Разделы: Строительство
Размещена 07.06.2017. Последняя правка: 07.06.2017.
Просмотров - 2817

Вероятностные методы вычисления безотказной работы металлических конструкций

Аль Загаби Ахмед Мохаммед

магистр

Национальный исследовательский московский государственный строительный университет

студент-мк

Александр Майорович Ибрагимов – доктор технических наук, проф кафедры металлических и деревянных конструкций, институт строительства и архитектуры, Национальный исследовательский московский государственный строительный университет.

     

          УДК 624.04

          Введение

          Безотказная работ - это способность элемента сохранять свои технические характеристики в заданных условиях в начале времени эксплуатации. Продолжительность начального периода связан с многими факторами: величины расчётных коэффициентов резерва; качество изготовления; качество материалов; продолжительность и частота невыгодного сочетания нагрузок и т.п: [1].

          Безотказная работа выражается безразмерной величиной, называемая вероятностный безотказный элемент P_s. 

          Вероятность изменяется в пределах 0 ≤ P_s ≤ 1.

          Безотказная работ имеет противоположное понятие - отказ, т.е. событие, при котором нарушаются функциональные качества элемента. Вероятностный отказ определяется по выражению: Q = 1 – P_s.

          Запас несущей способности. В математическом смысле безотказности работы выражается вероятностью выполнения условий прочности либо устойчивости. Условие прочности L  (либо устойчивости) представляется в виде:

                                                         L ≤ R → g = R – L > 0                                                  (1)

где g - запас несущей способности; R - сопротивление; L - нагрузочный эффект.

          Актуальность: Безотказной работой строительных конструкций зданий и сооружений является самая важная характеристика обеспечения безопасности жизни людей (чем надежнее конструкции, тем лучше).

          Целю данной статьи является освоение вероятностных методов вычисления безотказной работы металлических конструкций.

          Основные задачи данной статьи  заключаются в следующие:

1. предложить основное положение вероятности расчета металлических

конструкций на безопасность;

1. произвести расчет безотказной работой металлической балки межэтажного   

перекрытия.

          1. Метод моментов

          Этот метод использован при применении логнормального закона: При этом нужно учитывать, что если R и L есть функции нескольких переменных, то они могут иметь нормальное распределение только в том случае, когда все исходные переменные распределены нормально.

          Для нелинейной функции работоспособности ( x₁, x₂, ..., x_n) при решении ряда задач находил применение метод статистической линеаризации, созданный на разложении в ряд Тейлора в окружности приблизительного положения середины распределения случайного вектора ( x₁, x₂, ..., x_n): [2, 3].

          2. Метод статистических испытаний

          Когда исполняется вероятностная оценка по частоте события (L > R), то выходит довольно высокое количество статистических испытаний по схеме Бернулли, т.е. на каждом испытании генерируются случайные осуществления целых выведенных величии, исполняется расчет значений L и R как функции этих осуществлений и проверяется условие L > R. Когда условие исполняется, то испытательный исходом считается отказ. Частота νпоявления отказа рассматривается как оценка его вероятности P_s

                                                           ν = k/m = P_s,                                                                                    (2) 

где k– число отказов, m- общее число испытаний.

          Метод чрезвычайно универсален, однако требуется приближенный анализ оценки ν к разыскиваемой вероятности P_s, которая связана с количеством испытаний m известные методы этого анализа создаются на предельных теоремах:

• Бернулли, утверждающей, что при m → ∞, v → P_s  и что обладает местом асимптотически стандартное распределение;

• Хинчина (закон максимальных чисел) утверждающей, что среднее частоты v при m → ∞ стремятся к ее математическому ожиданию;

• Линдсберга-Леви (центральная предельная теорема) утверждающей, что среднее частоты v обладает асимптотическим стандартным распределением: [4].

          3. Пример расчета безотказной работы методом моментов

(Расчет безотказной работы металлической балки межэтажного перекрытия)

           3.1. Постановка задачи

          Вычислить безотказную работу металлической балки межэтажного перекрытия (рисунок 1).

          Дано:

1) пролет балки - L= 5,4 м;

2) шаг балок -P = 1000 мм;

3) вид перекрытия - межэтажное;

4) линейная равномерно распределенная нагрузка - q= 400 . P = 400 .1 = 400 кг/м;

5)  расчетное сопротивление стали - R_y = 210 МПа.

 

Рисунок 1. Схема расстановки металлической балки

 

Рисунок 2. Вид сверху расстановки металлической балки на несущую стену

 

Рисунок 3. Расчетная схема металлической балки

          3.2. Проектировочный расчёт

          Расчетный изгибающий момент равен М_max = q.l²/8=3,92.5.4²/8=14,29 кН.м=1429 кН.см. Где q=400 кг/м = 400 0,0098 = 3,92 кН/м.

          Требуемый момент сопротивления из условия прочности равен W_треб=М_max/R_y=1429/21=60,05 см³ . По сортаменту принимаем двутавр No 14, W_z= 81,7 см³.

Таблица 1. Выборочные значения предела текучести R_i (МПа)

Столбцы Строки	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	211	212	213	214	215	216	217	218	219	220
2	211	211	214	215	217	217	216	215	218	213
3	220	210	216	217	219	215	213	212	219	218
4	214	217	211	218	216	219	215	215	212	220
5	219	214	212	215	215	211	217	216	218	213
6	220	211	215	217	213	218	219	215	216	212
7	213	219	216	211	217	215	212	218	214	217
8	215	215	218	219	216	211	213	220	212	214
9	216	219	215	214	215	218	211	212	217	213
10	214	217	216	215	215	218	213	219	212	211

          Для расчета R_i 100 значений R_i подставляются в формулу

 
R_yn = 1/n `sum_(i=1)^n` R_i = 1/100 `sum_(i=1)^100` R_i = 1/100 . 21529=215,29 МПа.

          Аналогично рассчитывается дисперсия сопротивления:

 S_R²= 1/n`sum_(i=1)^n` (R_i - Ryn)²=7,3059 МПа². 

          Среднеквадратичное отклонение равно

 S_R=2,70 МПа.

.   Таблица 2. Ряд распределения нормативного сопротивления

	210	211	212	213	214	215	216	217	218	219	220
mi	1	10	9	9	8	17	10	11	10	10	5
(n = 100)	0,01	0,1	0,09	0,09	0,08	0,17	0,1	0,11	0,1	0,1	0,05

          Высота столбцов гистограммы рассчитываются по выражению:

                                                       h_i= m_i/nl_i=P_i/l_i.                                                               (3)

          Для выбора длины отрезков  вычисляется измененный интервал случайной величины I =R_max-R_min=220-210=10.

          Длина отрезка рассчитываются по выражению:

 L_i=I/1+3,32lg(n)=10/1+3,32lg(100)=1,31.

          Пусть L_i=2,8, Границы участков получаются следующими:

a₁ = 210, b₁ = 212,8; a₂ = 212,8, b₂ = 215,6; a₃ = 215,6, b₃ = 218,4; a₄ = 218,4, b₄ = 221,2.

          На данных участках рассчитываются вероятностные значения с помощью ряда распределения:

Р₁= 0,01 + 0,1 + 0,09 = 0,2; Р₂ = 0,09 + 0,08 + 0,17 = 0,34;

Р₃ = 0,1 + 0,11+ 0,31 = 0,21; Р₄ = 0,1+ 0,05 = 0,15.

          Дальше рассчитываются высоты столбцов гистограммы:
h₁=P₁/L₁=0,2/2,8=0,07143; h₂=P₂/L₂=0,34/2,8=0,12143;
h₃=P₃/L₃=0,31/2,8=0,11071; h₄=P₄/L₄=0,15/2,8=0,05357.

 

Рисунок 4. График плотности вероятностей непрерывной случайной величины

 Рисунок 5. График нормального функционального распределения вероятностей случайной величины

 

Рисунок 6. Гистограмма нормативного сопротивления с нормальной функцией плотности распределения вероятностей непрерывной случайной величины

          Аналогично вычисляются средние значения и среднеквадратичные отклонения нормативных нагрузок. Пусть дано:

q_n=3,56 кН/м; S_q=0,36 кН/м.

          Средние значения нормативной нагрузки вычисляются числовые параметры запаса несущей способности. Среднее значение резерва равно

 g= R_yn - q_n.L²/8W_z=215,29 - 3,56.5,4².10^-3/8.81,7.10^-6=56,6 МПа.

          Дисперсия резерва S_g² вычисляется по выражению: S_g ²  = S_R² + S_L² Поскольку нагрузочный эффект L зависит от случайной величины (q_n), дисперсия вычисляется по наиболее общему выражению:

 S_g² = S_R² + S_q² (dL/dq_n)²→ S_g² = S_R² + S_q² (-L²/8W_z)²→ S_g² = 7,3059+0,36².10^-6(-5,4²/8.81,7.10^-6)²=265,67 МПа².

          Среднеквадратичное отклонение равно

Sg= 16,299 МПа.

          Индекс надежности равен

 B = g/S_g=56,6/16,299=3,5.

          Вероятностная безотказность работы равна

P_s=0,5+Ф(В)=0,5+0,4997 = 0,9997.

         Интеграл Ф(β) берётся по табличным интегралам Лапласа.

          Отказ работы равен

Q = 1-P_s=1 - 0,9997=0,0003.

          Безотказная работа металлической балки межэтажного перекрытия обеспечена так, как (Q = 0).

          Вывод

         Большая вероятность безотказной работы обусловлена тем, что общепринятый по сортаменту момент сопротивления W_z существенно больше требуемого момента сопротивления W_треб (81,7 см³ > 68,05 см³).

1. Барлоу Р., Прошан Ф. Математическая теория надежности и испытания на безотказность. /Пер. с англ. – М.: Советское радио, 1969. -488с.
2. Ржаиицын А.Р., Снарскис Б.И., Сухов Ю.Д. Основные положения вероятностноэкономической методики расчета строительных конегрукций. – Строительная механика н расчет сооружений. – 1979. – No 3. – С. 67-71.
3. Беляев Ю.К. Вероятностгые методы выборочного контроля. – М.: Наука, 1975. -497c.
4. Лычёв A.С. Вероятностные методы расчета строительных элементов и систем. – М.: АСВ, 1995. – Уч. Пособие, 1995. -128с.

Комментарии пользователей:

Оставить комментарий