Публикация научных статей.
Вход на сайт
E-mail:
Пароль:
Запомнить
Регистрация/
Забыли пароль?
Научные направления
Поделиться:
Разделы: Математика
Размещена 04.09.2020. Последняя правка: 17.09.2020.
Просмотров - 193

Представление (p – 1) – метода Полларда факторизации натуральных чисел на основании множества вычетов

Усов Геннадий Григорьевич

к.т.н.

МГУ, 1972

пенсионер

Аннотация:
В статье перечислены задачи, необходимые для уточнения основных параметров (p – 1) – метода Полларда. Изменена формула метода с целью уменьшения времени определения делителей. Показано соотношение сомножителей произведения М и делителей числа n. Разработан алгоритм определения границы В1 и определения степеней сомножителей. Получен обобщённый (p – 1) – метод Полларда.


Abstract:
The article lists the tasks required to refine the main parameters (p - 1) - Pollard's method. The formula of the method has been changed in order to reduce the time for determining the divisors. The ratio of the factors of the product M and the divisors of the number n is shown. An algorithm for determining the B1 boundary and determining the degrees of the factors has been developed. The generalized (p - 1) - Pollard method is obtained.


Ключевые слова:
факторизация натуральных чисел; простое число; вычеты; (p – 1) – метод Полларда

Keywords:
factorization of natural numbers; Prime number; deductions; (p - 1) - Pollard's method


УДК 511

Введение

(Р – 1) – метод Полларда, который применяется при факторизации натуральных чисел, заключается в следующем [1]:

пусть n - факторизуемое число, и необходимо определить его простой делитель р,   1 < p < n.

Число (р – 1) можно разложить на простые сомножители:

     (p – 1) = q1^r1 * q2^r2 * q3^r3 *…. * qt^rt .                       (1)

Идея (p – 1) – метода Полларда состоит в том, чтобы собрать в виде произведения М как можно большего числа степеней простых сомножителей dj^rj различных чисел (d – 1), где d – простое число, так, чтобы М делилось на каждый сомножитель qi^ri, входящий в разложение (1), а именно:

     M = M(B1) = d1^r1 * d2^r2 *  d3^r3 * … *  dk^rk.           (2)

Тогда искомый делитель p определяется по следующей формуле:

     p = н.о.д. (n, a^M - 1)                                                             (3)

У метода есть две стадии.

На первой стадии (p- 1) – метода Полларда [1] определяется граница B1, которая ограничивает величину сомножителей:

     qi^ri <  B1.

При большом значении B1 число M(B1) может оказаться чрезвычайно большим (сравнимо с B1!). Поэтому лучше разбить полное произведение M(B1) на k блоков, состоящих из примерно одинакового числа сомножителей. Далее вычисляется число Mi как произведение простых чисел блока i, где 1 <= i <= k.

После этого определяется:

     M(B1) = M1 * M2 * ... * Mk,                                                 (4)

и  вычисляется a^M(B1) как предел последовательности { ai }, где a1 = a^M1 (mod n), а последующие ai вычисляются по формуле:

     a(i+1) = ai^M(i+1)  mod n, 1 <= i < k.                                    (5)    

В статье рассматриваются несколько задач, необходимых для представления (р – 1) – метода Полларда на основании множества вычетов.

Актуальность

В настоящее время (p – 1) – метод Полларда не является распространённым при факторизации больших чисел. В основном этот метод применяется для определения малых (гладких) делителей числа n. Вместе с тем, в существующих публикациях (p – 1) – метод Полларда показан практически в одном и том же виде. При этом не определены основные параметры метода:

- граница В1;

- степени сомножителей;

- соотношение сомножителей произведения М и делителей числа n (а не наоборот).

Кроме того, метод рассматривает только выражение (a^M – 1), а не рассматривает другие выражения, например, (a^M – 2).

Решение данных вопросов в рамках (p – 1) – метода Полларда позволит несколько упростить поиск малых делителей.

Цели и задачи

Целью данной работы является решение нескольких задач по определению основных параметров (p – 1) – метод Полларда.

Задача 1. Выбор сомножителей числа М с помощью множества вычетов.

Поскольку в методе основной упор делается на выражение (a^M – 1), которое определяет наличие делителей, то появляется необходимость рассмотреть все числа (a^M – 1), делители которых являются делителями числа n.

Допустим, что имеется нечётное число n = x * y, где x и y – простые числа, и а = 2. Полученные в дальнейшем выводы статьи будут справедливы для любого количества простых сомножителей и для других оснований степени a.

Если рассматривать значения m в интервале 0 <= m < n, то по формуле:

     2^m (mod n),                                                                         (6)

получается множество вычетов Zn по mod n, которое содержит n элементов (вычетов), где n - порядок множества Zn.

Если рассматривать значения m в интервале 0 <= m < М по формуле (6), то получается расширенное множество вычетов ZMn по mod n, которое содержит M элементов (вычетов), где M - порядок множества ZMn.

Множество Zn включает в себя несколько одинаковых групп вычетов Un, порядок которых определим как un, при этом:

     2^un = 1 mod n.

Кроме того, множество Zn включает в себя ещё множество вычетов U1n, которое состоит из начальных элементов группы вычетов Un. Порядок множества U1n обозначим как s, который можно определить:

     s = n mod un.

Тогда количество групп Un во множестве Zn будет равно w = (n – s) / un.

Такие же множества вычетов можно определить для любых натуральных чисел. Для простых чисел s = 1.

В статье будут рассматриваться как порядковые номера вычетов во множестве вычетов Zn и в расширенном множестве вычетов ZMn, так и значения этих вычетов. Кроме того, будут рассматриваться вычеты в группе Un и величина un.

 

Если анализировать вычеты множества Zn, то оказывается, что во множестве Zn есть несколько вычетов qi и qj, для которых справедливо деление нацело:

     a = (qi -1)/x   и   b = (qj – 1)/y.

Данные вычеты имеют некоторую последовательность в рамках расширенного множества ZMn.

Например, для множества вычетов Z35 (35 = 5 * 7) разности вычетов и 1:

     (q0-1), (q3-1), (q6-1), (q9-1), (q12-1), …

делятся на 7 (шаг 3 = u7), а разности вычетов и 1:

     (q0-1), (q4-1), (q8-1), (q12-1),…

делятся на 5 (шаг 4=u5).

А для множества вычетов Z91 (91 = 7 * 13) разности вычетов и 1:

     (q0-1), (q3-1), (q6-1), (q9-1), (q12-1), …

делятся на 7 (шаг 3=u7), а разности вычетов и 1:

     (q0-1), (q12-1),…

делятся на 13 (шаг 12=u13).

При построении данных последовательностей учитывалось то, что если 0 разделить на целое число (кроме 0), то получается целое число 0.

Если номера вычетов в последовательностях для разных делителей совпадают, то qi = 1. То есть, для множества Z35 q0 = q12 = 1, а для множества Z91 q0=q12=1. Тогда для группы U35 величина u35 = u5 * u7 = 12, а для группы U91 величина u91 = u7 * u13 = 12.

Если количество делителей числа n равно 2, и эти делители не равны друг другу, то:

     un = н.о.к (ux * uy).

Теперь необходимо определить число, которое делится хотя бы на одно из чисел 7, 5 и 13. Для этого достаточно перемножить значения шагов для последовательностей этих чисел:

     V = 3 * 4 * 12.

Но поскольку 12 = 3 * 4, то можно упростить число V:

     V = 3 * 4.

Можно добавить ещё числа. Для числа 3 шаг будет u3=2, для числа 11 шаг будет u11=10, для числа 17 шаг будет u17=8, для числа 19 шаг будет u19=18, для числа 23 шаг будет u23=11. Тогда для определения простых чисел от 3 до 23 значение V будет иметь вид:

     V = 3 * 4 * 2 * 10 * 8 * 18 * 11.

Но 10 = 2 * 5, 18 = 9 * 2, 8 = 2 * 4.

Упрощаем:

     V = 3 * 4 * 2 * 5 * 9 * 11.

Поскольку делители, определяемые шагом 2, будут определены шагом 4, а определяемые шагом 3 будут определены шагом 9, то окончательное значение числа V будет:

     V = 2^2, 3^2, 5, 11.

Здесь есть очень важный момент: шаг 4 справедлив для делителей, которые определяют шаг 2, а шаг 9 справедлив для делителей, которые определяют шаг 3.

Поэтому шаг a^k определяет делители для всех шагов:

     a^r, где 1 <= r < k

Можно продолжить процесс формирования числа V для определения различных простых делителей до некоторой границы В1. В результате получаем произведение простых чисел в разной степени. Что совпадает с формулой (3), и V = M.

Таким образом, с помощью теории вычетов подтверждена формула определения произведения М для первой стадии (р – 1) - метода Полларда.

Исследования показали, что если ux != uy, то:

     un = ux * uy,

а иначе un = ux = uy.

Кроме того, если после определения произведения М получается:

     2^M mod n = 1,                                                                      (7)

то получается, что в составе произведения М есть сомножители, определяющие шаги для делителей числа n. Поэтому нужно уменьшать количество сомножителей произведения М до тех пор, пока выражение (7) будет отлично от 1. В качестве примера: для множества Z35:

     q12 = 2^12 mod n = 1.

 

Задача 2. Сомножители и делители.

Для каждого делителя p числа n есть некоторая последовательность вычетов с определённым шагом по номеру вычета. Каждый элемент этой последовательности qi равен:

     qi = k * p +1, где k >= 0.

Все эти последовательности начинаются с некоторого начального вычета, который назовём шагом для конкретного делителя p. Дальнейшие вычеты последовательности определяются с помощью шага по номеру вычетов.

Можно рассмотреть обратную задачу, которая заключается в определении делителей для конкретного шага. Например:

- при шаге 2 определяется делитель 3;

- при шаге 3 определяется делитель 7;

- при шаге 4 определяется делитель 5, а также делитель 3;

- при шаге 5 определяется делитель 31;

- при шаге 6 не определяются новые делители, а определяются делители 3 и 7;

- при шаге 7 определяется делитель 127;

- при шаге 8 определяется делитель 17, а также делители 3 и 5;

- при шаге 9 определяется делитель 73, а также делитель 7;

- при шаге 10 определяется делитель 11, а также делители 3 и 31;

- при шаге 11 определяются делители 23 и 89;

- при шаге 12 определяется делитель 13, а также делители 3, 5, 7;

- при шаге 13 определяется делитель 8191;

- при шаге 14 определяется делитель 43, а также делители 3 и 127;

- при шаге 15 определяется делитель 151, а также делители 7 и 31;

- при шаге 16 определяется делитель 257, а также делители 3, 5. 17;

- при шаге 17 определяется делитель 131071;

- при шаге 18 определяется делитель 19, а также делители 3, 7, 73;

- при шаге 19 определяется делитель 524287;

- при шаге 20 определяется делитель 41,  также делители 3, 5, 11, 31;

- при шаге 21 определяется делитель 337, а также делители 7 и 127;

- при шаге 22 определяется делитель 683, а также делители 3, 23, 89;

- при шаге 23 определяются делители 47 и 178481;

- при шаге 24 определяется делитель 241, а также делители 3 5, 7, 13, 17;

- при шаге 25 определяются делители 601 и 1801, а также делитель 31;

- при шаге 32 определяется делитель 65537, а также делители 3, 5. 17, 257;

- при шаге 64 определяются делители 641 и 6700417, а также делители 3, 5. 17, 257, 65537;

- при шаге 128 определяются делители 274177 и 67280421310721, а также делители 3, 5. 17, 257, 65537, 641, 6700417;

и т.д.

Если необходимо найти делители, меньших 23, то достаточно только 8 шагов (2, 3, 4, 8, 10, 11, 12, 18). Или 2^3, 3^2, 5, 11, то есть половина всех простых чисел до 23.

Однако в (р – 1) - методе Полларда предполагается включить все простые числа в виде сомножителей. В результате половина сомножителей, формирующих произведения М для поиска делителя в рамках (р – 1) - методе Полларда, не определяют  этого делителя.

Если анализировать шаги 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, то можно сказать, что сомножитель qi^ri определяет делители чисел (2^( qi^rt) – 1), где 1 <= t <= i.

 

Задача 3. Определение границы В1.

В (р – 1) - методе Полларда при факторизации чисел необходимо определять границу В1.

Граница В1 необходима для того, чтобы собрать в рамках произведения М все возможные сомножители, которые могут встретиться среди сомножителей числа (p – 1). А возможные сомножители определяют возможные шаги последовательностей вычетов для различных делителей, среди которых будет делитель p.  

Один из двух простых делителей меньше Q:

     p < Q = sqrt(n).

Из примера задачи 2 видно, что шаги для делителя p всегда меньше р. Поэтому:

      В1 = Q – 1.

Если число Q очень большое, то В1 выбирается из возможности компьютера перемножить в разумное время множество простых чисел. Тогда:

      В1 < < Q.

Пример в задаче 2 показал, что при малых сомножителях определяются очень большие делители. При этом возможен вариант, когда при небольшой границе В1 могут быть определены простые делители, превышающие Q.  

Поэтому необходимо более строгое определение сильных простых чисел применительно к (р – 1) - методу Полларда.

Расчёты показали, что программы быстрее определяет делитель, если произведение М не превышает значение Q: чем больше произведение М превосходит значение Q, тем длительнее будет процесс определения делителей.

 

Задача 4. Определение степени сомножителя.

Возможны три варианта выбора степеней сомножителей в зависимости от возможностей компьютера:

- выбирается максимальная степень сомножителей;

- выбирается максимальное количество сомножителей;

- выбирается среднее между предыдущими вариантами.

Наиболее удобным будет первый вариант, и это будет доказано в задаче 5.

Поскольку необходимо в произведении М собрать, по возможности, шаги для всех простых чисел, меньших В1, то при расчёте степеней сомножителей эти сомножители в степени превышать число В1.

Если сомножители должны быть равны или больше границы В1, то необходим алгоритм выбора степеней этих сомножителей.

Для начала определим степень числа 2. Для этого необходимо определить длину числа В1 в двоичной системе. Представим, что это будет число d. Тогда первым сомножителем будет число 2^(d + 1).

Однако, если нужно получить сомножитель 2^27, то вычисление этого сомножителя на ЭВМ займёт больше времени, чем вычисление сомножителя 2^32. Поэтому в качестве степеней сомножителей лучше рассматривать числа, равные 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, … и т.д., то есть числа вида 2^t. И сомножитель будет иметь вид

     2^(2^t),  где 2^(2^(t – 1)) =< B1, 2^(2^(t + 1)) >= B1.

Аналогично устанавливаются степени для остальных простых чисел.

 

Задача 5. Количество определяемых шагов.

Произведение М позволяет определить множество делителей (2), поскольку это произведение включает в себя множество шагов, для которых есть соответствующие делители. Чем больше определяется множество шагов при построении произведения М, тем больше будет множество делителей.

Определим количество шагов как S.

Если имеется сомножитель a1^k1, то этот сомножитель определяет S = k1 шагов.

Если имеются два сомножителя a1^k1 и a2^k2, то эти сомножители определяют:

     S = k1 + k2 + k1 * k2 шагов.

Если имеются три сомножителя a1^k1, a2^k2 и a3^k3, то эти сомножители определяют:

     S = k1 + k2 + k3 + k1 * k3 + k2 * k3 + k1 * k2  + k1 * k2 * k3 шагов.       (8)

Аналогично можно определить количество шагов S для любого числа сомножителей произведения М.

Рассмотрим вариант из 3-х сомножителей для двух случаев:

- k1, k2, k3 – максимальны;

- k1= k2 = k3 = 1.

Ясно, что наибольшее количество шагов можно получить тогда, когда значения k1, k2, k3 – максимальны.

 

Задача 6. Уточнение второй стадии (p - 1) – алгоритма Полларда.

В (р – 1) - методе Полларда имеет место вторая стадия, однако наличие такой стадии вызывает сомнения.

Вторая стадия (p - 1) – алгоритма Поллардапредполагает, что существует только один простой множитель p числа n − 1, значение которого больше границы B1 и меньше границы В2 [1].

На этой стадии определены следующие операции:

1. Определяются несколько последовательных простых чисел в диапазоне от В1 до В2.

2. Для каждого из этих чисел определяется вычет по модулю n с учётом первой стадии.

При этом не указана та граница по выбору сомножителей, когда надо переходить с первой стадии на вторую стадию метода. Ведь согласно определению метода поиск простых чисел для второй стадии начинается сразу за числом В1.

Как до границы В1, так и после границы В1 имеют место почти те же простые числа, и почти те же основания степени. Поэтому непонятно: почему в одном случае перемножаются несколько сомножителей, а в другом случае – рассматривается только один сомножитель. Кроме того, в первом случае н.о.д. считается для нескольких сомножителей, а во втором случае н.о.д. считается для каждого сомножителя.

 

Задача 7. Обобщение (p – 1) – метода Полларда.

(Р – 1) – метод Полларда факторизации натуральных чисел можно обобщить.

Вариант 1. Можно построить следующую последовательность выражений:

     2^М = 1 (mod n), 2^(М + 1) = 2 (mod n),

     2^(М + 2) = 2^2 (mod n),…, 2^(М + k) = 2^k (mod n).

Получается, что для каждого вычета можно найти делитель числа n, если отнимать от этого вычета (по mod n) значения, равные 2^k. Для этого необходимо к произведению М прибавить число k.

Поскольку у числа n два делителя, то при отнимании от произвольного вычета значения вида 2^k можно определить один из делителей.

Вариант 2. Если для одного из делителей x величина ux – четная, то получаем:

     m = ux/ 2,           (2^m +1) = t (mod n),             н.о.д.(n, t + 1) = x.

То есть, прибавляя 1 к вычету, можно получить число, кратное делителю.

Такие вычеты образуют последовательность с шагом, равным величине ux.

Аналогично предыдущему варианту, можно определить делители, если прибавлять к этим вычетам числа 2^k по mod n.

Задача 8. Изменение формул (р – 1) - метода Полларда.

Основной формулой (р – 1) - метода Полларда является формула произведения сомножителей (2).

Допустим, что для некоторого числа n определено произведение сомножителей М, которое позволяет определить делители с помощью формулы (3).

Согласно задаче 5 полученные сомножители определяют определённое множество шагов, которые, в свою очередь, определяют последовательности вычетов, которые, за минусом 1, кратны различным делителям. Среди этих делителей есть делитель (или оба делителя) числа n.

Если теперь произведение М умножить на различные сомножители, то всё равно в произведении М будет уже определён шаг для последовательности вычетов, связанной с одним из делителей числа n. Что позволяет определить делителя по формуле (3).

Теперь умножаем произведение М на уже имеющиеся сомножители таким образом, чтобы у всех сомножителей будет одна и та же степень, которая будет равна степени минимального простого числа, или числа 2. Тогда получаем:

     M = M(B1) = П(рi^r1 ∈ P) qi^r1, где r1 – степень числа 2. 

Или:                                        

     M = M(B1) = (П(рi ∈ P) qi) ^r1. 

Если обозначить М1 = (П(рi ∈ P) qi), то:

     M = M(B1) = М1 ^ r1. 

То есть, имеется произведение r1 произведений простых чисел от 2 до В1, и можно применить формулу (4) для нескольких блоков, каждый из которых будет произведение М1.

Таким образом, формулы (1) и (2) (р – 1) - метода Полларда можно изменить следующим образом:

     М1 = (П(рi ∈ P) qi)

     M = M(B1) = М1 ^ r1,     где 2 ^ r1 > B1

     a1 = a ^ M1 (mod n)                                                                      (9)

     a ^ M = a ^ (М1 ^ r1) = (a ^ М1) ^ r1 = a1 ^ r1 (mod n)   

     p = н.о.д. (n, a ^ M - 1) = н.о.д. (n, a1 ^ r1 - 1)

С помощью новых формул (9) значительно уменьшается время определения делителей числа n с помощью (р – 1) - метода Полларда.

 

Задача 9. Шаги двух делителей в произведении М.

В задаче 1 было показано, что, если в произведение М включены шаги для двух делителей (или нескольких делителей) числа n, то получим:

      a^M = 1 (mod n).

То есть, делители определить в данном случае невозможно.

Причём, это можно определить не перемножая всех простых чисел до В1. Как известно, для каждого блока вычисляется значение для нового основания степени по формулам (5) или (9). И если это значение равно 1, то вычисление по методу останавливается.

Здесь необходимо рассмотреть 2 варианта:

Вариант 1. Определять делители необязательно, так как (р – 1) - метод Полларда применяется для числа n только для того, чтобы определить: у числа n сильные простые делители или нет.

Поскольку 1 определена при небольшой границе В1 (или В2), то у числа n есть несильные простые делители, поэтому число n в дальнейшем не рассматривается.

Вариант 2. Необходимо определить делители.

Значение основания степени, равное 1, получается после вычисления в одном из блоков. Поэтому либо на один шаг ранее по формированию произведения М, либо в предыдущем блоке останавливается вычисление произведения М и определяется один из делителей.

При этом будет вариант, когда этих делителей нельзя будет определить по (р – 1) - методу Полларда. Это не получится в том случае, если у этих делителей один и тот же шаг по формированию последовательностей вычетов.

Например, один и тот же шаг, равный 2^8, есть у последовательностей вычетов для двух  простых чисел:  274177 и 67280421310721.


Задача 10. Определение сильных простых чисел применительно к (р – 1) - методу Полларда.

Существует определение сильного простого числа: простое число p будет сильным простым числом, если число (p – 1) имеет достаточно большие сомножители. Данное определение является основным для (p – 1) – метода Полларда.

В задаче 3 было показано, что при небольших сомножителях определяются очень большие делители. Рассмотрим пример 1:

есть простое число p = 67280421310721;

сомножители числа (p – 1): 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 5, 47, 373, 2998279;

сомножители числа (p + 1): 2, 3, 3, 109, 18401, 1863581.

По определению сильного простого числа данное число p является сильным простым числом по отношению к границе, например, В1 = 1000000.

Однако число р, как делитель некоторого числа n, определяется с помощью одного сомножителя: М = 2 ^ 8, не зависимо от величины 2-го делителя числа n..

Получается, что сильным простым числом применительно к (p – 1) – методу Полларда при определении границы В1 является такое простое число q, которое является делителем числа (2^ k – 1), где k – составное число, k > B1, и не существует числа k1, кратного k и k1 < k, такого, что q будет делителем числа (2^ k1 – 1).

Согласно этому простое число p = 67280421310721 из примера 1 не является сильным простым числом при определении границы, например, В1 = 1000000.

Рассмотрим пример 2: есть простое число р1 = 67280421310771 = p + 50.

Если перебирать сомножители числа (р1 – 1):

      2, 3, 5, 17, 19, 257, 27016669,

для определения произведения М, то окажется, что только при М = 67280421310770 число p1 является делителем числа (2^M – 1).

Поэтому, согласно новому определению, число p1 будет сильным простым числом при определении границы В1 = 1000000.

Таким образом, необходимо новое определение сильного простого числа для (p – 1) – метода Полларда:

сильным простым числом применительно к (p – 1) – методу Полларда при определении границы В1 является такое простое число q > B1, которое можно определить с помощью этого метода только тогда, когда в произведение М включены все сомножители числа (q – 1).

Была составлена программа на Python для определения не сильных простых чисел при определении границы В1.

Например, для границы В1 = 100000 не сильными простыми числами будут простые числа, большие 10000000:

22253377, 25781083, 97685839, 141512291, 160465489, 168410989, 199381087.

А для границы В1 = 1000000 не сильными простыми числами будут простые числа, большие 100000000:

823679683, 1021622741


Выводы

Применение множества вычетов к построению (p – 1) – метода Полларда факторизации натуральных чисел позволило несколько изменить представление о сильных простых числах.

Оказалось, что существующее определение сильных простых чисел p, для которых важно иметь большие сомножители числа (p – 1), не подходит для (p – 1) – метода Полларда.

Для (p – 1) – метода Полларда подходит другое определение сильного простого числа при определении границы В1, основанное на обязательном присутствии в произведении сомножителей М всех сомножителей сильного простого числа.


Научная новизна
 

Получено новое определение сильного простого числа применительно к (p – 1) – методу Полларда.

Изменена формула метода с целью уменьшения времени определения делителей.

Показано соотношение сомножителей числа М и делителей числа n.

Получены алгоритм для определения числа В1 и степеней сомножителей числа М при факторизации числа n.

Получен обобщённый (p – 1) – метод Полларда факторизации натуральных чисел.

Библиографический список:

1. Ишмухаметов Ш.Т. Методы факторизации натуральных чисел: учебное пособие / Ш.Т. Ишмухаметов.– Казань: Казан. ун. 2011.– 190 с.




Комментарии пользователей:

6.09.2020, 9:07 Усов Геннадий Григорьевич
Отзыв: Добавлена задача 8: Изменение формул (р – 1) - метода Полларда. Изменены аннотация и новизна.


14.09.2020, 16:36 Усов Геннадий Григорьевич
Отзыв: Добавлена задача 9: Шаги двух делителей в произведении М.


17.09.2020, 18:29 Усов Геннадий Григорьевич
Отзыв: Добавлена задача 10: определение сильных простых чисел применительно к (р – 1) - методу Полларда. Добавлены выводы. Проведено уточнение в задаче 3 и в научной новизне.


Оставить комментарий


 
 

Вверх