Публикация научных статей.
Вход на сайт
E-mail:
Пароль:
Запомнить
Регистрация/
Забыли пароль?
Международный научно-исследовательский журнал публикации ВАК
Научные направления
Поделиться:
Статья опубликована в №42 (февраль) 2017
Разделы: Физика
Размещена 25.01.2017. Последняя правка: 01.02.2017.

Сохранение 4-х мерного тока в формализме, основанном на алгебре Клиффорда

Бабаев Алимжан Холмуратович

кандидат физ. - мат. наук

пенсионер

пенсионер

Аннотация:
В статье получены уравнения непрерывности и сохранения вихревого 4-х тока в новом формализме на основе обобщенной алгебры Клиффорда (на случай криволинейных координат).


Abstract:
The article presents the derivation of the continuity equation and the conservation law of the eddy 4-current on the generalized Clifford algebra (curvilinear coordinates’ case) based formalism.


Ключевые слова:
внешнее и внутреннее произведения векторов; 4-х мерный электромагнитный ток; уравнение непрерывности; вихревой ток.

Keywords:
inner and outer product of vectors; 4-dimensional electromagnetic current; continuity equation; eddy current.


УДК 537.8; 512.7

Введение

В классической физике электрический заряд и ток[1]

ji=(g00)-0.5 ρc∙(dxi/dx0)                                                (1)

не связаны с явными свойствами пространства, например, с метрикой пространства (искривленностью) и с особыми точками (сингулярностью). Плотность электрического заряда (ρ) вводится ниоткуда, как бы, сама собой разумеющаяся величина. Также закон сохранения заряда (уравнение непрерывности)

ji;i =(-g)-0.5i((-g)0.5ji) =0                                                  (2)

 выводится [1] из уравнения неразрывности гидродинамики.

Было бы логично получить уравнение непрерывности для электромагнитного 4-х тока в рамках нового формализма на основе обобщенной алгебры Клиффорда, предложенной нами в предыдущей статье [2].

Новинка. В рамках данной концепции формализма при выводе сохраняющихся величин наряду с законом сохранения электрического заряда (уравнения непрерывности) появился и нетривиальный закон – закон сохранения вихревого 4-х тока. Говоря простым языком, сохраняется не только 4-х мерная дивергенция, но и «4-х мерный» ротор 4-х тока. 

Теоретические основы

В статье [2] была дана мера локальной неоднородности векторного поля с потенциалом A:

B=∇A                                                             (3)

Если произведение базисных векторов в уравнении (3) разделить на внешнее и внутреннее произведения Клиффорда [2], то неоднородность векторного поля (3) в координатной форме имеет вид:

B= eiejDiAj+ eiejDiAj                                              (4)

где eiej = gij – метрический тензор; eiej– антисимметричный тензор второго ранга или бивектор.

Таким образом, локальная неоднородность векторного поля состоит из:

а) деформации – eiejDiAj

б) вращения – eiejDiAj

Также в [2] был выведен общий вид единого уравнения электромагнитного поля:

∇B=∇(∇A)                                                   (5)

и замена

∇B= μTA                                                 (6).

И, наконец, было введено математическое обозначение 4-х мерного тока:

J=∇(∇A)                                                  (7)

В результате мы получили [2] единое уравнение электромагнетизма, которое объединяет две независимые системы Максвелла:

μTA =∇(∇A)+ ∇(∇∧A)+ ∇∧∇∧A                                  (6)

где

∇∧∇∧A=0                                                    (7)

 

Результаты

Сохранение 4-х тока.

Чтобы получить уравнение непрерывности и сохранение вихревого 4-х тока берем градиент из уравнения (6). С учетом (7), запишем результат:

∇(μTA)= ∇J +∇(∇F)                                                (8)

Согласно произведению Клиффорда, разделяя уравнение (8) на симметричную (внутреннее произведение) и антисимметричную (внешнее произведение) части, получим:

(μTA)= ∇J +∇(∇F)                                                (9)

∇∧(μTA)= ∇∧J +∇∧(∇F)                                               (10)

 

1) уравнение непрерывности для 4-х тока.

В уравнении (9) имеет место равенство:

(∇F)=0                                                         (11)

Доказательство (11) приведено в приложении 1.

Тогда из остатков уравнения (9) получим:

( C – J) =0                                                        (12)

где C = μTA.

Примечание:

Если C = const (в частности, C = 0 или ∇C малая величина), то мы получим классическое выражение уравнения непрерывности (2). 

Предположим, что C ≠ const. Преобразуем уравнение (12).

Очевидно, что

C =•(μTA)=μgnkDn(gijTkiAj)= μgnkgijTki;nAj + μgnkgijTkiAj;n=

= 0 + μgnkgijTkiAj;n= μTjnAj;n 

Так как μgnkgijTki;n=0, то из уравнения (12) получим:

  μTkn An;k  =Jk;k                                                       (13)

Уравнение (13) – в общем случае дифференциальная форма закона сохранения энергии – импульса в элементарном объёме.

Увеличение 4-х тока (Jk;k>0) или уменьшение (Jk;k<0) из-за внешнего воздействия приводит к увеличению или уменьшению деформации 4-х потенциала – μTknAn;k [3].

Преобразуем (13):

μTknAn;k = 0.5μ(gnkgijTkiAj;n+ gnkgijTkiAj;n)= 0.5μ(gnkgijTkiAj;n + gijgknTikAn;j)= 0.5μgnkgijTki(Aj;n + An;j)= 0.5μgnkgijTkiεjn=0.5μTikεik

где εjn =0.5(Aj;n + An;j) – 4-х мерный тензор деформации поля A.

Теперь уравнение непрерывности (13) можно записать в виде:

0.5μ Tik εik = Jk;k                                                       (14)

Мы получили закон сохранения 4-х тока в общем случае (при наличии деформации поля) в рамках нового формализма. При этом закон сохранения электрического заряда не нарушается, так как суммарный заряд состоит из «истоков» (положительных) и «стоков» (отрицательных) зарядов [2]:

Jk;k=∑ J+k;k+∑ J-k;k

 

2) сохранение вихревого 4-х тока.

Теперь рассмотрим уравнение (10). Так как в обозначении 4-х тока (7) произведение ∇A – есть скалярная величина, то имеет место равенство:

J=0                                                                  (15)

Действительно

∇∧J=(enek)DnDk(DiAi)=0.5(enek) (DnDk(DiAi)- DkDn(DiAi))=0

Уравнение (15) – есть закон сохранения вихревого тока.     

Уравнение (15) запишем в «привычном» 3-х мерном виде:

enek𝒟nJk= eαe0 𝒟αJ0+ 𝒟0(e0eαJα)+ eβeμ(𝒟βJμ-  𝒟μJβ)

где α,β,μ=1,2,3,также β<μ.

Согласно уравнению (11) в [2]

eβeμ(𝒟βJμ-  μJβ)=γEβμλ0eλe0(𝒟βJμ-  𝒟μJβ)= -rotJ

и обозначая e0eαJα=- J; J0=ρ; eαe0 𝒟α=,

запишем уравнение (15) в виде:

-ρ +𝒟tJ+ rotJ=0                                                         (16)

где ρ – плотность заряда, J – 3-х мерный ток, - трехмерный набла оператор.

Теперь этот закон покажем наглядно на рисунке 1. Предположим, что носителями тока являются положительные заряды.

Для простоты пусть ρ12 и rotJ,    𝒟J=v.     

На рисунке 1 показаны направление потока зарядов (-ρ), который противоположен направлению градиента, направления ротора (rotJ) и изменения по времени вектора 3-х тока (𝒟J=v), направление вращения ротора тока (сплошная линия с направлением по кругу).

Если -∇ρ+v >0, т.е. если суммарный вектор направлен вверх, то ротор будет направлен вниз, и вращение потенциала будет против часовой стрелки (если смотреть снизу вверх).

Если -∇ρ+v <0, то ротор направлен вверх, а вращение поля будет по часовой стрелке.

Таким образом, изменение суммарного вектора -∇ρ+v будет компенсироваться ротором.

 

Рассмотрим оставшуюся часть уравнения (10) (без ∇∧J=0):  

∇∧(μTA)= ∇∧(∇F)                                                           (17)

Уравнение (17) дает уравнение Эйнштейна. Действительно,

∇∧(∇F)= ∇∧(∇(∇∧A))=  en∧ 𝒟n(ek(eiej) 𝒟k𝒟i Aj)

Согласно формуле cross - произведения векторов Клиффорда

x (yz)=(xy)z- (xz)y

из предыдущего уравнения получим:

en∧ 𝒟n(ek(eiej) 𝒟k𝒟i Aj)=en∧𝒟n(gkiej𝒟k𝒟iAjgjiei𝒟k𝒟iAj) =

=enej𝒟n(𝒟k𝒟k Aj) - enei𝒟n(𝒟j𝒟iAj)=enej𝒟n(∆Aj) - enei𝒟n(𝒟j𝒟iAj)

Произведем замены:

Aj=(Λ+0.5R)δmjAm  и

𝒟j𝒟iAj= 𝒟i𝒟jAj -ApRjpij= 𝒟i𝒟jAj +ApRpi

Тогда уравнение (17) принимает вид:

enej𝒟n(μTjiAi) =enej𝒟n((Λ+0.5R)δmjAm) - enei𝒟n(𝒟i𝒟jAj +ApRpi).

Так как enei𝒟n(𝒟i𝒟jAj )=0 (15), то получим

enei𝒟n(ApRpi) - enej𝒟n((Λ+0.5R)δmjAm)+enej𝒟n(μTjiAi) =0

Упрощая это равенство, получим тождество:

enei𝒟n(Aj(Rij - +0.5R)gij+μTij)) =0,

так как выражение во внешней скобке (под дифференциалом 𝒟n)  равно нулю (уравнение Эйнштейна).  

 

Обсуждения и выводы

1. Уравнение непрерывности (14) означает, что изменение деформации поля порождает изменение 4-х тока. Также рождение пары частицы - античастицы порождает изменение деформации поля. При этом закон сохранения суммарного заряда не нарушается, так как общий заряд состоит из суммы положительных и отрицательных зарядов. Например, столкновение фотона с электрическим полем ядра порождает пару частицы – античастицы:

0.5μTikεik = ∑ J+k;k+∑ J-k;k                                             (18)

2. Кроме сохранения 4-х мерной дивергенции 4-х тока (уравнение непрерывности – ∇( C – J) =0), оказывается, сохраняется и «4-х мерный» ротор 4- тока (J=0 ).

3. В законе сохранения вихревого тока (16), если градиент равен нулю (ρ=0), увеличение тока компенсируется направлением вихря тока (ротором rotJ):

0=rotJ+tJ

Если ток увеличивается, то вихрь тока пытается уменьшить рост тока. Если ток уменьшается, то вихрь тока пытается увеличить ток.

Если градиент не равен нулю (ρ≠0), то направление вращения вихря тока зависит от разности векторов ρ-∂tJ.

Возможно, этот закон имеет место не только для электромагнитных явлений, но также и для механических движений и термодинамических процессов. Например, движение жидкости (водовороты), атмосферных газов (смерч, торнадо и т.д.) тоже, может быть, подчиняются уравнению (16).

При механических процессах векторный потенциал (A) имеет смысл перемещения элементов среды, а «временная» компонента потенциала (A0) – смысл плотности среды.

Приложение 1

Доказательство формулы (11).

(F)=en𝒟n(eiejek𝒟iFjk)= enek𝒟n(eiej𝒟iFjk)= gnkgij 𝒟n𝒟iFjk=

Разложим Fjk и поменяем местами индексы k иj, также i и n в первом слагаемом (так как идет суммирование):

=gnkgij(𝒟n𝒟i𝒟jAk - 𝒟n𝒟i𝒟kAj)= gijgnk𝒟i𝒟n𝒟kAj - gnkgij 𝒟n𝒟i𝒟kAj=

Учитывая дважды ковариантное дифференцирование тензора 𝒟kAj, имеем:

= gijgnk𝒟i𝒟n𝒟kAj - gnkgij 𝒟n𝒟i𝒟kAj = gijgnk(𝒟pAjRpkin + 𝒟kApRpjin)=

= gijgnk𝒟pAjRpkin + gijgnk 𝒟kApRpjin= gij𝒟pAjRpi - gnk 𝒟kApRpn=

= gnk𝒟pAkRpn - gnk 𝒟kApRpn= 𝒟pAkRpk - 𝒟kApRpk= 𝒟pAkRpk - 𝒟pAkRkp=0,

 так как Rpk =Rkp ,

где Rkp=gijRkijp – тензор Риччи.

Утверждение (11) доказано. 

Библиографический список:

1. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля, том 2. Москва, ФИЗМАТЛИТ, стр. 331-332.
2. Бабаев А. Х. Альтернативный формализм на основе алгебры Клиффорда. SCI-ARTICLE.RU. № 40 (декабрь) 2016, стр. 34.
3. Алфутов Н.А., Основы расчёта на устойчивость упругих систем. М., «Машиностроение», 1978. стр. 39 – 77.




Рецензии:

24.03.2017, 15:48 Батанов Михаил Семенович
Рецензия: Статья несомненно достойна публикации.

25.03.2017 7:07 Ответ на рецензию автора Бабаев Алимжан Холмуратович:
Уважаемый Михаил Семенович! Я искренне Вам благодарен за одобрение моей статьи, за Ваш труд и затраченное драгоценное время. С уважением Бабаев А.М.

27.03.2017, 14:01 Батанов Михаил Семенович
Рецензия:  Уважаемый Алимжан Холмуратович! Один из Ваших выводов: "...изменение деформации поля порождает изменение 4-х тока" полностью согласуется с тем, что я пытаюсь делать в области физики вакуума. Любая деформация локального участка вакуума сопровождается возникновением внутривакуумного течения. Поэтому Ваша математика может быть весьма полезна для физики вакуума, хотя она затрагивает нескладно иные процессы. Но законы Природы фрактально повторяются на различных уровнях Бытия. Если захотите познакомиться с моими работами, то найдете их www.alsignat.narod.ru Если пришлете ваш е-мэил на мой адрес alsignat@yandex.ru, то я вышлю Вам опубликованные статьи. С уважением, М.Батанов
27.03.2017 19:19 Ответ на рецензию автора Бабаев Алимжан Холмуратович:
Уважаемый Михаил Семенович! Спасибо, непременно воспользуюсь представленным Вами шансом! С искренним уважением Алим Муратович.



Комментарии пользователей:

Оставить комментарий


 
 

Вверх