Статья опубликована в №45 (май) 2017
Разделы: Математика
Размещена 05.05.2017. Последняя правка: 05.05.2017.
Просмотров - 2111

Об определении числа экспертов на основе парадокса Кондорсе

Мантусов Анатолий Бадьмаевич

кандидат педагогических наук

ФГОУ ВПО Калмыцкий госуниверситет им Б.Б. Городовикова

доцент кафедры математики и информатики

УДК 519.816

Проведение экспертиз имеет большое распространение в экономических исследованиях и позволяет принимать решения и делать выводы по различным аспектам. При   проведении экспертиз одной из проблем является определение количества привлекаемых экспертов.  Для определения числа экспертов имеются различные методы, так в [5, c. 286] предложены методики определения количества экспертов на основе коэффициента согласованности (коэффициент конкордации Кендалла), на базе нормального и гамма-распределения случайной величины.  Рассмотрим вопрос определения числа экспертов с точки зрения выполнения парадокса Кондорсе.

Парадокс Кондорсе - известный парадокс теории общественного выбора, впервые описан Кондорсе в 1785 г [2. C. 136] имеет несколько вариаций, здесь изложим одну из них.

Кондорсе определил правило, по которому вводится операция сравнения выбираемых альтернатив.

Согласно принципу Кондорсе, для определения истинной воли большинства необходимо, чтобы каждый голосующий проранжировал всех кандидатов в порядке их предпочтения. После этого для выбранной пары кандидатов определяется, сколько голосующих предпочитает одного кандидата другому. Таким образом можно сравнить любых кандидатов.

Рассмотрим числовой пример из его работы.

Будем использовать общепринятые обозначения. Выражение A > B > C означает, что голосующий предпочитает кандидата A кандидату B, а кандидата B — кандидату С.

Пусть 60 голосующих дали следующие предпочтения:

23 человека: A > C > B
19 человек: B > C > A
16 человек: C > B > A
2 человека: C > A > B

При сравнении A с B имеем:

23 + 2 = 25 человек за то, что A > B;
19 + 16 = 35 человек за то, что B > A.

По терминологии Кондорсе мнение большинства состоит в том, что В лучше А.

Сравнивая А и С, будем иметь:

23 человека за то, что A > C;
37 человек за то, что C > A.

Отсюда, по Кондорсе, заключаем, что большинство предпочитает кандидата С кандидату А.

Наконец, сравним С с В:

19 человек за то, что B > C;
41 человек за то, что C > B.

Таким образом, по Кондорсе воля большинства выражается в виде трех суждений: C > B; B > A; C > A, которые можно объединить в одно отношение предпочтения C > B > A и если необходимо выбрать одного из кандидатов, то, согласно принципу Кондорсе, следует пpедпочесть кандидата С.

Исходом данного голосования по мажоpитаpной системе относительного большинства являются такие результаты: за А — 23 человека, за В — 19 человек, за С — 18 человек. Таким обpазом, в этом случае победит кандидат А.

При голосовании по системе абсолютного большинства кандидаты А и В выйдут во второй туp, где кандидат А получит 25 голосов, а кандидат В — 35 голосов и победит.

Сравнивая результаты мы видим, что итогом голосования может быть победа и А и В и С одновременно, что и составляет парадокс Кондорсе. С точки зрения количества экспертов парадокс Кондорсе можно трактовать как   утверждение того, что число экспертов равное 60 не является удовлетворительным с точки зрения устойчивости к манипулированию выбором правила голосования.

Таким образом, правила игры определяют победителя, и эти победители будут разными при различных правилах голосования и появляется возможность манипулирования путем выбора правила голосования [1, c.95].  Назовём манипулирование полным или частичным, если его результатом может быть любая из альтернатив или только некоторые наборы.  Парадокс Кондорсе является примером полного манипулирования. Возникают вопросы: останется ли справедливым парадокс Кондорсе при более полном наборе предпочтений, при уменьшении числа голосующих, при другом наборе правил голосования, можно ли сравнивать между собой различные правила голосования по признаку минимальности для полного и неполного манипулирования.

Построим модель парадокса Кондорсе при 6 предпочтениях, поскольку при числе альтернатив равном 3 соответствующее число есть 3!=6

Введем переменные следующим образом. Пусть 60 голосующих дали следующие предпочтения:

x человек: A > C > B
y человек: А > B > C
z человек: В > А > С
t человек: В > С > А

u человек: C>A>B

v человек: C>B>A

При сравнении A с B имеем:

x +y+u  человек за то, что A > B;
z + t+v  человек за то, что B > A.

Так как по терминологии Кондорсе мнение большинства состоит в том, что В лучше А, то

 z + t+v  > x +y+u  .

Сравнивая А и С, будем иметь:

x+y+z человек за то, что A > C;
t+u+v человек за то, что C > A.

Поскольку требуется чтобы выполнялось условие того, что большинство предпочитает кандидата С кандидату А то t+u+v > x+y+z.

Наконец, сравним С и В:

y+z+t человек за то, что B > C;
x+u+v человек за то, что C > B и так как должно быть, что большинство предпочитает кандидата С кандидату В, то   x+u+v > y+z+t .

Поскольку по Кондорсе воля большинства выражается в виде трех суждений: C > B; B > A; C > A, которые можно объединить в одно отношение предпочтения C > B > A и если необходимо выбрать одного из кандидатов, то, согласно принципу Кондорсе, следует пpедпочесть кандидата С или в наших обозначениях найти решение системы неравенств

 

Исходом данного голосования по мажоpитаpной системе относительного большинства являются такие результаты: за А — x+y человек, за В — z+t человек, за С — u+v человек. Таким образом, в этом случае победит кандидат А если

При голосовании по системе абсолютного большинства кандидаты А и В выйдут во второй туp при условии, что x+y > u+v и z+t > u+v, где кандидат А получит x+y+u голосов, а кандидат В —z+t+v голосов и победит  кандидат В при условии z+t+v > x+y+u. Таким образом

 

При таких обозначениях для отыскания целочисленных значений x, y, z, t , u, v получаем следующую модель:

Минимизируя число голосующих получим задачу линейного программирования:

 

Для решения данной задачи воспользуемся GNU Octave. GNU Octave - это [4] свободный интерпретирующий язык для проведения математических вычислений. Для решения задач линейного программирования [3, c.311] в Octave существует функция

 [xopt, fmin, status, extra] = glpk( c, a, b, lb, ub, ctype, vartype, sense, param)

которой мы и воспользуемся. Текст программы решения задачи приведён в листинге

Минимальное значение f_min = 9 достигается при x =3, y=1, z=0, t=3, u=0 и v=2.

Из того, что минимальное значение целевой функции равно 9 можно сделать вывод о том, что числе голосующих меньшем 9 парадокс Кондорсе не реализуется для приведенного выше набора правил голосования, другими словами имеем устойчивость к манипулированию при данном наборе альтернатив. Рассмотрим вопрос о ситуации, когда правило голосования не позволяет найти победителя.

Пусть в тех же обозначениях голосование по мажоpитаpной системе относительного большинства и по системе абсолютного большинства дадут такие результаты: за А — x+y человек, за В — z+t человек, за С — u+v человек. Таким образом, голосование по мажоpитаpной системе относительного большинства и по системе абсолютного большинства не позволяют найти победителя если

После преобразования

 

При таких обозначениях для отыскания целочисленных значений x, y, z, t , u, v получаем следующую модель:

 

Минимальное значение f_min = 3 достигается при x =0, y=1, z=0, t=1, u=0 и v=1, при этом друг другие возможные значения f=x+y+z+t+u+v  это 6, 9 , 12 и т.д.

По Кондорсе нельзя пpедпочесть ни одного кандидата в наших обозначениях означает найти решение системы уравнений

Минимальное значение f_min =2  достигается при x =1, y=0, z=0, t=1, u=0 и v=0, при этом друг другие возможные значения f  это 4, 6 , 8 и т.д.

Таким образом, исходя из условия невыполнимости парадокса Кондорсе и условия исключение невозможности предпочтение ни одного кандидата получаем, что число голосующих должно быть равно или 1, 5  или 7, другими словами с одной стороны при голосовании по трем альтернативам при числе голосующих равном 1, 5 или 7 исходами данного голосования по мажоpитаpной системе относительного большинства,   по системе абсолютного большинства и по правилу Борда не могут быть три различных победителя и с другой стороны нет случаев когда исход голосования не может быть определен.

1. Алескеров Ф. Т., Хабина Э. Л., Шварц Д. А. Бинарные отношения, графы и коллективные решения : учеб. пособие для вузов ; Гос. ун-т — Высшая школа экономики. — М. : Изд. дом ГУ ВШЭ, 2006. — 298 с,
2. Орлов А.И. Организационно-экономическое моделирование : учебник : в 3 ч. : – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана. – 2009. Ч. 2 : Экспертные оценки. – 2011. – 486 с.
3. Алексеев Е.Р., Чеснокова О.В. Введение в Octave для инженеров и математиков: М.: ALT Linux, 2012. 368с.
4. GNU Octave. URL: http://www.gnu.org/software/octave/ (дата обращения: 05.10.2016)
5. Рупосов В.Л. МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КОЛИЧЕСТВА ЭКСПЕРТОВ / ВЕСТНИК ИрГТУ 2015 №3 (98) с. 286

Рецензии:

8.05.2017, 12:22 Голик Феликс Валентинович
Рецензия: Предметом исследования настоящей статьи является число экспертов, при котором гарантируется получение непротиворечивых выводов по результатам голосования при различных системах подведения итогов. В качестве метода решения оптимизационной задачи автор использует метод линейного программирования. Автор убедительно доказал его эффективность и результативность. Статья содержит элементы научной новизны. Структура и содержание статьи соответствуют научному стилю публикаций. Аннотация в полной мере отражает содержание статьи, предмет исследования, метод и результаты, полученные автором. Библиография содержит достаточное число ссылок на научные работы. Замечания. 1). В условии задачи линейного программирования два ограничения повторяются дважды. Дублирующие неравенства могут быть исключены, поскольку не влияют на конечный результат. 2). Задачу линейного программирования можно решить, не обращаясь к профессиональной программе GNU Octave, воспользовавшись надстройкой «Поиск решения» общедоступной программы MS Excel. Доступность инструмента позволит расширить число исследователей, интересующихся решением поднятой автором проблемы. Пожелание. Желательно продолжить исследование для числа альтернатив больших 3, что существенно повысит его практическую значимость. Заключение. Считаю, что статья «Об определении числа экспертов на основе парадокса Кондорсе» (Матусов А. Б.) отвечает всем требованиям, предъявляемым к научным публикациям, и может быть опубликована в электронном журнале SCI-ARTICLE.

28.05.2017, 13:26 Мирмович-Тихомиров Эдуард Григорьевич
Рецензия: Использование компьютерной реализации линейного программирования при выборе альтернатив по парадоксу Кондорсе - этому посвящена статья. По мнению рецензента, ни эксперты, ни президенты или депутаты тут не причём. Долгое разбирательство примера, взятое из Википедии (для другого распределения числа участников выбора: общественного, частного, либо любого другого), не меняет основной направленности статьи. Хотелось бы получить вывод, что нет у нас никакого голосования и выбора, что наши выборы - это фикция не только из-за подтасовок и кольцевых автобусов, но и самого методы. Уж лучше на "Голосе" или "Точь в точь". Для любого голосования и выбора важны два принципа: участников должно быть много и они должны быть независимы. Никакие корреляции, сговоры, корпоративность не допустимы. Но автору почему-то захотелось без приложения к практическим аспектам общественно-социальной жизнедеятельности напомнить о парадоксе, изложенном 250 лет назад маркизом Кондорсе, применив к нему решение линейных уравнений на ЭВМ. А ведь во многих странах в том или ином виде этот парадокс в адаптации Шульца и др. применяют для более объективной оценки рейтинга и статуса кандидата на тот или иной пост. И в преддверии очередной подтасовки с выборами президента в следующем году было бы актуально немного «пофрондиовать» по этому поводу. Тем не менее, статья написана грамотно, литературные источники приведены адекватные (и даже любимый рецензентом А.И. Орлов). Из замечаний: приведенные скриншоты не видны (или убрать или увеличить); надо бы литературу оформить по формату (запятые после фамилии); из УДК последнюю единицу лучше убрать. Заключения или выводов практически нет. А вообще, рецензент не возражает против публикации этой статьи хоть в таком, хоть в изменённом по его замечаниям виде.



Комментарии пользователей:

Оставить комментарий