Публикация научных статей.
Вход на сайт
E-mail:
Пароль:
Запомнить
Регистрация/
Забыли пароль?
Научные направления
Поделиться:
Разделы: Математика
Размещена 07.07.2018.

Треугольник, и использование его в некоторых задачах

Зарубин Виктор Владимирович

Сфера коммунального хозяйства

рабочий

Аннотация:
Данная статья показывает, что «первокирпичиком» некоторых видов уравнений является треугольник, что существует «определенная ломаная линия», являющаяся графическим решением таких уравнений, показаны способы её построения.


Abstract:
This article shows, that the "base-brick" of some types of equations is a triangle, that there exists a "certain broken line" that is a graphic solution of such equations, and ways of its construction are shown.


Ключевые слова:
уравнения; треугольник; графический способ решения; ломаная линия; кривая второго порядка; кривая n-ого порядка

Keywords:
equations; triangle; graphical method of solution; polygonal line; the curve of second and nth period


УДК 511

Введение

Треугольник является одной из самых распространенных и простых геометрических фигур. Как для фигуры – это минимум сторон, минимум углов. Но при всей своей простоте и минимализме он обладает такими свойствами и характеристиками, которые помогли решить множество задач, и не только в математике, доказать множество теорем.

Актуальность.

Затронутая тема напрямую связана с теорией чисел, спектр применения этой теории в математических приложениях велик – это и криптография, и акустика, и дальняя космическая связь. Да и в математике есть открытые вопросы, связанные с уравнениями вида an+bn+cn+…+tn=xn.

Цели и задачи.

Показать, что основой данного вида уравнений является треугольник, а графическим решением – «определенная ломаная линия». Доказать, что наряду с прямоугольными треугольниками, для которых справедливо c2=a2+b2, существуют треугольники, для которых справедливо cn=an+bn, где n=3; 4; 5 и т.д.

Напомним основные характеристики плоских треугольников [1, c. 50]. Во первых – это размеры сторон. Треугольник существует тогда, когда a<(b+c); b<(a+c); c<(a+b). Во вторых – сумма углов треугольника равна 180°, против большего угла в треугольнике лежит большая сторона и наоборот.

Существует три вида треугольников. Если не известны значения углов, а только сторон, то с помощью теоремы косинусов определяем вид треугольника:

- остроугольный – все углы меньше 90°,

- прямоугольный – в треугольнике один угол равен 90°,

- тупоугольный – в треугольнике один угол >90°.

И наконец, треугольники обладают таким свойством, как подобие.

Треугольник является «первокирпичиком» каждого уравнения

an+bn+cn+…+tn=xn,  где n=2; 3; 4; 5 и т.д.

Рассмотрим графический способ построения такого уравнения с n=2. Если взять любой прямоугольный треугольник, то квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

(AB)2=(AC)2+(BC)2

 

 Графическое построение уравнения с n=2

 Рис. 1. Графическое построение уравнения с n=2

Затем на катете АС рис. 1 строим новый прямоугольный треугольник АDС, в котором АС является гипотенузой, тогда  (AB)2=(AD)2+(DC)2+(BC)2.

Поступив так же с катетом ВС, будет верно

(AB)2=(AD)2+(DC)2+(CE)2+(BE)2

Так можно продолжать сколько угодно долго.

Каждое уравнение такого вида можно изобразить графически. Это будет отрезок х, концы которого соединены «определенной ломаной линией» с ребрами a, b, c, d и т.д.

Рассмотрим простую задачу на построение.

Дан отрезок АВ длинной 10 см. Необходимо соединить точки А и В ломаной линией с ребром равным 1 см при помощи обычного ученического треугольника, таким образом, чтобы отрезок и ломаная линия описывались уравнением 121 + 122 + 123 + 124 + … + 12100 = (АВ)2.

Ученический треугольник должен быть таким, у которого нулевое деление шкалы совпадает с вершиной прямого угла.

Для удобства дадим названия катетам треугольника – катет шкалы и свободный катет. Построение можно выполнить, как минимум, двумя способами.

Первый способ – прямое построение (прямое изображение).

Строить начнем с точки В. Совместим точку шкалы с делением в 1 см с точкой В, а свободный катет направим так, чтобы он проходил через точку А. Отметим точку, в которой оказалась вершина прямого угла треугольника. Получим точку С99 (рис. 2), расстояние от нее до точки А будет равно √99 – согласно теоремы Пифагора. Продолжим построение, беря теперь за исходную точку С99, получаем точку С98. АС98 будет равно √98.

 график

Рис. 2 Прямое построение ломаной линии

Из условия следует, что длина ломаной линии в сумме составляет 100 см. Будем продолжать построение до тех пор пока не доберемся до точки С1. Если мы все правильно выполним, то точка С1 будет находится от точки А на расстоянии 1 см и на расстоянии 1 см от точки С2 по условию построения. АС2 будет равно √2. Построение окончено. Ломаная линия будет представлять собой ломаную спираль вокруг точки А.

Второй способ – «микс»-построение («микс»-изображение). Это чередование прямого и перевернутого построения (изображения).

Сделав первый шаг прямым построением, второй делаем перевернутым построением. Для этого, перевернув треугольник, на катете шкалы напротив деления в 1 см делаем отметку. Совмещаем эту отметку с точкой С99, свободный катет направляем так чтобы он проходил через точку А, получим точку С98. Будем производить построение с пошаговым чередованием. На рис. 3 показано такое построение ломаной линии с ребром в 2 см. Ломаная линия с пошаговым чередованием с ребром в 1 см будет иметь аналогичный вид, что и с ребром в 2 см, но изображение её при данном масштабе не будет иметь такой наглядности..

 

график 

Рис. 3. «Микс»-построение ломаной линии       

При данном способе построения возможно множество вариантов. Чередование может быть как пошаговым, так и по несколько шагов. Но какой бы способ вы не избрали, при построении с ребром в 1 см, точка С1 всегда будет находиться на расстоянии в 1 см от точки А.

Задание выполнено.

Возможно ли такое построение, если АВ и единицу взять в третьей степени, в четвертой и т.д.. Да возможно. Покажем, что существуют треугольники, для которых выполняется равенство (AB)n=(AC)n+(BC)n, где n=3; 4; 5; 6; и т.д.

Сначала рассмотрим это на примере равнобедренных треугольников.

Построим равносторонний треугольник АВСпр (где Спр – Спредел), стороны которого равны, например, 10 см (рис. 4). Из вершины Спр опустим высоту СпрС1. Она разделит отрезок АВ на два равных отрезка a1 и b1 по 5 см. Впишем в треугольник АВСпр равнобедренный прямоугольный треугольник АВС2, не будем уточнять, как мы это сделали. Угол АС2В прямой. Обозначим катеты АС2 – b2, ВС2 – a2, гипотенуза АВ – с.

 

график 

Рис. 4. Построение равнобедренных треугольников, для которых верно cn=an+bn

Согласно теоремы Пифагора с222+ b22=a2*a2+b2*b2. Умножим это равенство на с:

c3 = a2 * a2 * c + b2 * b2 * c                           (1)

Рассмотрим произведение a2 * a2 * c. Если извлечь из него корень кубический, то мы получим некоторое число a3. Оно будет больше a2, но меньше с. Заменим произведение a2 * a2 * c  на a33, аналогично произведение b2 * b2 * c  – на b33, будем иметь

c3= a33+ b33                                                    (2)

Поскольку a2=b2, то a3= b3.

Перемещая точку С2 по высоте СпрС1 вверх, мы попадем в точку С3, которая находится от точки А на расстоянии b3, а от точки В на расстоянии а3. У нас образовался равнобедренный треугольник АВС3, для которого справедливо следующее выражение

(AB)3=(AC3)3+(BC3)3.

Умножим выражение 2 на с, получим

c3*c= a33*c+ b33*c, но a33=a2*a2*c, b33=b2*b2*c, тогда

c4 = a2 * a2 * c * c + b2 * b2 * c * c

Извлекая корень четвертой степени из a2 * a2 * c * c, получим некоторое число а4. Оно будет больше а2, больше а3, но меньше с.

Так мы можем найти месторасположение точки С4. Она будет находится на высоте СпрС1 выше точки С3.

У нас получится равнобедренный треугольник АВС4 для которого верно будет следующее утверждение (AB)4=(AC4)4+(BC4)4

По такому принципу можно построить равнобедренный треугольник для которого выполняется равенство

(AB)n=(ACn)n+(BCn)n, где n=3; 4; 5; 6 и т.д.

Проведя несложные вычисления, можно определить месторасположение точки Сn на высоте C1Cпр в нашем конкретном случае при различных значениях n:

С1С2 = 5 см

АС2 = ВС2 = 5 * √2 см

n = 2

С1С3 ≈ 6,164 см

АС3 = ВС3 ≈ 7,937 см

n = 3

С1С4 ≈ 6,761 см

АС4 = ВС4 ≈ 8,409 см

n = 4

С1С5 ≈ 7,126 см

АС5 = ВС5 ≈ 8,705 см

n = 5

С1С6 ≈ 7,373 см

АС6 = ВС6 ≈ 8,909 см

n = 6

С1С7 ≈ 7,552 см

АС7 = ВС7 ≈ 9,057 см

n = 7

С1С8 ≈ 7,687 см

АС8 = ВС8 ≈ 9,17004 см

n = 8

С1С9 ≈ 7,792 см

АС9 = ВС9 ≈ 9,25875 см

n = 9

С1С10 ≈ 7,878 см

АС10 = ВС10 ≈ 9,33033 см

n = 10

По числовым значениям видно, как изменяется плотность результатов, рассматривая их при возрастании n с 2 до 10. Трудно себе представить, какова будет плотность результатов при сотых значениях n, при тысячных, при миллионных.

Умножая выражение 1 каждый раз на с, а затем извлекая корень соответствующей степени из каждого слагаемого, мы будем получать числа an и bn, которые будут всегда меньше с, сколько бы раз мы не производили это действие.

С увеличением n, точка Сn будет подниматься по высоте СпрС1 вверх, приближаясь к точке Спр как угодно близко. Но Сn никогда не совместится с точкой Спр.

Из вышеизложенного делаем вывод, что существуют равнобедренные треугольники, для которых верно

сn = 2 * an       n = 2; 3; 4; 5 и т.д.

Учитывая подобие треугольников, утверждаем, что прототипом каждого такого треугольника является треугольник со сторонами 1; 1 и корень из 2, n=2; 3; 4; 5 и т.д. Выбирать единицу измерения, увеличивать или уменьшать в несколько раз эти значения каждый волен себе сам.

Теперь рассмотрим вариант, когда меньшие стороны треугольника имеют разные размеры. Существуют ли такие из них, для которых верно

аn + bn = cn        n=3; 4; 5 и т.д.

Обратим внимание на рис. 5. На кривой второго порядка АС2В возьмем произвольную точку C'2, которая не совпадает с точкой С2, и соединим ее с точками А и В. Получим прямоугольный треугольник AC'2B, у которого один катет будет меньше другого, например, a'2<b'2. По теореме Пифагора: c2=(a'2)2+(b'2)2= a'2* a'2+ b'2* b'2. Умножаем обе части на с:

c3=a'2* a'2*c+ b'2* b'2*c        (3)

Извлечем корень кубический из каждого слагаемого, получим некоторое значение a'3 и b'3. Поскольку  a'2<b'2,то и a'3<b'3, и в то же время a'3 и b'3 будут меньше с. Запишем выражение 3 в следующем виде:

c3=(a'3)3+(b'3)3.

Из точек А и В опишем дуги с радиусами a'3 и b'3 до их пересечения, получим точку C'3. Эта точка C'3 будет находиться справа от высоты С1Спр, между дугами АС2В и АСпрВ. Соединим точку C'3 с точками А и В, получим треугольник AC'3B, для которого будут выполняться все вышеперечисленные условия. У этого треугольника (AB)3=(AC'3)3+(BC'3)3. Так можно построить треугольник и при других значениях n.

Треугольники, у которых меньшие стороны не равны, но выполняется условие cn = аn + bn, n=3; 4; 5 и т.д. – существуют.

Из всего вышеизложенного следует, что, если на отрезке с в любом месте поставить точку, то она разделит его на две части а1 и b1, и будет верно с = а1 + b1. Умножим обе части на с, получим с2 = а1 * с + b1 * с. Это выражение эквивалентно формуле определяющей теорему Пифагора с2 = а1 * с + b1 * с = а22 + b22.

Попробуем построить ломаную линию с ребром в 1 см, соединяющую концы отрезка 10 см таким образом, чтобы они описывались уравнением

103=113+123+133+143+…+110003

Выполним первый шаг. Нам нужно построить треугольник со сторонами 10; 1 и Корень из 999. Следующий треугольник будет иметь стороны

. . . Корень из 999; 1 и корень

Будем продолжать построение, пока не доберемся до точки С1, которая будет находиться от точки А на расстоянии в 1 см. И на таком же расстоянии от точки С2. Расстояние от точки С2 до А будет равно корень. Построение будет окончено.

Назовем полученную ломаную линию – ломаной третьего порядка. Вычислив значение сторон треугольников, получающихся при построении, легко убедимся, что треугольники с такими параметрами существуют. Полученная ломаная третьего порядка с ребром в 1 см будет иметь в сумме длину 10 м. Из этого следует, что в начале своего построения она будет проходить, условно говоря, над ломаной второго порядка с ребром в 1 см, в противном случае построение будет закончено с количеством ребер меньше 100, что противоречит условию. Ломаная четвертого порядка с ребром в 1 см в начале пути будет проходить, условно говоря, над ломаной третьего порядка. Не прибегая к вычислениям, можно смело утверждать, что

√99 < Корень из 999 <  и т.д.

Если строить для каждого случая ломаную с ребром в 2 см, получим

√96 < Корень из 992 <корень.

В конце построения ломаной четвертого порядка с ребром в 1 см, будет получаться равнобедренный треугольник со сторонами 1; 1 и корень. В конце построения ломаной n-ого порядка – равнобедренный треугольник со сторонами 1; 1 и корень из 2, о чем мы уже говорили выше.

Делаем вывод. Треугольники для которых верно an+bn=cn, где n=2; 3; 4; 5 и т.д., существуют. Если треугольники существуют, то и существуют кривые второго, третьего, четвертого, n-ого порядка, соединяющие концы отрезка с. Они имеют форму, при которой все их точки находятся от концов отрезка с на таком расстоянии a и b, что выполняется условие

an+bn=cn     n = 2; 3; 4; 5 и т.д.

Возьмем отрезок АВ длиной 10 см (рис. 5), соединим его концы кривой второго порядка. Для этого разделим его пополам АС1 = ВС1 = 5 см, затем опишем дугу радиусом 5 см и центром в С1. Это и будет кривая второго порядка соединяющая концы отрезка АВ. Все ее точки находятся от точек А и В на таком расстоянии, когда выполняется условие (AB)2=a2+b2.

 график 

Рис. 5. Границы кривых второго и n-ого ворядков

После этого опишем дуги радиусом 10 см с центрами в точках А и В до их пересечения в точке Спр. Точки Спр и С1 соединим, обозначим точку С2, точку пересечения прямой СпрС1 с кривой второго порядка. Между кривыми АС2В и АСпрВ и будут находиться кривые третьего, четвертого, пятого и т.д.  порядка. Будет выполняться условие

(AB)n=an+bn      n = 3;4; 5 и т.д.

Для прямой АВ выполняется условие

(AB)1=(AC1)1+(BC1)1

АВ – «кривая» первого порядка.

При больших значениях n кривые n–го порядка будут приближаться к кривой АСпрВ как угодно близко, но никогда ее не коснуться.

Кривую n-го порядка можно рассматривать как кривую состоящую из двух частей – одна часть от точки А до точки Сn – пересечение кривой с С1Спр, вторая от точки Сn до точки В. Каждая ее часть будет зеркальным отображением другой по линии С1Спр.

Как видно из рисунка при больших значениях n  будет более явно выражена «угловатость» перехода, назовем это так, по линии С1Спр. Кривой n-го порядка можно соединить концы любого отрезка с.

Следует отметить важную отличительную особенность кривой второго порядка в сравнении с ее более «высокими» соседями. При движении по кривой второго порядка, точка С2, соединенная с точками А и В, является вершиной большего угла образующихся треугольников. Величина его постоянна и равна 90°. Это не зависит от месторасположения точки С2 на кривой второго порядка.

Если же точки кривой третьего порядка, четвертого порядка и т.д.. соединять с точками А и В, двигаясь по кривой n-ого порядка от А к В, точка Сn будет также вершиной большего угла образующихся треугольников. Но значение величины большего угла будет меняться. Оно будет сначала уменьшаться, а затем расти. Когда точка Сn будет находиться вблизи точки А, угол С будет максимальным. Пределом его максимальной величины является 90°. Двигаясь далее, угол будет уменьшаться. Когда точка Сn будет находиться на линии С1Спр, значение величины угла будет минимально возможным для кривой данного порядка. После прохождения точкой Сn этого «математического Рубикона» значение величины угла будет расти. Вблизи точки В угол вновь будет максимальным с тем же самым пределом в 90°. Чем выше точка Сn будет находиться на отрезке С1Спр тем меньше будет минимально возможное значение величины  большего угла равнобедренного треугольника, для которого верно

cn=an+bn, где n=3; 4; 5 и т.д.

Для каждого n существует свое строго определенное значение минимально возможной величины большего угла. При неограниченном возрастании n угол будет уменьшаться, приближаясь к своему пределу – это 60°.

Взяв графическое решение уравнения с числом членов в одной части больше двух, могут возникнуть сомнения в том, что ломаная линия соединяющая концы отрезка АВ и являющаяся графическим решением уравнения, например, (AB)2=a2+b2+c2 подчиняется определенным законам, при данной степени – теореме Пифагора.

Концы отрезка АВ соединены ломаной линией из трех отрезков. Полученная фигура, в отличии от треугольника, фигура нежесткая. Она легко трансформируется, и ее форма может иметь множество вариантов, в то же время равенство (AB)2=a2+b2+c2  будет соблюдаться.

Но существует «определенная ломаная линия», назовем ее так, которая в данном случае подчиняется теореме Пифагора.

Пусть дано уравнение 132=122+a2+b2. Как мы поступаем при его решении? Переносим известные в одну сторону, неизвестные оставляем в другой

132-122=a2+b2

Выполняя это действие, мы аргументируем его так – существует прямоугольный треугольник с гипотенузой в 13 см, катетом в 12 см и катетом равным корень, вычислив, имеем 25=a2+b2.

В целочисленных значениях существует только один вариант прямоугольного треугольника с такими параметрами. Это гипотенуза – 5 и катеты равны 3 и 4.

Сам процесс решения вынуждает нас строить определенную ломаную линию подчиняющуюся определенным законам, в данном случае теореме Пифагора. Правда построить мы можем ее как прямым так и «микс»-способом.

Умножив левую и правую части уравнения 132=122+42+32 на одно и то же число, например на 4, можно наблюдать справедливость нескольких математических законов, которые не исключают друг друга. Это и умножение левой и правой части на  одно и тоже число а, представив 4 как 22, мы можем убедиться в соблюдении правил действий со степенями. Если записать его в виде (13*2)2=(12*2)2+(4*2)2+(3*2)2 и перед нами закон подобия треугольников в действии – мы увеличиваем стороны треугольников составляющих графическое решение данного уравнения в два раза. Это применимо ко всем уравнениям вида an+bn+cn+…+tn=xn  n = 2; 3; 4; 5 и т.д.

Рассматривая треугольник со сторонами 5, 4 и 3, можно сделать следующее заключение: квадрат любого числа оканчивающегося на 5 или 0 можно представить в виде суммы двух квадратов в целочисленном варианте.

При разложении такого числа на сомножители, его можно представить в виде m*5,  где m  - некоторое целое число. Но 5 – это гипотенуза знаменитого Египетского треугольника с катетами 3 и 4.

Утверждать, что (m*5)2 будет равно сумме квадратов двух целых чисел, одно и то же, что и говорить, что существует прямоугольный треугольник со сторонами – гипотенузой m*5 и катетами а и b.

Учитывая свойство подобия треугольников, имеем a=m*3 и b=m*4 и тогда (m*5)2=(m*3)2+(m*4)2.

Такими же свойствами обладают целые числа кратные 13. А также множество других чисел, которые кратны большему числу из так называемых «Пифагорийских» троек [2, с. 14]

(m*13)2=(m*12)2+(m*5)2

В своей книге «Великая теорема Ферма» Саймон Синг говорит, что с возрастанием чисел находить «Пифагорийские» тройки становится все труднее и труднее. Это не совсем верно. «Пифагорийские» тройки – это не «математическая случайность» на просторах натурального ряда. В математике всё, в том числе и «Пифагорийские» тройки подчиняются определенным правилам и законам.

Покажем простой способ нахождения таких чисел. Для квадрата любого нечетного натурального числа, начиная с 3, существует равная ему (квадрату) разница квадратов двух чисел, стоящих в натуральном ряду по-соседству. Квадраты двух соседних натуральных чисел отличаются на сумму этих же чисел. Пусть k – любое натуральное число, тогда

k2 – (k-1)2 = k2 – k2 + 2k – 1 = 2k - 1 = k + (k-1)

Проверить это можно и другим способом. Квадрат любого натурального числа k равен удвоенной сумме чисел от единицы до k-1 плюс само число k. Тогда k2 будет равно 2*(1+2+3+…+(k-2)+(k-1)) + k.

(k-1)2 будет равно 2*(1+2+3+…+(k-2))+(k-1). Вычтем из первого второе, получим

2*(k-1)+k-(k-1)=(k-1)+k.

Сумма k + (k-1) – всегда число нечетное. Берем любое натуральное нечетное число, возводим его в квадрат, а результат, который тоже будет нечетным, делим на 2. Получим два одинаковых числа плюс единицу в остатке. Добавим эту единицу к одному из них, получим два натуральных числа, отличающихся друг от друга на единицу. Разница квадратов этих чисел будет равна квадрату взятого нами нечетного числа. На основании этого можно утверждать, что существуют прямоугольные треугольники в целочисленном значении сторон, в которых меньший катет может равняться любому нечетному натуральному числу каких-то единиц длины. Если взятое число непростое, а  составное, кроме того, что оно будет иметь свой эксклюзивный вариант треугольника, оно может является стороной другого прямоугольного треугольника. Так, число 9 является одним из чисел следующей «Пифагорийской» тройки: 41, 40 и 9. Кроме этого, этому числу может быть равен катет треугольника со сторонами 9, 12 и 15, однако этот треугольник подобен треугольнику со сторонами 3, 4 и 5. Возьмем число 65. Эксклюзивный вариант – 2113, 2112 и 65. Другие варианты – 65, 60, 25; 169, 156, 65 – подобие 13, 12 и 5; 65, 52, 39 – подобие 3, 4 и 5. 

Совокупность свойства разности квадратов двух соседних натуральных чисел, равняться их сумме, и возможности представить любое натуральное нечетное число в виде суммы двух натуральных чисел, отличающихся на единицу, позволяет легко находить три натуральных числа, для которых будет верно следующее утверждение с2 = а2 + b2. Рассчитывать  на то, что такой способ поиска трех натуральных чисел «сработает» при n=3, 4, 5 и т.д. не приходиться.

Это, и показанное существование треугольников, для которых верно cn = an + bn, где n=3, 4, 5 и т.д., позволяют нам по иному взглянуть на Великую теорему Ферма.

Считается, что единого способа решения уравнений вида an+bn+cn+…+tn=xn, где n=2; 3; 4; и т.д. – нет. Но если взять и изобразить решение таких уравнений графически, то перед нами будет картина, принцип изображения которой един для всех уравнений такого типа. Это будет отрезок х, концы которого будут соединены определенной ломаной линией с ребрами a, b, c, . . ., t.

Для пошагового построения определенной ломаной линии используется треугольник у которого большая сторона в n-ой степени равна сумме n-х степеней двух других сторон.

Изображение может быть выполнено как прямым, так и «микс»-способом.

На этом можно бы и поставить точку. Но есть один вопрос, который может возникнуть в процессе обсуждения данной темы. Это вопрос о существовании многих треугольников, которым мы  уделяли внимание выше. Согласно Великой теоремы Ферма целочисленных значений выражение cn=an+bn, где n=3; 4; 5 и т.д., не имеет. То есть суждение, что треугольники со сторонами a; b и с, для которых справедливо cn=an+bn, где n=3; 4; 5 и т.д., существуют – неверно. Фигуры с такими параметрами незамкнуты. Треугольник же – фигура замкнутая. Прямоугольные треугольники, в этом смысле, менее уязвимы. Среди них есть множество, для которых можно применить теорему Пифагора, нисколько не сомневаясь при постановке знака равно. Рассмотрим один частный случай. Возьмем равнобедренный прямоугольный треугольник со сторонами a; b и с. Согласно свойства подобия треугольников – он подобен треугольнику с параметрами 1; 1 и √2. Появлению числового значения √2, предшествовали печальные события, которые бросают тень на самого Пифагора. [2, с. 22] Существует легенда, согласно которой один из учеников Пифагора, вычисляя значение √2, пришел к выводу, что это значение не является ни целым числом, ни дробью, как было принято считать в то время. Высказывание о появлении нового вида чисел, которые мы сейчас называем иррациональными, стоило ученику Пифагора жизни. Пифагор, как гласит легенда, приказал его утопить.

А теперь зададим себе вопрос – существует ли треугольник с параметрами 1; 1 и √2?  Описывая, например, график логарифмической функции, мы говорим, что она подходит как угодно близко к оси игрек, но не касается её, что верно. Утверждение существования равнобедренного прямоугольного треугольника подразумевает существование замкнутой фигуры со сторонами 1; 1 и √2, что неверно, поскольку значение √2 - число иррациональное. Не нарушаем ли мы «Математическую конституцию» такими суждениями, ведь расстояния в обоих случаях примерно равные.

Библиографический список:

1. Сингх С. Великая теорема Ферма. — МЦНМО, 2000. — 288 с.
2. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М, «Наука», 1974, 832 с.




Комментарии пользователей:

Оставить комментарий


 
 

Вверх