Публикация научных статей.
Вход на сайт
E-mail:
Пароль:
Запомнить
Регистрация/
Забыли пароль?
Международный научно-исследовательский журнал публикации ВАК
Научные направления
Поделиться:
Статья опубликована в №41 (январь) 2017
Разделы: Математика
Размещена 30.01.2017. Последняя правка: 15.02.2017.

Разные типы геометрических тел в n-мерном пространстве и их построение

Хлопотин Николай Викторович

ГБОУ СОШ № 318

учащийся

Колесник Марина Геннадьевна, учитель математики в Государственном Бюджетном Общеобразовательном Учреждении Средней Общеобразовательной Школе № 318


Аннотация:
В данной статье рассказывается о геометрических телах в пространствах с разной размерностью, их классификации, способах их построения и их особенностях, о некоторых новых открытых телах.


Abstract:
The article describes geometric shapes in spaces with different dimensionality, their classification, methods of their construction and their features, some new discovered shapes.


Ключевые слова:
многогранники; многомерная геометрия; политопы; проекции.

Keywords:
polyhedrons; multidimensional geometry; polytopes; projections.


УДК 514

Введение

Многомерная геометрия – это математическая дисциплина, изучающая многомерные пространства и тела в них. Многомерная геометрия - активно развивающаяся сейчас область математики (в последнее время открыто множество многомерных тел в пространствах с разной размерностью, даны им многочисленные обозначения по определённой номенклатуре, рассмотрены их свойства), но также и весьма малоизученная область (неведомого в ней гораздо больше, чем известного нам).

Нет никаких сомнений, что для изучения многомерной геометрии необходимо исследовать не только сами пространства, но и геометрические тела, находящиеся в пространствах с размерностью больше трёх. Для этого желательно понять суть способов визуализации и построения этих тел, исследовать эти способы и разобраться, каким образом следует выполнять построение разных типов геометрических тел – многомерных многогранников – в пространстве с размерность n, то есть в n-мерном пространстве (или гиперпространстве).

Актуальность

Многомерная геометрия представляется знакомым с нею исследователям огромным пластом ещё не изученного материала. При рассмотрении одних составляющих этой математической науки следует держать в голове другие, а также и понятия из совершенно других дисциплин.

На данное время многие геометры занимаются многомерными пространствами, но далеко не все из них стремятся как-то систематизировать эти знания. Что же касается изучения самих тел – многогранников, то над их открытиями всерьёз работают только отдельные учёные, например, Джордж Ольшевски и Джонатан Бауверс [4], [5].

Чтобы восполнить этот пробел, автором данной статьи тоже было принято решение о начале такой деятельности. Были проведены построения геометрических тел в пространствах с разной размерностью, причём делалось это разными способами, в том числе и такими, какие не были использованы вышеупомянутыми исследователями. Всё это, в конечном счёте, привело и к открытию автором статьи новых геометрических тел, о которых сказано в этой публикации.

Цель

Цель статьи заключается в некоторой систематизации уже имеющихся знаний по многомерной геометрии, в описании основных способов построения геометрических тел в пространствах разных размерностей, в описании классификации геометрических тел в пространствах разных размерностей, а также в донесении до профессиональных учёных и скромных трудов автора статьи в этом направлении – открытых геометрических тел.

Для реализации поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

  1. Ввести читателя в многомерную геометрию, объяснить, что это такое.

  2. Описать способы визуализации геометрических тел в пространствах разных размерностей.

  3. Привести классификацию геометрических тел в пространствах разных размерностей.

  4. Сопоставить способы построения и визуализации геометрических тел с их типом.

  5. Описать выполненные автором статьи построения, обосновать то, что некоторые из них являются открытиями.

Методы исследования

В работе применяются такие методы исследования, как систематизация уже имеющихся знаний, активно используется метод проведения аналогий (между плоскими или же трёхмерными объектами и телами с большею размерностью).

Научная новизна

Хотя тема многомерной геометрии и весьма актуальна, но исследования в ней ведутся, если так можно выразиться, неохотно, медленно. Лишь немногие занимаются выявлением новых типов и конкретных примеров многомерных многогранников. Поэтому данная работа является в некотором роде новой в этом направлении, хотя, конечно, серьёзному изучению эта тема подвергалась не раз и до этого. Так как сами пространства уже хорошо разобраны и исследованы математиками, то эта статья нацелена преимущественно на геометрические тела, среди которых много неизвестных науке. Поэтому надо эти тела открыть, распознать, отнести к какому-либо типу, описать их. Примеры подобной деятельности и приводятся в предложенном тексте работы.

Изложение основного материала

Введение в многомерную геометрию

Известно, что плоскость задаётся прямоугольной системой координат, в которой через точку (0;0) – начало координат – проходят две перпендикулярные прямые, которые обычно называют осями абсцисс (Ox) и ординат (Oy). В пространстве, точнее говоря, в трёхмерном пространстве, то есть в привычном нам мире, существуют уже 3 такие оси: ось абсцисс (Ox), ось ординат (Oy) и ось аппликат (Oz). Таким образом, говорят, что плоскость имеет два измерения, а наше пространство – трёхмерное, то есть имеет три измерения.

Теперь уже не кажется сложным попытаться представить себе, что произойдёт, если провести ещё одну перпендикулярную всем осям прямую через начало координат прямоугольной системы координат – должно получиться пространство четырёхмерное. Далее, по аналогии, должны появляться пятимерное, шестимерное, семимерное и другие пространства соответственно (по числу осей).

Но встаёт вопрос: куда проводить эти прямые? Как бы мы не попытались сделать это и создать новое измерение, отличное от длины, широты и высоты, у нас ничего не получится. В последнее время за четвёртое измерение принято брать иногда время, особенно в такой модели мироздания, как единое пространство-время. Таким образом, за третью ось выбирают ось времени t. Но время недоступно для нашего прямого понимания и произвольного перемещения в нём. Кроме того, появление времени, как нового измерения, не объясняет нам, где искать пятимерное пространство, пятую ось.

С математической точки зрения наиболее часто рассматривают не конкретный мир, а абстрактную модель, которой в действительности, возможно, и не существует. В математике создаётся четырёхмерное евклидово пространство, которое определяется как абстрактное понятие, производимое путём обобщения правил трёхмерного евклидова пространства до случая с четырьмя измерениями, то есть, как уже было сказано, взаимно перпендикулярными прямыми, проходящими через начало координат в системе координат, созданной в этом пространстве, а точнее говоря, в гиперпространстве (слово «гипер» означает (в многомерной геометрии) «относящийся к аналогу этого объекта на чём-то более сложном, в данном случае на пространстве с 4 измерениями»).

Таким образом, рассматриваемые в математике модели многомерного пространства, возможно, не имеют никакого реального воплощения, но это, тем не менее, не умаляет значимости их исследований, которые могут привести к какому-нибудь великому математическому открытию (впрочем, на это пока никто не рассчитывает).

Важно также заметить, что помимо четырёхмерного евклидова пространства математики изучают и евклидовы пространства больших размерностей, а также неевклидовы многомерные пространства. В этой статье речь будет идти о n-мерных евклидовых пространствах.

Способы визуализации многомерных тел

Проекции

Проекция — это изображение n-мерного тела на так называемом картинном (проекционном) подпространстве способом, представляющим собой геометрическую идеализацию оптических механизмов. Так, например, в реальном мире контур тени предмета — это проекция этого предмета на плоскую или приближённую к плоской поверхность — проекционную плоскость.

 При рассмотрении проекций четырёхмерных тел проецирование осуществляется на трёхмерное пространство, то есть (по отношению к четырёхмерному пространству) на картинное (проекционное) подпространство (то есть пространство с числом измерений или, иначе говоря, размерностью, на 1 меньшей, чем число измерений (размерность) самого того пространства, в котором находится проецируемое тело) [2]. Проекции бывают параллельными (проекционные лучи параллельны) и центральными (проекционные лучи исходят из некоторой точки) [2]. Разновидностью центральной проекции является широко используемая для визуализации многомерных тел диаграмма Шлегеля - проекция тела из точки, лежащей за одной из его гиперграней [1]. Иногда применяются также стереографические проекции. Стереографическая проекция — это центральная проекция, отображающая n-1-сферу n-мерного шара (с одной выколотой точкой) с телом, спроецированным на неё, на гиперплоскость (подпространство) n-1 [3]. (N-1-сферой (гиперсферой) называют обобщение сферы, гиперповерхность в n-мерном (с числом измерений или размерностью n) евклидовом пространстве, образованная точками, равноудалёнными от заданной точки, называемой центром сферы, гипершаром — тело (область гиперпространства), ограниченное гиперсферой.)

Сечения

Сечение — это изображение, полученное в результате рассечения тела гиперплоскостью без изображения частей за этой гиперплоскостью. Подобно тому, как строятся двухмерные сечения трёхмерных тел, можно построить трёхмерные сечения четырёхмерных тел, причём также как двухмерные сечения одного и того же трёхмерного тела могут сильно отличаться по форме, так и трёхмерные сечения ещё более разнообразны, так как при изменении положения секущей гиперплоскости относительно тела сечение меняет и количество граней, и количество сторон у каждой грани сечения [2]. Построение трёхмерных сечений сложнее, чем создание их проекций, поскольку проекции можно (особенно для несложных тел) получить по аналогии с двухмерными, а сечения строятся только логическим путём, при этом рассматривается каждый конкретный случай отдельно. Естественно, помимо трёхмерных сечений четырёхмерных тел можно создавать и четырёхмерные сечения пятимерных тел, пятимерные сечения шестимерных тел и т. д. (Общий случай: можно построить сечение тела размерности n гиперплоскостью размерности n-1, при этом размерность сечения будет n-1.)

Развёртки

Развёртка тела — это совокупность соединённых фигур или тел, соответственно равных граням исходного тела, расположенных так, чтобы при складывании они образовывали исходное тело. Иными словами, если некое тело в n-мерном пространстве развернуть, разъединив некоторые его n-1-мерные гиперграни и совместить полученную совокупность гиперграней с n-1-мерным пространством, то это и будет искомая развёртка исходного тела.

С развёртками трёхмерных тел можно встретиться довольно часто. Например, модели многогранников создаются из их развёрток, предварительно построенных на плоскости и вырезанных. Подобным образом можно разворачивать на трёхмерное пространство четырёхмерные тела, при это развёртки их будут состоять из трёхмерных элементов, каждый из которых будет являться гипергранью исходного четырёхмерного тела.

Визуализация тел размерности 5 и выше

Чтобы визуализировать геометрические тела размерности 5 и выше, то есть пятимерные, шестимерные, семимерные и вообще n-мерные тела, у которых n>4, следует использовать метод нескольких проекций.

Метод нескольких проекций - это метод, позволяющий делать доступными для нашего непосредственного восприятия тела, которые невозможно визуализировать только одной проекцией, то есть тела, находящихся в более отдалённых от нас размерностях. Так, для того, чтобы мы смогли увидеть изображение визуализации пятимерного тела, например, гексатерона, мы должны спроецировать этот гексатерон на четырёхмерное пространство, а затем спроецировать на наше трёхмерное пространство уже построенную четырёхмерную проекцию этого пятимерного тела. Если же мы хотим визуализировать шестимерное тело, например, гептапетон, то мы должны создать проекцию проекции его проекции. Таким образом, чтобы построить трёхмерное изображение тела размерности n, надо производить проецирование n-3 раза.

Классификация многомерных тел

Классификацию геометрических тел в пространствах с разной размерностью можно понимать по-разному. Обычно её проводят либо сначала по размерностям тел, а потом по их типам, либо, наоборот, сперва по типам тел, а затем по их размерностям. В данной статье классификация тел приводится по типам тел, для каждого описываемого типа тел даётся несколько примеров.

В научной литературе, раскрывающей тему многогранников в пространствах с размерностью n, такие многогранники называются политопами [4]. Для указания размерности пространства говорят: «n-мерный политоп», например, «5-мерный (или пятимерный) политоп».

Подобно тому, как в трёхмерном пространстве многогранники делятся на правильные (Платоновы тела), Архимедовы тела, Каталановы тела, призмы, пирамиды, антипризмы, бипирамиды, трапецоэдры и т. д., в пространствах с размерностью больше 3 также выделяют разные подобные типы политопов. Большинство этих типов являются аналогами некоторых типов многогранников в 3-мерном пространстве (например, правильные), но существуют также и другие типы многогранников, аналоги которых в 3-мерном пространстве отсутствуют.

Далее представлены основные типы n-мерных политопов и других n-мерных геометрических тел:

Правильные политопы

Правильные политопы – это аналоги Платоновых тел (3-мерных правильных многогранников) в n-мерном пространстве [4]. На плоскости правильными политопами являются правильные многоугольники, в 3-мерном пространстве – Платоновы тела (правильный тетраэдр, куб, правильный октаэдр, правильный додекаэдр, правильный икосаэдр), гранями которых являются правильные 2-мерные политопы (правильные треугольники, квадраты, правильные пятиугольники), в 4-мерном пространстве – правильные многоячейники (полихороны, полихоры): правильный 5-ячейник (пентахорон), правильный 8-ячейник (октахорон, тессеракт), правильный 16-ячейник (гексадекахорон), правильный 24-ячейник (икоситетрахорон), правильный 120-ячейник (гекатоникосахорон), правильный 600-ячейник (гексакосихорон) [4]. Гипергранями или ячейками (то есть 3-мерными аналогами плоских граней у многогранников) этих геометрических тел являются правильные тетраэдры (у правильного пентахорона, правильного гексадекахорона и правильного гексакосихорона), кубы (у тессеракта), правильные октаэдры (у правильного икоситетрахорона), правильные додекаэдры (у правильного гекатоникосахорона). В пространствах размерностью 5 и выше существует всего по 3 правильных политопа на каждое пространство. Это аналоги правильного тетраэдра (обобщённо именуемые симплексами), куба (гиперкубы), октаэдра (ортоплексы, кросс-политопы). В 5-мерном пространстве симплекс называют гексатероном, гиперкуб – декатероном или пентерактом, ортоплекс – триаконтадитероном или триаконтидитероном [6].

Однородные политопы

Однородные политопы – это изогональные политопы, гипергранями которых тоже являются однородные политопы, то есть политопы, двумерными гранями которых являются правильные многоугольники [5]. При этом из множества однородных политопов обычно исключают правильные политопы, хотя формально они являются однородными. Кроме того, однородные призматические политопы и однородные звёздчатые политопы, подпадающие под такое определение, как правило, рассматривают особо, хотя и относят к однородным политопам. Однородные политопы, не являющиеся правильными, призматическими или звёздчатыми, можно назвать n-мерными Архимедовыми телами.

В 3-мерном пространстве однородными политопами (исключая правильные, однородные призматические и однородные звёздчатые) являются Архимедовы тела. Насчитывается 13 Архимедовых тел (2 из них имеют левую и правую форму, не являясь зеркально симметричными. В 4-мерном пространстве насчитывается 41 однородный политоп (исключая правильные, однородные призматические и однородные звёздчатые) [7]. В большинстве случаев они являются разными усечёнными, полностью усечёнными, глубоко усечёнными, скошенными, рансинированными (рансинирование политопа – это операция над 4-мерным политопом, аналогичная операции скашивания над многогранником), скошенно-усечёнными, рансинированно-усечёнными и всеусечёнными формами. Существует также один особый политоп – так называемая великая антипризма [7].

Гиперпризмы

Гиперпризмами называются n-мерные аналоги призм [4]. Они представляют собою геометрические тела, две гиперграни которых являются равными политопами размерности n-1 (n – размерность самой гиперпризмы), лежащими в параллельных гиперплоскостях, а остальные гиперграни – гиперпризмами размерности n-1, имеющие общие грани с политопами-основаниями [4].

Наиболее часто рассматриваются прямые (те, у которых боковые гиперграни перпендикулярны основаниям) и особенно однородные гиперпризмы (прямые гиперпризмы, 2-мерные грани которых – правильные многоугольники). В 3-мерном пространстве все правильные призмы с равными рёбрами являются однородными. В 4-мерном пространстве существует 18 однородных гиперпризм (включая октахорон), основаниями которых представляют собою Платоновы и Архимедовы тела. Кроме того, в 4-мерном пространстве существует два бесконечных ряда однородных призматических политопов, основаниями которых являются прямые призмы с равными рёбрами (все они входят в множество дуопризм) или антипризмы.

Дуопризмы

Дуопризма – это продукт прямого произведения двух политопов [4]. Дуопризмы не представлены в пространствах с размерностью меньше 4. 4-мерная однородная дуопризма (то есть такая дуопризма, у которой плоские грани представляют собою правильные многоугольники) называется обычно по многоугольникам, образующих её при прямом их произведении. Однородная дуопризма, полученная в результате прямого произведения двух многоугольников с p и q сторонами соответственно ({p}×{q}), именуется p-q дуопризмой.

Гиперантипризмы

Гиперантипризмы – это n-мерные аналоги антипризм. Основаниями гиперантипризм служат двойственные друг другу политопы, соединённые между собою по следующему принципу: вершина одного политопа-основания соединяется с соответсвующей ячейкой другого основания [4]. Гиперантипризмы почти не бывают однородными (примером однородной гиперантипризмы может послужить ряд ортоплексов, например, его 4-мерный представитель – гексадекахорон, у которого основаниями (как у гиперантипризмы) являются двойственные и равные друг другу тетраэдры).

Гиперпирамиды

Гиперпирамида – геометрическое тело, одна из гиперграней которого (основание) является n-1-мерным политопом (n – размерность самой гиперпирамиды), а остальные гиперграни – n-1-мерные гиперпирамиды, имеющие общую вершину [4 (отчасти)]. Гиперпирамиды (кроме правильных симплексов) не бывают однородными.

Гипербипирамиды

Гипербипирамиды – это политопы, двойственные гиперпризмам.

Дуопирамиды

Дуопирамиды – это тела, двойственные дуопризмам [4].

Гиперантитегумы

Гиперантитегумы – это тела, двойственные гиперантипризмам [5 (отчасти)].

Каталановы тела

Каталановы тела – это политопы, двойственные однородными политопам, не являющимся ни правильными, ни призматическими, ни звёздчатыми [5]. В 3-мерном пространстве существует 13 Каталановых тел, двойственных Архимедовым телам. В 4-мерном пространстве существует 41 Каталаново тело.

Тела вращения

Тела вращения – это геометрические тела, образуемые некоторыми n-1-мерными телами, вращающимися вокруг оси, лежащей в той же гиперплоскости. В 3-мерном пространстве наиболее известными телами вращения являются цилиндр, конус, шар и тор. В 4-мерном пространстве количество даже простых тел вращения увеличивается [5], появляются такие тела вращения, как сферический гиперцилиндр, цилиндрический гиперцилиндр, конический гиперцилиндр, сферический гиперконус и т. д.

Способы построения разных типов многомерных тел

Чтобы изучать геометрические тела в пространствах с разной размерностью их необходимо визуализировать (как правило, это делается методом проекций). Сами же проекции этих тел (речь идёт о политопах) также требуется строить, делать их построение.

Для рационального решения этой задачи нужно понимать, что разные типы политопов (многие из них были описаны выше) следует изображать неодинаково. Это обусловлено двумя причинами. Во-первых, некоторые методы построения, вполне подходящие к один геометрическими телам (например, к гиперантипризмам) совершенно неприменимы к другим (к примеру, к гипербипирамидам). Во-вторых, нужно учитывать и то, что изображение должно быть наглядным и понятным для человека, рассматривающего его. Легко понять, что некоторые способы визуализации политопов очень мало подходят для этой цели.

Что касается непосредственно самих методов построения разных типов политопов, то тут нельзя не умолчать о чётком разделении этих типов на те, которые подлежат построению в центральной проекции и те, которые строятся в параллельной проекции.

К первым относятся геометрические тела, имеющие чётко выраженные основания (призматические политопы: гиперпризмы, дуопризмы, гиперантипризмы). Гиперграни, являющиеся основаниями этих тел, при проецировании на трёхмерное пространство (речь идёт о 4-мерных политопах) делаются ближайшими к точке, из которой исходят проекционные лучи. Это позволяет построить изображение диаграммы Шлегеля таких тел, представляющее собой два трёхмерных многогранника, расположенных один внутри другого. При этом внутренний многогранник является проекцией дальнего основания политопа (относительно центра проекции), а внешний – ближнего. Также центральная проекция применяется для визуализации гиперпирамид (в этом случае изображение проекции является многогранником (проекцией основания гиперпирамиды), по центру которого расположена точка (проекция вершины гиперпирамиды), от которой проведены отрезки в каждую вершину многогранника.

Ко второй группе геометрических тел относят те, у которых нет чётко выраженных оснований (гипербипирамиды, дуопирамиды, гиперантитегумы). Построение диаграммы Шлегеля для них, конечно, возможно, но представляет собою весьма трудную задачу, особенно для сложных политопов, имеющих много гиперграней и рёбер. При построение центральной проекции, центрированной по вершине такого политопа (это получается при построении проекции двойственного политопа, относящего ко второй группе (например, дуопирамиды) по диаграмме Шлегеля исходного политопа (например, дуопризмы) путём простой замены проекций ячеек на проекции вершин), противоположные вершины сливаются, что лишает изображение наглядности. Поэтому визуализация таких геометрических тел должна осуществляться с помощью параллельной проекции, как правило косоугольной. Например, чтобы визуализировать кубическую гипербипирамиду, необходимо расположить её так, чтобы её кубическое сечение, проходящее через её центр, было параллельно картинному подпространству (в данном случае 3-мерному) и спроецировать её на это подпространство проекционными лучами, параллельными друг другу, но не перпендикулярными картинной гиперплоскости. При таком способе визуализации в проекции получается изображение куба с двумя точками внутри него, к каждой из которых из вершин куба проведены отрезки.

Построение изображений геометрических тел, имеющих размерность больше 4, требует несколько иного подхода. Например, для построения 5-мерного тела нужно выбирать новый способ проецирования для второго этапа визуализации, а именно тогда, когда сам политоп уже спроецирован на 4-мерное пространство. В этом случает далеко не всегда возможно применить тот же способ визуализации, который был применён на первом этапе создания изображения этого геометрического тела. Так, при проецировании пентеракта на 4-мерное пространство удобно воспользоваться диаграммой Шлегеля. В результате мы будем иметь два тессеракта, вложенных один в другой и соединённых отрезками, начинающимися в вершинах внутреннего тессеракта и кончающимися в вершинах внешнего. Эту проекция уже нельзя переводить на 3-мерное пространство с помощью центральной проекции, так как в таком случае произойдёт наложение друг на друга отрезков, являющихся проекциями рёбер пентеракта. Поэтому здесь необходимо применить косоугольную параллельную проекцию.

Способ построения изображений аналогов Архимедовых тел и правильных политопов разных размерностей зависит в первую очередь именно от размерности пространства, в котором находятся эти тела. 4-мерные правильные и однородные политопы легко можно визуализировать с помощью центральной проекции, диаграммы Шлегеля. Также не вызывает особых затруднений их построение методом параллельного проецирования. Но уже 5-мерные (и вообще n-мерные при n>4) правильные политопы и аналоги Архимедовых тел нужно проецировать только параллельными проекционными лучами, причём при втором, третьем и любом по счёту повторном проецировании, применяемом для переведения изображения на пространство с размерность на 1 меньше, необходимо также использовать параллельную проекцию, наиболее часто – косоугольную параллельную проекцию.

Отдельно следует сказать о визуализации политопа, двойственного данному. Для выполнения этой задачи надо спроецировать исходный политоп методом косоугольной параллельной проекции, а затем поставить вершины там, где находятся проекции центров ячеек исходного политопа, и правильно эти вершины соединить. Построение исходного (данного) тела с помощью центральной проекции неприменимо, потому что двойственный политоп, относящийся ко второй группе тел (описанной выше в этом разделе) не может быть спроецирован лучами, исходящими из одной точки.

Построение Каталановых тел наиболее сложно. Это обусловлено особым устройством эти политопов, делающим невозможным их построение простой заменой гиперграней на вершины. Чтобы построить некоторое Каталаново тело, например, политоп, двойственный усечённому гексадекахорону, надо воспользоваться другим способом представления данного Каталанова тела, потому что оно может быть рассмотрено не только как двойственное какому-либо однородному политопу, но и как политоп, образованный приложением прямых гиперпирамид к гиперграням другого политопа. Например, приведённый выше политоп, двойственный усечённому гексадекахорону, является также результатом приставления правильных кубических гиперпирамид к ячейкам октахорона. Для определения высоты этих гиперпирамид можно воспользоваться рассмотрением трёхмерного аналога этого тела: так как усечённый гексадекахорон является 4-мерным аналогом усечённого октаэдра, то двойственный ему политоп будет являться тетракисгексаэдром. Как известно, тетракисгексаэдр иногда рассматривается как результат приложения правильных четырёхугольных пирамид к граням куба. Высота таких пирамид составляет 0,25 от длины ребра этого куба и, соответственно, длины стороны основания пирамиды. Также и гипербипирамиды, приставляемые к тессеракту для получения политопа, двойственного усечённому гексадекахорону, будут иметь высоту, равную 0,25 от длины ребра своего основания. Полученные данные позволяют построить искомое нами Каталаново тело, причём строится оно в косоугольной параллельной проекции, сохраняющей отношения длин. Однако следует помнить, что далеко не все n-мерные Каталановы тела, составленные подобным образом, будут иметь гиперпирамиды с такой же высотой, как пирамиды, входящие в состав аналогичных 3-мерных Каталановых тел. В таких случаях построению двойственного политопа должны предшествовать некоторые вычисления, объём которых может быть самым разным, в зависимости от сложности тела.

Построения политопов, впервые выполненные автором данной статьи

Автор этой статьи выполнял описанные в предыдущем разделе построения проекций геометрических тел в пространствах с размерностью n в известной математической программе GeoGebra, вовсе не специализирующейся на многомерной геометрии и вообще не содержащей в себе никакого модуля для работы с многомерными телами.

После исследований, краткое описание которых приведено выше, автором этой статьи были построены некоторые политопы, никем ранее не описанные и не построенные.

Эти политопы относятся к разным типам (по классификации этой статьи). На данный момент таких политопов насчитывается 4, названия им были даны по аналогии с известными трёхмерным и четырёхмерными многогранниками. Далее представлен список этих тел:

1) Октакисдекатерон – 5-мерное Каталаново тело, двойственное усечённому триаконтадитерону, аналог тетракисгексаэдра и четырёхмерного подобного тела, уже описанного ранее, но названного автором этой статьи гексакисоктахороном. Построение выполнено с помощью косоугольной параллельной проекции на 3-мерное пространство косоугольной параллельной проекции на 4-мерное пространство.

Октакисдекатерон

2) Пентакисгексатерон - 5-мерное Каталаново тело, двойственное усечённому гексатерону, аналог триакистетраэдра и четырёхмерного подобного тела, уже описанного ранее, но названного автором этой статьи тетракиспентахороном. Построение выполнено с помощью косоугольной параллельной проекции на 3-мерное пространство косоугольной параллельной проекции на 4-мерное пространство.

Пентакисгексатерон

3) Правильночетырёхугольнопирамидальногиперпризматическая гиперантипризма – 5-мерное тело, гиперантипризма, основаниями которой являются 4-мерные политопы: правильночетырёхугольнопирамидальная гиперпризма и двойственное ей тело. Построение выполнено с помощью косоугольной параллельной проекции на 3-мерное пространство центральной проекции на 4-мерное пространство.

Правильночетырёхугольнопирамидальногиперпризматическая гиперантипризма

4) Правильная декатероническая гиператипризма – 6-мерное тело, гиперантипризма, основаниями которой являются 5-мерные политопы: правильный декатерон и правильный триаконтадитерон. Построение выполнено с помощью косоугольной параллельной проекции на 3-мерное пространство косоугольной параллельной проекции на 4-мерное пространство центральной проекции на 5-мерное пространство.

Правильная декатероническая гиперантипризма

Заключение

В результате исследований, проведённых автором этой статьи, выполненными оказались поставленные задачи: рассмотрено и простым языком (что весьма важно) объяснено само понятие n-мерного пространства, изучены способы визуализации геометрических тел в пространствах с разной размерностью, проведена систематизация имеющихся знаний на эту тему (при этом в качестве источников были привлечены такие исследователи, как Джонатан Бауверс и Джордж Ольшевски, открывшие многие однородные политопы), приведена классификация n-мерных тел, изучены способы построения тел разных типов и особенности их построения и визуализации, открыты 4 новых политопа.

Библиографический список:

1. George W. Hart. 4D Polytope Projection Models by 3D Printing [Электронный ресурс] //Сайт Джорджа В. Харта. - URL: http://www.georgehart.com/hyperspace/hart-120-cell.html (дата обращения 15.02.2017)
2. 4D Visualization [Электронный ресурс] // 4D Euclidean space. Сайт. – URL: http://eusebeia.dyndns.org/4d/vis/vis (дата обращения: 29.01.2017)
3. Dimensions (Научно-популярный фильм) [Электронный ресурс] //Сайт. - URL: http://www.dimensions-math.org./ (дата обращения: 15.02.2017)
4. George Olshevsky. Glossary for hyperspace [Электронный ресурс] //Сайт. – URL: https://web.archive.org/web/20070207021813/http://members.aol.com/Polycell/glossary.html (дата обращения: 29.01.2017)
5. Jonathan Bowers. Uniform Polychora and Other Four Dimensional Shapes [Электронный ресурс] //Сайт Джонатана Бауверса. – URL: http://www.polytope.net/hedrondude/polychora.htm (дата обращения: 29.01.2017)
6. Jonathan Bowers. Uniform Polytera and Other Five Dimensional Shapes [Электронный ресурс] //Сайт Джонатана Бауверса. – URL: http://www.polytope.net/hedrondude/polytera.htm (дата обращения: 15.02.2017)
7. The Uniform Polychora [Электронный ресурс] // 4D Euclidean space. Сайт. – URL: http://eusebeia.dyndns.org/4d/uniform (дата обращения: 29.01.2017)




Рецензии:

31.01.2017, 13:35 Мирмович-Тихомиров Эдуард Григорьевич
Рецензия: Все компоненты научной статьи соблюдены. Рецензенту понравилось всё. Хотел бы он по своим "вкусам" увидеть слова "тетраэдр", неперпендикулярная ортогональность (90 град. из воззрений "плоскатиков" незаконно перебрались повсюду), кривые пространства (постоянной кривизны) и др. Наверное, "были привлечены исследования таких...", а не сами авторы. Статья не может быть опубликована, а должна. С уважением к учителю математики, подарившей и такого ученика, и такую статью. Только город надо указывать, хотя можно догадатья, что это Москва.

01.02.2017 19:19 Ответ на рецензию автора Хлопотин Николай Викторович:
Извините, пожалуйста, но я не очень понял Вашу рецензию. Скажите, пожалуйста, каковы конкретные достоинства и недостатки статьи. Город не Москва, а Санкт-Петербург.

2.02.2017, 8:01 Наумов Владимир Аркадьевич
Рецензия: Материал интересный, является актуальным для развития методов компьютерной графики, содержит элементы научной новизны. Однако для публикации нужно выполнить обязательное требование к научным статьям: четко разграничить собственный материал и заимствованный. Для этого на все заимствованные определения, методы и др. должны быть ссылки. Не туманное упоминание других авторов в тексте, а четкое указание, в какой работе дано определение или предложен используемый метод. Каталановы тела - это, согласно [5], ... Далее используем метод, предложенный в [4], ... В математике (см, например, [1, с. 54; 2, с.103])... Дословные цитаты должны быть взяты в кавычки. Становится понятным, что Библиографический список не полный.
02.02.2017 18:18 Ответ на рецензию автора Хлопотин Николай Викторович:
Благодарю за рецензию. Попробую поработать в этом направлении. Дословных цитат в статье нет.



Комментарии пользователей:

8.02.2017, 21:28 Хлопотин Николай Викторович
Отзыв: После того, как мой научный руководитель разъяснила мне всё, что хотели донести до меня уважаемые рецензенты, я хочу ещё раз поблагодарить уважаемых учёных Эдуарда Григорьевича и Владимира Аркадьевича. Скажу, что теперь мне стали понятны все указания рецензентов, и я собираюсь исправить статью, чтобы привести её в должный вид, обработать её, как это положено сделать.


26.02.2017, 18:57 Хлопотин Николай Викторович
Отзыв: Вроде бы проставил ссылки внутри статьи, как и просили уважаемые рецензенты. Проставил уже некоторое время назад, но забыл сюда написать. Изивините, пожалуйста.


Оставить комментарий


 
 

Вверх