Публикация научных статей.
Вход на сайт
E-mail:
Пароль:
Запомнить
Регистрация/
Забыли пароль?
Научные направления
Поделиться:
Разделы: Математика
Размещена 17.09.2020.
Просмотров - 261

Приведение некоторых дифференциальных уравнений к уравнению Риккати

Санжак Владимир Леонидович

советник АЕ

Кибернетика

ГИП

Аннотация:
В работе представлена обзорная часть дифференциальных уравнений, которые могут быть переведены в уравнение Риккати или во взаимосвязанное с ним уравнение 2-го порядка. Также приведён пример решения уравнения 2-го порядка частного вида.


Abstract:
The paper presents an overview of the differential equations that can be translated into the Riccati equation or into a second-order equation associated with it. An example of solving a second-order equation of a particular form is also given.


Ключевые слова:
уравнение Риккати; дифференциальные уравнения 1-го и 2-го порядка; функции; нелинейные уравнения; частные решения

Keywords:
Riccati equation; differential equations of the 1st and 2nd order; functions; nonlinear equations; particular solutions


УДК 511

Введение.

Имеется много происходящих в природе процессов, которые можно описать через дифференциальные уравнения.

В работе предлагается рассмотрение некоторых видов дифференциальных уравнений, связанных с уравнением Риккати и взаимосвязанного линейного дифференциального уравнения 2-го порядка, у которого общего решения, в отличие от линейного уравнения 1-го порядка, нет. Имеется только много частных решений и методов перевода из одного вида дифференциального уравнения в другой, с возможностью облегчения решения.

Актуальность.

При решении космогонических задач было установлено, что многие процессы могут быть решены через дифференциальные(интегральные) уравнения 2-го порядка. Вполне возможно, что среди сил, взаимодействующих во вселенной, есть и те, что могут быть представлены дифференциальными уравнениями 2-го порядка. Было найдено, например, что у линейного уравнения 2-го порядка в общем случае решение расходится (как и наша вселенная).

Цели.

Найти пути подхода к решению дифференциальных уравнений 2-го порядка и ближайших к ним 1-го/3-го порядка.

Задачи.

Поиск решений дифференциальных уравнений с любыми независимыми функциями.

Новизна.

Рассматриваются разные преобразования некоторых уравнений в уравнение Риккати.

Результаты.

Представлено несколько уравнений, которые могут быть преобразованы в уравнение Риккати. 

Заключение.

Данное исследование может помочь в решение проблем, для описания которых может быть применено дифференциальное уравнения Риккати. 

Известно, что уравнение Риккати в общем виде:

       y’ + f1(z)y2 + f2(z)y + f3(z) = 0                                                                                       (1)

заменой  

        u = exp( ∫ f1(z)ydz )

приводится к линейному дифференциальному уравнению 2-го порядка ([1], гл.1, п.47):

       u” + g1(z)u’ + g2(z)u = 0                                                                                              (2)

где

            g1(z) = f2 – f1/ f1    ,    g2(z) = f1 f3

Функции  f1, f2, f3 считаем непрерывными дифференцируемыми функциями.

В первом пункте приведено несколько дифференциальных уравнений, которые могут быть переведены в известное уравнение Риккати. Во втором пункте приведено одно из частных решений  дифференциального уравнения 2-го порядка.

  1. К уравнению Риккати приводятся:
  • Нелинейное уравнение 1-го порядка

   Y’ + f1(z)cos(aY + f2(z)) + f3(z)sin(aY + f4(z)) + f5(z) = 0                                         (3)

где здесь и далее  a - const, а все fm – известные функции аргумента z .

Приведённое уравнение (3) к уравнению Риккати (относительно неизвестной функции T=exp(aiY) = eiay) приводится путём использования формулы Эйлера: exp(±iu)=cos u ± i∙sin u .

Получается:

T’ + (ai/2)[f1 exp(if2) - if3 exp(if4)]T2 + aif5T + (ai/2)[f1 exp( - if2) + if3 exp( - if4)] = 0

Имеется и более общее подобное нелинейное уравнение 1-го порядка:

Y’ + f1 cos(aY + f2) + f3 sin(aY + f4) + f5 cos2(aY/2 + f6) + f7 sin2(aY/2 + f8) +

+ f9 cos(aY/2 + f10) sin(aY/2 + f11) + f12 = 0

которое приводится к уравнению Риккати тем же способом, что и для уравнения (3), т.е. тоже заменой на T=exp(aiY).

 

  • Нелинейное уравнение 1-го порядка

Y’ + f1 tg(aY + b) + f2 ctg(aY + b) = 0

где  b – const,  путём

   W = ctg2(aY + b)

приводится (относительно неизвестной функции W ) к уравнению Риккати:

  W’ - 2af2W2 - 2a(f1 + f2)W - 2af1 = 0

 

  • Нелинейное уравнение 1-го порядка

   Y’ + f1 cos2(aY + f2) + f3 sin2(aY + f4) + f5 cos(aY + f6) sin(aY + f7) + f8  = 0

к уравнению Риккати – относительно неизвестной функции T=exp(2aiY) – приводится путём использования формулы Эйлера. В результате получаем

T’+(ai/2){f1 exp(2if2 )- f3 exp(2if4) - if5 exp[i(f6+ f7)]}T2+ai{f1+f3+(i/2)f5 exp[i(f6 - f7)] -

- (i/2)f5 exp[i(f7 - f6)]+2f8}T+(ai/2){f1 exp( -2if2)-f3 exp( -2if4)+if5 exp[-i(f6+f7)]} = 0

 

  •  Нелинейное уравнение 1-го порядка

Y’ + f1 tg(aY + b) + f2 cos(aY + b) + f3 sec(aY + b) = 0

приводится к уравнению Риккати – относительно неизвестной функции T=sin(aY+b) – путём умножения этого уравнения на cos(aY+b), в результате получим:

  T’-a(f2T2+f1T+f2+f3)=0

 

  • Нелинейное уравнение 2-го порядка

Y”+ f1 YY’+ f2 Y2+f3 Y’+ f4 Y+ f5 = 0

приводится к уравнению Риккати – для неизвестной, приведённой ниже функции  u – в случае  Y=q1u+q2 ,

где  q1  находится из уравнения

 

(q1’/q1)’+(q1’/q1)2 – (f1’/f1 - 3f2/f1)q1’/q1 - f4 - 2((f2 - f1’)/f1 - f3)f2/f1 -f1((f2 - f1’)/f12- f3/f1)’ = 0

 

А  q2  из

q2 = - 2q1’/(f1q1) + ((f2 – f1’)/f1 – f3)/f1

 

Теперь для неизвестной функции  u  уравнение Риккати будет

 

u’+ f1q1u2 = - f1exp(- ∫(f2/f1)dz)∫(f1q2q2’+ q2”+ f2q22+ f3q2’+ f4q2 + f5)exp(∫(f2/f1)dz)/(f1q1) dz

 

  • Линейное однородное дифференциальное уравнение 3-го порядка

Y’”+ f1(z)Y”+ f2(z)Y’+ f3(z)Y = 0

приводится к виду

(gU”)’+ wU = 0                                                                                                                   (4)

где

            U = y/p  ;        g = p3exp∫f1dz ;

  w = p3exp(∫f1dz)[f3 + f2(p’/p) + f1(p”/p) + p’”/p]

а функция  p= p(z) ищется из линейного дифференциального уравнения 2-го порядка:

p”+(2/3)f1 p’+(f2/3) p = 0      .

Уравнение (4) с помощью некоторого бесконечного ряда

R = ∫∫wdzdz+∫∫w(g-1∫∫wdzdzdz)dzdz+∫∫w[g-1∫∫w(g-1∫∫wdzdzdz)dzdzdz]dzdz+

+∫∫w{g-1∫∫w[g-1∫∫w(g-1∫∫wdzdzdz)dzdzdz]dzdzdz}dzdz+…              

можно понизить на один порядок, т.е. привести к линейному дифференциальному уравнению второго порядка:

(g/w)R”U”- RU’+R’U = 0               ,

которое, кстати,  можно перевести и в уравнение Риккати.

На основании свойств ряда R:

(R”/w)’ = R/g

можно видеть, что искомая неизвестная величина  U=R0 , где R0 – тоже бесконечный ряд, аналогичный ряду R, в случае замены в нём функции  w на  g-1 , a  g  на  -1/w .

 

  • Приведём ещё 2 уравнения, приводимые к уравнению Риккати:

a)      yy”+ f1 y'2 + f2 yy’+ f3 y2 = 0

получается при делении на y2.

 

b)      t’ + (f1(z)/cos t ) + f2(z)cos t = 0

получается при умножении на cos t и подстановки cos2t = 1 - sin2t.

 

  1. Имеется много частных решений как уравнения Риккати (1), так и уравнения 2-го порядка (2), представленных например в [3]. Было найдено ещё одно.

Так если в уравнении (2) функции

            g1(z) = - (z + b)f(z) ;  g2(z )= f(z)

где  f(z) –считаем любой функцией, то неизвестная имеет решение:

            u = ∫∫exp[∫(z + b)f(z)dz]f(z)dzdz

 

Доказательство – подставим решение u  в уравнение (2):

 

exp[∫(z+b)f(z)dz]f(z) - (z+b)f(z)∫exp[∫(z+b)f(z)dz]f(z)dz + f(z)∫∫exp[∫(z+b)f(z)dz]f(z)dzdz = 0

Разделив здесь на  f(z) и взяв от выражения производную, получим тождество. 

Нетрудно найти, что теперь дифференциальное уравнение

            y”- zf(z)y’+ f(z)y + P(z) = 0                                                                                      (5)

тоже может быть решено относительно искомой функции y. Для решения произведём замену y=qt. После подстановки в (5) получим

qt”+t’(2q’- zfq) + t(q”- zfq’+fq)+P = 0

Пусть функция q обнуляет выражение при t:

            q”- zfq’+fq = 0

Решение для q приведено выше. Теперь, если представить t’=R , получаем линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка относительно R:

qR’+ (2q’- zfq)R + P = 0

решение которого (линейного, 1-го порядка) известно давно [2].

Библиографический список:

1. Э.Камке. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям, Физматгиз, 1965.
2. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике. М.: Наука, 1986
3. Журнал Дифференциальные уравнения. Минск, 2009




Рецензии:

20.10.2020, 2:11 Мирмович Эдуард Григорьевич
Рецензия: В принципе тема статьи актуальна. Во-первых к одному из самых красивых дифференциальных уравнений - уравнению замечательного итальянского математика Якопо Франческо Риккати, которого Пётр Первый даже приглашал возглавить Петербургскую Академию наук, сводятся многие физические задачи пространственного характера, математические модели. Во-вторых, классическое ДУ Риккати, относящееся к большому числу ДУ, не разрешимых в квадратурах, можно во многих случаях сводить к разрешимому уравнению Д. Бернулли и другим вариантам возможности аналитического решения.Однако рецензент отмечает неготовность статьи к публикации. Статья некорректно структурирована, не на месте, например, заключение и пр. В научных статьях не приветствуется ссылка на справочники и учебные пособия. Библиографический список оформлен не совсем правильно, особенно [3] - что за журнал, чья там статья посвящена теме ссылки? Выправить синтаксис самому или дать на проверку и корректировку студенту или даже учащемуся. Рецензент считает представленную статью достойной публикации в данном журнале, но после тщательной корректировки. Можно было бы привести две-три задачи физического характера, которые описываются уравнениями Риккати, или уравнениями, требующими приведения их к оным. Но это по желанию автора, Рецензент ждёт вторичного представления этой работы на отзыв.



Комментарии пользователей:

Оставить комментарий


 
 

Вверх