравнения непрерывности) появился и нетривиальный закон – закон сохранения вихревого 4-х тока. Говоря простым языком, сохраняется не только 4-х мерная дивергенция, но и «4-х мерный» ротор 4-х тока. 

Теоретические основы

В статье [2] была дана мера локальной неоднородности векторного поля с потенциалом A:

B=∇A                                                             (3)

Если произведение базисных векторов в уравнении (3) разделить на внешнее и внутреннее произведения Клиффорда [2], то неоднородность векторного поля (3) в координатной форме имеет вид:

B= eiejDiAj+ eiejDiAj                                              (4)

где eiej = gij – метрический тензор; eiej– антисимметричный тензор второго ранга или бивектор.

Таким образом, локальная неоднородность векторного поля состоит из:

а) деформации – eiejDiAj

б) вращения – eiejDiAj

Также в [2] был выведен общий вид единого уравнения электромагнитного поля:

∇B=∇(∇A)                                                   (5)

и замена

∇B= μTA                                                 (6).

И, наконец, было введено математическое обозначение 4-х мерного тока:

J=∇(∇A)                                                  (7)

В результате мы получили [2] единое уравнение электромагнетизма, которое объединяет две независимые системы Максвелла:

μTA =∇(∇A)+ ∇(∇∧A)+ ∇∧∇∧A                                  (6)

где

∇∧∇∧A=0                                                    (7)

 

Результаты

Сохранение 4-х тока.

Чтобы получить уравнение непрерывности и сохранение вихревого 4-х тока берем градиент из уравнения (6). С учетом (7), запишем результат:

∇(μTA)= ∇J +∇(∇F)                                                (8)

Согласно произведению Клиффорда, разделяя уравнение (8) на симметричную (внутреннее произведение) и антисимметричную (внешнее произведение) части, получим:

(μTA)= ∇J +∇(∇F)                                                (9)

∇∧(μTA)= ∇∧J +∇∧(∇F)                                               (10)

 

1) уравнение непрерывности для 4-х тока.

В уравнении (9) имеет место равенство:

(∇F)=0                                                         (11)

Доказательство (11) приведено в приложении 1.

Тогда из остатков уравнения (9) получим:

( C – J) =0                                                        (12)

где C = μTA.

Примечание:

Если C = const (в частности, C = 0 или ∇C малая величина), то мы получим классическое выражение уравнения непрерывности (2). 

Предположим, что C ≠ const. Преобразуем уравнение (12).

Очевидно, что

C =•(μTA)=μgnkDn(gijTkiAj)= μgnkgijTki;nAj + μgnkgijTkiAj;n=

= 0 + μgnkgijTkiAj;n= μTjnAj;n 

Так как μgnkgijTki;n=0, то из уравнения (12) получим:

  μTkn An;k  =Jk;k                                                       (13)

Уравнение (13) – в общем случае дифференциальная форма закона сохранения энергии – импульса в элементарном объёме.

Увеличение 4-х тока (Jk;k>0) или уменьшение (Jk;k<0) из-за внешнего воздействия приводит к увеличению или уменьшению деформации 4-х потенциала – μTknAn;k [3].

Преобразуем (13):

μTknAn;k = 0.5μ(gnkgijTkiAj;n+ gnkgijTkiAj;n)= 0.5μ(gnkgijTkiAj;n + gijgknTikAn;j)= 0.5μgnkgijTki(Aj;n + An;j)= 0.5μgnkgijTkiεjn=0.5μTikεik

где εjn =0.5(Aj;n + An;j) – 4-х мерный тензор деформации поля A.

Теперь уравнение непрерывности (13) можно записать в виде:

0.5μ Tik εik = Jk;k                                                       (14)

Мы получили закон сохранения 4-х тока в общем случае (при наличии деформации поля) в рамках нового формализма. При этом закон сохранения электрического заряда не нарушается, так как суммарный заряд состоит из «истоков» (положительных) и «стоков» (отрицательных) зарядов [2]:

Jk;k=∑ J+k;k+∑ J-k;k

 

2) сохранение вихревого 4-х тока.

Теперь рассмотрим уравнение (10). Так как в обозначении 4-х тока (7) произведение ∇A – есть скалярная величина, то имеет место равенство:

J=0                                                                  (15)

Действительно

∇∧J=(enek)DnDk(DiAi)=0.5(enek) (DnDk(DiAi)- DkDn(DiAi))=0

Уравнение (15) – есть закон сохранения вихревого тока.     

Уравнение (15) запишем в «привычном» 3-х мерном виде:

enek𝒟nJk= eαe0 𝒟αJ0+ 𝒟0(e0eαJα)+ eβeμ(𝒟βJμ-  𝒟μJβ)

где α,β,μ=1,2,3,также β<μ.

Согласно уравнению (11) в [2]

eβeμ(𝒟βJμ-  μJβ)=γEβμλ0eλe0(𝒟βJμ-  𝒟μJβ)= -rotJ

и обозначая e0eαJα=- J; J0=ρ; eαe0 𝒟α=,

запишем уравнение (15) в виде:

-ρ +𝒟tJ+ rotJ=0                                                         (16)

где ρ – плотность заряда, J – 3-х мерный ток, - трехмерный набла оператор.

Теперь этот закон покажем наглядно на рисунке 1. Предположим, что носителями тока являются положительные заряды.

Для простоты пусть ρ12 и rotJ,    𝒟J=v.     

На рисунке 1 показаны направление потока зарядов (-ρ), который противоположен направлению градиента, направления ротора (rotJ) и изменения по времени вектора 3-х тока (𝒟J=v), направление вращения ротора тока (сплошная линия с направлением по кругу).

Если -∇ρ+v >0, т.е. если суммарный вектор направлен вверх, то ротор будет направлен вниз, и вращение потенциала будет против часовой стрелки (если смотреть снизу вверх).

Если -∇ρ+v <0, то ротор направлен вверх, а вращение поля будет по часовой стрелке.

Таким образом, изменение суммарного вектора -∇ρ+v будет компенсироваться ротором.

 

Рассмотрим оставшуюся часть уравнения (10) (без ∇∧J=0):  

∇∧(μTA)= ∇∧(∇F)                                                           (17)

Уравнение (17) дает уравнение Эйнштейна. Действительно,

∇∧(∇F)= ∇∧(∇(∇∧A))=  en∧ 𝒟n(ek(eiej) 𝒟k𝒟i Aj)

Согласно формуле cross - произведения векторов Клиффорда

x (yz)=(xy)z- (xz)y

из предыдущего уравнения получим:

en∧ 𝒟n(ek(eiej) 𝒟k𝒟i Aj)=en∧𝒟n(gkiej𝒟k𝒟iAjgjiei𝒟k𝒟iAj) =

=enej𝒟n(𝒟k𝒟k Aj) - enei𝒟n(𝒟j𝒟iAj)=enej𝒟n(∆Aj) - enei𝒟n(𝒟j𝒟iAj)

Произведем замены:

Aj=(Λ+0.5R)δmjAm  и

𝒟j𝒟iAj= 𝒟i𝒟jAj -ApRjpij= 𝒟i𝒟jAj +ApRpi

Тогда уравнение (17) принимает вид:

enej𝒟n(μTjiAi) =enej𝒟n((Λ+0.5R)δmjAm) - enei𝒟n(𝒟i𝒟jAj +ApRpi).

Так как enei𝒟n(𝒟i𝒟jAj )=0 (15), то получим

enei𝒟n(ApRpi) - enej𝒟n((Λ+0.5R)δmjAm)+enej𝒟n(μTjiAi) =0

Упрощая это равенство, получим тождество:

enei𝒟n(Aj(Rij - +0.5R)gij+μTij)) =0,

так как выражение во внешней скобке (под дифференциалом 𝒟n)  равно нулю (уравнение Эйнштейна).  

 

Обсуждения и выводы

1. Уравнение непрерывности (14) означает, что изменение деформации поля порождает изменение 4-х тока. Также рождение пары частицы - античастицы порождает изменение деформации поля. При этом закон сохранения суммарного заряда не нарушается, так как общий заряд состоит из суммы положительных и отрицательных зарядов. Например, столкновение фотона с электрическим полем ядра порождает пару частицы – античастицы:

0.5μTikεik = ∑ J+k;k+∑ J-k;k                                             (18)

2. Кроме сохранения 4-х мерной дивергенции 4-х тока (уравнение непрерывности – ∇( C – J) =0), оказывается, сохраняется и «4-х мерный» ротор 4- тока (J=0 ).

3. В законе сохранения вихревого тока (16), если градиент равен нулю (ρ=0), увеличение тока компенсируется направлением вихря тока (ротором rotJ):

0=rotJ+tJ

Если ток увеличивается, то вихрь тока пытается уменьшить рост тока. Если ток уменьшается, то вихрь тока пытается увеличить ток.

Если градиент не равен нулю (ρ≠0), то направление вращения вихря тока зависит от разности векторов ρ-∂tJ.

Возможно, этот закон имеет место не только для электромагнитных явлений, но также и для механических движений и термодинамических процессов. Например, движение жидкости (водовороты), атмосферных газов (смерч, торнадо и т.д.) тоже, может быть, подчиняются уравнению (16).

При механических процессах векторный потенциал (A) имеет смысл перемещения элементов среды, а «временная» компонента потенциала (A0) – смысл плотности среды.

Приложение 1

Доказательство формулы (11).

(F)=en𝒟n(eiejek𝒟iFjk)= enek𝒟n(eiej𝒟iFjk)= gnkgij 𝒟n𝒟iFjk=

Разложим Fjk и поменяем местами индексы k иj, также i и n в первом слагаемом (так как идет суммирование):

=gnkgij(𝒟n𝒟i𝒟jAk - 𝒟n𝒟i𝒟kAj)= gijgnk𝒟i𝒟n𝒟kAj - gnkgij 𝒟n𝒟i𝒟kAj=

Учитывая дважды ковариантное дифференцирование тензора 𝒟kAj, имеем:

= gijgnk𝒟i𝒟n𝒟kAj - gnkgij 𝒟n𝒟i𝒟kAj = gijgnk(𝒟pAjRpkin + 𝒟kApRpjin)=

= gijgnk𝒟pAjRpkin + gijgnk 𝒟kApRpjin= gij𝒟pAjRpi - gnk 𝒟kApRpn=

= gnk𝒟pAkRpn - gnk 𝒟kApRpn= 𝒟pAkRpk - 𝒟kApRpk= 𝒟pAkRpk - 𝒟pAkRkp=0,

 так как Rpk =Rkp ,

где Rkp=gijRkijp – тензор Риччи.

Утверждение (11) доказано. 

Библиографический список:

1. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля, том 2. Москва, ФИЗМАТЛИТ, стр. 331-332.
2. Бабаев А. Х. Альтернативный формализм на основе алгебры Клиффорда. SCI-ARTICLE.RU. № 40 (декабрь) 2016, стр. 34.
3. Алфутов Н.А., Основы расчёта на устойчивость упругих систем. М., «Машиностроение», 1978. стр. 39 – 77.




Комментарии пользователей:

Оставить комментарий


 
 

Вверх