Публикация научных статей.
Вход на сайт
E-mail:
Пароль:
Запомнить
Регистрация/
Забыли пароль?
Международный научно-исследовательский журнал публикации ВАК
Научные направления
Поделиться:
Разделы: Математика
Размещена 16.07.2017. Последняя правка: 22.07.2017.

Количественные соотношения степеней с чётными и нечётными целыми положительными основаниями. Гипотеза Била и великая теорема Ферма

Танченко Владимир Евгеньевич

Консерваторион

дежурный администратор

Аннотация:
Определены количественные соотношения между степенями с основаниями разной чётности. Данные соотношения обобщены и представлены в виде формулы, отражающей общее правило. Полученные зависимости и количественные соотношения применены для подтверждения гипотезы Била.


Abstract:
Quantitative relations between degrees with bases of different parity are determined. These relations are generalized and presented in the form of a formula reflecting the general rule. The obtained dependences and quantitative relationships are used to confirm Bill's hypothesis.


Ключевые слова:
натуральные числа; чётное число; нечётное число; показатель степени; простые числа Марсенна; метод конечного спуска; определитель; коэффициент кратности; минимальность выбора; простые числа; общий делитель.

Keywords:
natural numbers; even number; odd number; exponent; Prime numbers of Marsenne; Method of final descent; determinant; General coefficient of multiplicity; Minimal choice; Prime numbers; Common divisor.


УДК 510

Введение: Несмотря на столь стремительное развитие математики как науки, мы являемся свидетелями существования ряда математических задач, которые не нашли элементарного решения для доступного, даже старшекласснику, понимания. С определенного времени эти задачи  пытаются решить и находят их решения математическими методами с применением математического инструментария и математических теорий, которые возникли гораздо позже времени возникновения упомянутых задач. 

Вот лишь некоторые из таких задач:

- Великая теорема Ферма.

- Гипотеза Била.

Зададимся вопросом: возможно ли решения названных задач способом, который был бы понятен даже школьнику? - Или сформулируем вопрос иначе: существует ли возможность решить данные задачи способом, без привлечения современных математических теорий?

Это я попытался выяснить, и я очень надеюсь, что мне удастся показать, что ряд задач, как решённых, так и не решённых, имеют простое, элементарное объяснение. 

Актуальность. Существует утверждение, что Великая теорема Ферма вытекает из гипотезы Била. Хотя, с определённого времени, официально и признано доказательство Эндрю Уайлса [1], тем не менее, единого доказательства теоремы Ферма не существует.  Известны отдельные доказательства: для n=3, для n=4 и упомянутое доказательство, где за основу взят вопрос исследования модулярности эллиптических кривых. Гипотеза Била пока не подтверждена. Уход от многовековых математических правил и традиций о существовании и определении единого доказательства для исследуемой гипотезы наталкивает на мысль о неполноте математического базиса. Утверждать, что мы обладаем полнотой знаний о количественных числовых соотношениях, невозможно. Существование нерешённых математических задач, сформулированных на элементарном уровне, тому подтверждение. [2] [3]. Кроме упомянутых задач можно ещё назвать гипотезу Каталана [4] и гипотезу Пиллаи, которые считаются решёнными, но решённые способом и методами, которые были введены в пользование гораздо позже времени возникновения упомянутых гипотез.  Исследования в области чисел на базисном уровне является первостепенной задачей уже по той причине, что на нём, на этом базисе, строится вся современная математика. И  совершенно понятно, что даже мельчайшие пробелы в наших познаниях, относящихся к основам основ, могут порождать тупиковые ветви в математике и вынуждать нерационально использовать человеческие и материальные ресурсы.

Цели и задачи. Исследовать область натуральных чисел по вопросу выявления не известных нам общих свойств, правил или закономерностей, которые  не были открыты или были утеряны в силу определённых исторических событий. Систематизировать материал исследования, получить новое общее правило и применить его на практике для решения определённых, выбранных задач. При положительном результате показать на данном примере, что математический базис не полон и требует более внимательного исследования, изучения и систематизации.

 

Гипотеза Била:

Если  Ax+ By= C, где A, B, C, x, y, z - натуральные числа, x, y, z > 2, то A, B, C имеют общий простой делитель.

 

Теорема Ферма:

При значениях > 2 уравнения вида xn + yn = zn не имеют ненулевых решений в натуральных числах.

 

Количественные соотношения степеней с чётными и нечётными целыми положительными основаниями.

Правило количественного соотношения степеней нечётных и чётных натуральных чисел для натуральных показателей степени n>0

 

Znm = kZnm-1 kmDn,           (1)

 

где n>0, m>0, k=2nD – нечётное число, а nmDZ – натуральные числа.

Произвольное нечётное число D в степени n определим как нечётную степень Dn.

Пусть для Dn выполняется  условие минимальности выбора, - это означает, что невозможно представить основание D в виде степени другого числа, например D=Am,  и невозможно вынести множитель с тем же показателем степени, чтобы получить произведение двух степеней Сn(D/C)n.  

Теперь  введём понятие коэффициент кратностиk=2n.

Если мы умножим на Dn, то получим степень с чётным основанием  

 

kDn = 2nDn= (2D)n.

 

Введём обозначение для 2D. Пусть это будет Z с нижним индексом 1, – первое чётное основание степени, полученное в результате умножения основания нечётной степени Dn на основание коэффициента кратности  k=2n:   

 

(2D)n=Zn1, - первая чётная степень.

 

Теперь  снова умножим Zn1 на коэффициент кратности k=2n

Получим вторую чётную степень kZn1=(2Z1)n = Zn2.

Назовём нечётное число D,  в степени n,  - определителем  для построения ряда степеней с чётными основаниями Z.


Метод конечного спуска.

   Введём понятие метод конечного спуска.

Дадим определение: 

метод конечного спуска – это многократное деление чётной степени Znm  на коэффициент кратности  k  до получения  определителя  Dn.

Откуда следует, что любая чётная степень Znm , при использовании метода конечного спуска, имеет конечным частным, определитель Dn

И обратное утверждение: любая чётная степень Znm равна произведению определителя  Dn на коэффициент кратности km.

 

Рассмотрим подробнее выполнение равенства Znm=kmDn, где k=2n,

для всех целых чётных чисел Z при  натуральных n>0 и m>0, без наложения на Dn условия минимальности выбора.

 

   Для каждого целого чётного числа Z и натуральных n>0 иm>0  всегда существует определитель Dn и выполняется равенство Znm=kmDn, где коэффициент кратности равен k=2n.

   А. Пусть D в степени n=1, равно одному из членов ряда нечётных чисел, - нечётному числу: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13…  В ряду нечётных чисел нет двух одинаковых, то есть равных чисел. Откуда следует, что после умножения каждого члена ряда нечётных чисел на 2, мы не получим двух одинаковых, то есть равных чётных чисел.

   В. Пусть D2 равно одному из членов ряда нечётных чисел, - нечётному числу: 1, 9, 25, 49, 81, 121, 169…  В ряду нечётных чисел нет двух одинаковых, то есть равных чисел. Откуда следует, что после умножения каждого такого члена ряда нечётных чисел на 22, мы не получим двух одинаковых, то есть равных чётных чисел.

   С. Пусть Dn равно одному из членов ряда нечётных чисел, - нечётному числу, которое можно представить в виде степени: 1n, 3n, 5n, 7n, 9n, 11n, 13n… В ряду нечётных чисел нет двух одинаковых, то есть равных чисел. Откуда следует, что после умножения каждого такого члена ряда нечётных чисел на 2n, мы не получим двух одинаковых, то есть равных чётных чисел.

Откуда следует, что для каждого целого чётного числа Z и натурального n>0  всегда существует такое единственноецелое нечётное число D, когда выполняется равенство Znm=kmDn, где коэффициент кратности k=2n.

Рассмотрим это на примере чётных кубов: Z31, Z32, Z33 … , где определителем  является нечётный куб D3

 

Пусть D=1, n=3, k=23=8, m=1, 2, 3, 4, ...

Тогда

D3 =13 = 1,

Z31 = 8D3 = 8*1 = 8 = 23,

Z32 = 82D3 = 64*1 = 8Z31 = 8*8 = 64 = 43,

Z33 = 83D3 = 512*1 = 8Z32 = 8*64 = 512 = 83,

Z34 = 84D3 = 4096*1 = 8Z33 = 8*512 = 4096 = 163, и так далее.

 

Получаем ряд чётных кубов 23, 43, 83, 163… кратных нечётному 13.

 

Пусть D=3, n=3, k=23=8, m=1, 2, 3, 4, ...

Тогда

D3 =33= 27,

Z31 = 8D3 = 8*27 = 216 = 63,

Z32 = 82D3 = 64*27 = 8Z31 = 8*216 = 1728 = 123,

Z33 = 83D3 = 512*27 = 8Z32 = 8*1728 = 13824= 243,

Z34 = 84D3 = 4096*27 = 8Z33 = 8*13824 = 110592 = 483, и так далее.

 

Получаем ряд чётных кубов  63, 123, 243, 483… кратных нечётному 33.

 

Пусть D=5, n=3, k=23=8, m=1, 2, 3, 4, ...

Тогда

D3 =53= 125,

Z31 = 8D3 = 8*125 = 1000 = 103,

Z32 = 82D3 = 64*125 = 8Z31 = 8*1000 = 8000= 203,

Z33 = 83D3 = 512*125 = 8Z32 = 8*8000 = 64000= 403,

Z34 = 84D3 = 4096*125 = 8Z33 = 8*64000 = 512000 = 803, и так далее.

 

Получаем ряд чётных кубов 103, 203, 403, 803… кратных нечётному 53.

А сейчас рассмотрим простейший вариант.

Пусть D=1, n=1, k=21=2, m=1, 2, 3, 4, ...

Тогда

D1 =11= 1,

Z11 = 21D1 = 2*1 = 2,

Z12 = 21 Z11 = 2*2 = 4,

Z13 = 21 Z12 = 2*4 = 8,

Z14 = 21 Z13 = 2*8 = 16, и так далее.

 

Пусть D=3, n=1, k=21=2, m=1, 2, 3, 4, ...

Тогда

D1 =31= 3,

Z11 = 21D1 = 2*3 = 6,

Z12 = 22D1 = 4*3 = 12,

Z13 = 23D1 = 8*3 = 24,

Z14 = 24D1 = 16*3 = 48, и так далее. 

............

В итоге мы получаем ряды чётных натуральных чисел.

При D=1, n=1, k=21=2,  получаем 2, 4, 8, 16, 32, 64…

При D=3, n=1, k=21=2,  получаем 6, 12, 24, 48, 96…

При D=5, n=1, k=21=2,  получаем 10, 20, 40, 80, 160…

И так далее. 

Это общее правило количественного соотношения степеней нечётных и чётных  натуральных чисел, для всех натуральных показателей степени n>0

Теперь приведём формулировку гипотезы Била [5]:

 

Если  Ax+ By= C, где A, B, C, x, y, z - натуральные числа, x, y, z > 2, то A, B, C имеют общий простой делитель.

 

И используем  равенство (1) для объяснения вышеприведённого утверждения.

Для равенства  Znm = kmDn, гдеn>0, k=2n, Dнечётное число, примем m=1, n=14. 

Представим  Znmв виде суммы двух слагаемых:

 

Z141= 214D14 = D14 + (214 - 1)D14 = D14 + 16383D14

 

Теперь избавимся от множителя 16383.

Для этого примем следующее: пусть D = km-1 =  16383.

Тогда, применив следующие переобозначения:

D14 = (D2)7 = А7 ,

16383D14  = В15

Z141 = С14,

можем записать  С14 = А7 + В15 , где С =  32766, А = 268402689, В = 16383.

3276614 = 2684026897 + 1638315.

Поскольку для любых натуральных  а, m, n отличных от нуля,  верно  (am)n/m = an, мы можем преобразовать полученное равенство и получить равенства с другими основаниями и показателями степени, например :

3276614 = 2684026897 + 43972412538875  или

10736107567 = 1638314 + 11802313767250025021433

Но, в любом случае, во всех  полученных равенствах у оснований степеней будет общий простой делитель.

В данном случае один из них D = km-1 =  16383.

Это число Марсенна вида Mn=2n-1.[6]  В нашем случае  Mn=2n-1= km-1 =  16383. И если даже показатель степени не является простым числом, то такое число Марсенна всегда можно представить в виде  сомножителей, где будет простой множитель:

214 -1 = 16384-1=16383=3*43*127.

Таким образом, для равенства Znm = kmDn, гдеn>0, m>0, k=2n, а Dнечётное число, всегда выполняется разложение на слагаемые

 

Znm = kmDn = Dn + (km – 1)Dn,

 

а при условии, если (km– 1) = D, что необходимо для выполнения равенства

 

kmDn = Dn + D(n+1),

 

всегда верно утверждение:

«Если,  Ax + By = Cz , где A, B, C, x, y, z – натуральные, и x, y, z > 2,

то A, B, C имеют общий простой делитель.»

 

Теперь приведём формулировку теоремы Ферма:

При значениях > 2 уравнения вида xn + yn = zn не имеют ненулевых решений в натуральных числах.

                При верности равенства (1.) и верности обоснования гипотезы Била, теорема Ферма считается доказанной.

Результаты. Определены количественные соотношения между степенями с основаниями разной чётности. Данные соотношения обобщены и представлены в виде формулы, отражающей общее правило. Полученные зависимости и количественные соотношения применены для подтверждения  гипотезы Била.  

Заключение. В данной работе показано, что гипотеза Била имеет простое объяснение.

Библиографический список:

[1] Саймон Сингх. Великая теорема Ферма. — МЦНМО, 2000. [2] Шинтан Яу, Стив Надис. Теория струн и скрытые измерения Вселенной. – Издательский дом «Питер», 2012 г. [3] Иэн Стюарт . The Great Mathematical Problems: Marvels and Mysteries of Mathematics. Альпина нон-фикшн . 2017. [4] E. Catalan Note extraite d’une lettre adressée à l’éditeur (фр.) // J. Reine Angew. Math.. — 1844. — Vol. 27, no 192. — P. 165–186. [5] R. Daniel Mauldin (1997). «A Generalization of Fermat’s Last Theorem: The Beal Conjecture and Prize Problem». Notices of the AMS 44 (11): 1436—1439. [6] С.Коутинхо. Введение в теорию чисел. Алгоритм RSA. Москва: Постмаркет, 2001. - 328 с.




Рецензии:

16.07.2017, 21:53 Мирмович Эдуард Григорьевич
Рецензия: Изящная работа. Несильно, но указана связь проблемы простых делителей, простых чисел и гипотезы Била. Между прочим все справочники хвалят великого чешского труженика-математика Я.Ф Кулика за многомиллионные таблицы простых чисел, а ведь он создавал таблицы простых делителей, что оказалось одним и тем же. Полшага до приводимых неприводимых многочленов и представлений в теории групп Галуа. Если в работе есть логические недоразумения, незамеченные рецензентом, то она всё равно заслуживает опубликования. Для развития теории чисел она полезна в любом случае - ошибочным или безукоризненном. Во втором случае её надо насытить, может, что-то казать о геометрических аналогах формулировок (что явно было бы оригинальным) и представить для опубликования в математическом бумажном журнале. Рецензент согласен с её публикацией.

21.07.2017 7:07 Ответ на рецензию автора Танченко Владимир Евгеньевич:
Спасибо Эдуард Григорьевич! Я прекрасно понимаю Ваши добрые намерения, когда Вы говорите о теории групп Галуа, о геометрических аналогах, но, после вынужденного более чем двадцатилетнего перерыва для меня сейчас важно отдать свои материалы тем, кто сможет их развить и продолжить работу в этом направлении. Я же, по мере своих сил и возможностей, постараюсь предоставить материалы своих исследований, в надежде, что они будут востребованы. Ещё раз благодарю за понимание и взвешенную оценку как специалиста. И обязательно учту Ваши предложения и замечания по содержанию настоящей публикации.

21.07.2017, 11:27 Мирмович Эдуард Григорьевич
Рецензия: Леопольд Кронекер - немецкий математик, энтузиаст арифметизации математического аппарата и теории групп Галуа, основанных на целых числах, родил уникальную и расхожую фразу: «Бог создал натуральные числа, всё остальное – дело рук человеческих». Отсюда можно сделать вывод, что доказательство любых целочисленных математических проблем посредством применения порождённого вторичными ухищрениями дифференциального и интегрального аппарата, канторовскими множествами с равенством множеств и входящих в него подмножеств и непрерывными представлениями, использованием теорем и лемм "вторичной" (высшей) математики - некорректная математическая деятельность. К таковым относится доказательство простой и казалось бы тривиальной теоремы натуральных чисел, сформулированной ещё в древние времена. "Доказательство" абелевского лауреата было принято и понято лишь очень узким сообществом математиков. Любая попытка доказательства теоремы о натуральных числах с помощью действий не выше, чем натуральные числа. должна приветствоваться научной общественностью. Подход автора рецензенту понравился. Статья может быть опубликована. Но хотелось бы источников и ссылок на них добавить.
21.07.2017 14:14 Ответ на рецензию автора Танченко Владимир Евгеньевич:
Огромное спасибо Эдуард Григорьевич! Я учёл все Ваши рекомендации и замечания и внёс соответствующие поправки. Вся проблема использования и приведения ссылок состоит в том, что я уже де-факто сравнивал свои результаты с имеющимися решениями. Вот, как пример, уравнение Ферма — Каталана. Если знать правила соотношения степеней и алгоритм построения такого уравнения, то не составляет большой трудности получить равенство для высших степеней, не нарушая условия когда s = 1/a + 1/b + 1/c меньше 1. Но я не анализировал работы этих авторов заранее. Только уже имея собственные наработки, я проверял, - для себя, - верны ли их утверждения. И ещё. Я кажется второй раз уже что-то неправильно сделал во встроенном редакторе и Ваша рецензия размещена здесь, под статьёй, на которую Вы уже написали рецензию. Это исправится автоматически или нужно сообщить в редакцию?



Комментарии пользователей:

21.07.2017, 22:56 Мирмович Эдуард Григорьевич
Отзыв: Нет. Это я повторил сам. А ссылок надо побольше.


Оставить комментарий


 
 

Вверх