Публикация научных статей.
Вход на сайт
E-mail:
Пароль:
Запомнить
Регистрация/
Забыли пароль?

Научные направления
Поделиться:
Разделы: Геология, Электротехника, Физика, Медицина, Оптика, Социология, Техника, Науки о Земле
Размещена 10.10.2022. Последняя правка: 11.10.2022.
Просмотров - 223

Структурно-статистический частотный анализ временных рядов

Полканов Юрий Алексеевич

Пенсионер

Нет

Аннотация:
Предложен структурно-статистический метод обработки одномерного шумоподобного сигнала, представленного временным рядом в виде последовательности цифровых дискретных отсчетов. Это позволяет эффективно выявлять признаки сложной закономерной организации пространственно-временной структуры сигнала, ее устойчивости и признаки ее перестройки в процессе нарушения устойчивости такой структуры, когда традиционные методы спектрально-корреляционного анализа малоэффективны и требуют сложных алгоритмов обработки. Метод применим для анализа разветвленных процессов в условиях относительной стабильности ситуации. Предполагается высокая эффективность прогнозирования развития процессов самоорганизации в сложных системах.


Abstract:
A structural and statistical method for processing a one-dimensional noise-like signal is proposed, presented as a time series as a sequence of digital discrete samples. This makes it possible to effectively identify signs of a complex regular organization of the spatio-temporal structure of the signal, its stability and signs of its restructuring in the process of breaking the stability of such a structure, when conventional methods of spectral and correlation analysis are ineffective and require complex processing algorithms. The method is applicable to the analysis of branched processes in conditions of relative stability of the situation. The high efficiency of forecasting the development of self-organization processes in complex systems is assumed.


Ключевые слова:
шумоподобный сигнал; анализ; обработка; хаос; порядок; регулярная структура; признаки устойчивости

Keywords:
noise-like signal; analysis; processing; chaos; order; regular structure; signs of stability


УДК 53.087, 681.2, 004.67

Введение.

Одной из актуальных проблем науки является анализ шумоподобных процессов и выявление признаков организации и порядка
в различных средах, начиная  от физики и кончая общественными явлениями. Значительные трудности представляет интерпретация
особенностей самоорганизации пространственно-временной структуры таких сред и возникновения порядка из хаоса. Существующие
классические методы не позволяют в полной мере выделить и  отследить особенности таких процессов.

Цель статьи.
Представить результаты исследований  и оригинальной обработки временной структуры сложных негармонических сигналов  полученных от различных непрерывных сред.

Научная новизна.

Предложен метод структурно-статистического анализа периодичности исследуемого процесса как признака его самоорганизации.

Принципы обработки

Описанный вариант предлагает разделить сигнал на две составляющие, положительную и отрицательную («плюсовая» и «минусовая» структуры). Они извлекаются из временной последовательности относительных максимумов и минимумов анализируемого сигнала соответственно. Основным рабочим параметром является временной интервал между относительными максимумами или минимумами сигнала. Статистическая обработка позволяет получить две усредненные интервальные структуры. Последующее объединение полученных структур позволяет связать с сигналом элементарную ячейку временной структуры, исключив нерегулярную составляющую.

Преимущества

Эффективность предложенных алгоритмов обработки по отношению к классическому методу анализа была проверена с помощью численного моделирования на первом этапе. На основе описанных алгоритмов создана программа, моделирующая сложный сигнал.

В качестве простейшей модели использовался синусоидальный сигнал, полученный рекуррентным моделированием. В результате дискретизации сигнала учитывалось 256 его значений, при этом шаг дискретизации обеспечивал 8 значений сигнала за период синусоиды. Смещение последнего экстремума сигнала, накопленного из-за ошибок вычислений, относительно точных значений синусоиды достигло почти двух шагов дискретизации..

Точная синусоида была сгенерирована путем установки истинного значения для каждой выборки сигнала. В качестве показательной характеристики чувствительности к искажениям гармонического сигнала сравниваемых методов анализа (классического спектрального и предлагаемого) приведена нормированная кросс-корреляционная функция спектров мощности или распределений временных интервалов между экстремумами сигнала для точного и искаженного численного моделирования.

Результаты представлены ниже (осциллограмма):

Рис. 1. Нормированная взаимная корреляционная функция спектров мощности или распределений временных интервалов между экстремумами сигналов для точных и искаженных при численном моделировании синусоид.

Острый центральный пик с дополнительным боковым пиком кросс-корреляционной функции соответствует случаю структурного анализа (Wst), а один, более плавно растущий центральный пик, той же амплитуды, что и в первом случае, соответствует спектральному методу (Wsp). Ступенчатый подъем на краях кросс-корреляционной функции (Wst) обусловлен дополнительными вычислительными ошибками, не влияющими на информативность полученных данных.

Автокорреляционная функция для точной синусоиды в обоих случаях имеет вид острого одиночного пика. Это позволяет связать появление бокового пика функции Wst и растекание центрального пика функции Wsp с искажениями модельной синусоиды. Высокая чувствительность структурного метода подчеркивается значительным сдвигом бокового пика, который в 54 раза превышает ширину центрального пика. Дополнительный анализ показал, что такие характеристики полученных функций, как дисперсия и размах амплитудных значений, не позволяют делать однозначные выводы, поскольку различаются на 0,5-0,7%.

Для более полной оценки возможностей структурного анализа в качестве модельного сигнала был взят падающий сигнал со сложной периодической структурой, отличающейся «положительной» и «отрицательной» частями.

Такой сигнал формировался путем сложения трех простых сигналов: а) линейно убывающего сигнала, б) двух синусоидальных сигналов, разнесенных по частотам в отношении f2/f1 = 1,5, при равенстве их начальных амплитуд и фаз. Спектр мощности такого сложного сигнала содержит информацию о наличии низкочастотной составляющей и двух составляющих близкой мощности, которые можно соотнести с двумя гармоническими сигналами.

О характере сигнала при его спектральном анализе можно судить по шести параметрам: две частоты (f1, f2), их разность (f), соответствующие мощности (P1, P2), их разность (P). Они не предоставляют никакой информации о разнице между «положительной» и «отрицательной» частями сгенерированного модельного сигнала.

Рис. 2. Схема обработки сигналов в результате структурного анализа (где nc— количество отсчетов сигнала, m1,2,3— расстояние между локальными максимумами, соседними локальными максимумами и минимумами, локальными минимумами сигнала соответственно).

Здесь с учетом возможности разбиения сигнала на «положительную» и «отрицательную» структуры (+/-) мы имеем как минимум в два раза больше параметров для его описания. И это без учета связей между «позитивной» и «негативной» структурами.

Высокая чувствительность структурного анализа подтверждается обнаруженным влиянием вычислительных погрешностей на вид элементарной ячейки структуры анализируемого сигнала. Это влияет на формирование модельного сигнала. Например, ошибка в установке интервала между элементами ячейки в 0,2 % приводит к изменению на единицу количества элементов выявленной структуры.

Пример программного выделения «положительной» структуры модельного сигнала показан ниже:

Рис. 3. Спектр модельного сигнала (верхний график), где по оси ординат отложено его значение, а по оси абсцисс — интервал между локальными максимумами сигнала по числу интервалов дискретизации сигнала и выбранной последовательностью пиков, соответствующих локальным максимумам модельного сигнала. 

Высокая чувствительность структурного анализа подтверждается обнаруженным влиянием вычислительных погрешностей на вид элементарной ячейки структуры анализируемого сигнала. Это влияет на формирование модельного сигнала. Например, ошибка в установке интервала между элементами ячейки в 0,2 % приводит к изменению на единицу количества элементов выявленной структуры.

 Методология

В качестве обобщенных характеристик выявленных структур выбраны математические ожидания интервалов между локальными максимумами (М1), локальными минимумами (М2), максимумами и минимумами (М3) и их дисперсиями (D1, D2, D3).

Полученные данные были проверены на соответствие выдвинутым критериям:

  • Периодичности:

ΔМ = | M1М2| < h,   М* = (М3-М1,2/2) < h,                                                

где h – шаг дискретизации сигнала;

 

  • Стабильностипериодичности:

D1,2,3 < h

где D1,2,3- дисперсии M1,2,3соответственно

Разная степень устойчивости структур (D1≠D2) принимается как косвенный показатель синхронности смены «плюсовых» и «минусовых» структур и, соответственно, их взаимодействия.

Примеры обработки

Ниже представлены два примера структурно-статистического анализа процессов самоорганизации в качественно различных средах.

Первый пример 

Представлены результаты исследований временной структуры оптического сигнала рассеяния лазерного излучения в приземном слое устойчивой атмосферы в ночное время [1-3].

Обобщенная регулярная структура приповерхностных горизонтальных оптических неоднородностей получается из суммарной последовательности дискретных отсчетов, полученных лидарным сканированием исследуемого объема среды в горизонтальной плоскости по набору направлений с заданным угловым разрешением.

Специальная обработка сигнала с некоторым сглаживанием неоднородностей позволила при статистическом усреднении данных выделить его достаточно регулярную структуру.

Раздельный анализ локальных максимумов и минимумов сигнала выявил известную степень независимости в поведении «положительных» и «отрицательных» частей его структуры («плюсовых» и «минусовых» структур). Численные результаты представлены в таблице 1 в относительных единицах.

Рис. 3. Спектр модельного сигнала (верхний график), где по оси ординат отложено его значение, а по оси абсцисс — интервал между локальными максимумами сигнала по числу интервалов дискретизации сигнала и выбранной последовательностью пиков, соответствующих локальным максимумам модельного сигнала.

Высокая чувствительность структурного анализа подтверждается обнаруженным влиянием вычислительных погрешностей на вид элементарной ячейки структуры анализируемого сигнала. Это влияет на формирование модельного сигнала. Например, ошибка в установке интервала между элементами ячейки в 0,2 % приводит к изменению на единицу количества элементов выявленной структуры.

Таблица 1. Параметры наблюдаемой периодической структуры неоднородностей в пяти различных регионах

 

 

 

l

 

2

 

3

 

4

 

 

5

M1

3,62

3,20

3,17

3,68

4,32

M2

4,11

3,21

3,20

3,98

3,88

M3

2,03

1,59

1,62

2,00

2,34

D1

4,84

1,93

1,79

2,62

8,88

D2

5,47

2,02

2,07

2,38

5,43

D3

3,31

1,04

1,06

2,82

6,35



Рис. 4. Результаты определения интервала между элементами обобщенной структуры разного типа, «плюс» и «минус» (М1, М2), для оптических неоднородностей пяти выделенных областей атмосферы (1 - 5), где по оси ординат показаны относительные значение интервала (в числе шагов дискретизации), а по оси абсцисс – номер серии измерений

Рис. 5. Результаты определения дисперсии между элементами обобщенной структуры разного типа, «плюс» и «минус» (D1, D2), для оптических неоднородностей пяти выделенных областей атмосферы (1 - 5), где по оси ординат отложен относительный значение в количестве шагов дискретизации, а по оси абсцисс – номер серии измерений.

Ранее был проведен анализ распределения количества интервалов определенных типов по их величине N(М1), N(М2). Графическая проверка нормальности распределений показала их отклонение от нормального закона. Расчет их медиан и мод позволил сделать вывод об асимметричности распределений. Коэффициент асимметрии распределения даже для простейшей структуры (серия 2) составляет 1,12 для N(М1) и 1,33 для N(М2).

Проверка поχi2 - критерию соответствия распределения ряда 2 распределениям других рядов показала, что распределения рядов 2 и 3 практически одинаковы (вероятность несовпадения от 0,005 до 0,006), а распределения ряда серии 1, 4, 5 существенно отличаются от соответствующих распределений серии 2.

Вероятность совпадения распределений для серии 1 от 0,85 до 0,99; для серий 4, 5 с 0,97 до 0,99. Оценка обоснованности деления на «плюс» и «минус» структуры сигнала показала, что вероятность их стохастической зависимости не выше 0,3 для серий 2, 3 и 0,025 для серий 1, 5.

Стандартное отклонение S1,2 = (D1,2)1/2 для серий 2, 3, 4 не превышает значения M1,2/2, что свидетельствует об определенной устойчивости соответствующих структур.

Второй пример

Здесь представлены результаты обработки выборки фондовых индексов трех крупных компаний за 13 – 17 дней (шаг дискретизации – 30 минут) [4].

Изменение значения интервала между элементами обобщенной «плюсовой» или «минусовой» структуры носит комплексный характер:

Рис. 6. Первая выборка характеризуется пиковым увеличением значения интервалов «плюсовой» структуры (в несколько раз) на третьи и пятые сутки, на фоне волнообразного течения «минусовой» структуры. Ордината показывает относительную величину интервала (в числе шагов дискретизации), а абсцисса показывает номер серии измерений. 

 При этом в интервале 9-12 дней характер изменения «плюсовой» и «минусовой» структур фактически совпадает.
 

Рис. 7. Вторая выборка характеризуется волнообразным, убывающим характером зависимости с некоторым последующим общим подъемом и постоянным преобладанием (лидерством) «минусовой» структуры, где по оси ординат показано относительное значение интервала (в количество шагов дискретизации), а по оси абсцисс – номер серии измерений.


Рис. 8. Для третьей выборки общий характер и взаимное расположение структур повторяет вторую выборку, с более импульсивным характером поведения «минусовой» структуры, где по оси ординат показано относительное значение интервала (в количестве шагов дискретизации), а по оси абсцисс – номер серии измерений 

Изменение дисперсии интервала между элементами обобщенной «плюсовой» или «минусовой» структуры (собственной устойчивости структуры) носит следующий характер:


Рис. 9. Первая выборка характеризуется поведением, сходным с поведением самих интервалов, т.е. пиковым ростом дисперсии (неустойчивости) интервалов «плюсовой» структуры (в несколько раз) на третьи и пятые сутки, на фоне «минусовая» структура волнообразного хода, где по оси ординат отложено относительное значение числа шагов дискретизации, а по оси абсцисс – номер серии измерений.


Рис. 10. Для второй выборки, как и для самих интервалов, характерен слабоволнистый характер зависимости, с постоянным преобладанием (лидерством) «минусовой» структуры), где по оси ординат указано относительное значение в количество шагов дискретизации, по оси абсцисс – номер серии измерений.

 

Рис. 11. Для третьего образца общий характер и взаимное расположение структур более импульсивны, со вспышками неустойчивости на вторые и одиннадцатые сутки в поведении «минусовой» структуры), где по оси ординат указано относительное значение в количество шагов дискретизации, по оси абсцисс – номер серии измерений. 

Дополнительные варианты структуры: 

W - показатель регулярности, средняя вероятность заполнения выборки регулярной  "+", "-" структурой (рис. 12-14)


Рис. 12. Индекс регулярности для первой выборки, где по оси ординат отложена вероятность степени регулярности (гармоничности) исследуемой структуры, а по оси абсцисс – номер серии измерений.

Рис. 13. Индекс регулярности для второй выборки, где по оси ординат отложена вероятность степени регулярности (гармоничности) исследуемой структуры, а по оси абсцисс — номер серии измерений.

Рис. 14. Индекс регулярности для третьей выборки, где по оси ординат отложена вероятность степени регулярности (гармоничности) исследуемой структуры, а по оси абсцисс — номер серии измерений.

Индекс регулярности (W) структуры дает вероятность заполнения выборки из 13 образцов регулярной структурой определенного интервала (I = 1-13) близкую к 0,5 и соответствует достаточно устойчивой периодической структуре. При этом кривая W(I) располагается ниже уровня 0,5.

 

Характерной тенденцией является общий ход кривой W(I) чуть ниже линии 0,5. Кроме того, наблюдается существенно различное поведение индекса регулярности (W) для «плюсовой» и «минусовой» структур. Структура W(I) «минус» носит волнообразный характер и фактически не достигает значений 0,5. W(I) «плюс» структуры носит пикообразный характер и может достигать значений, значительно превышающих 0,5, т.е. заполнять всю выборку.

Возможно, следует сделать вывод, что суммарное превышение уровня вероятности 0,5 плюс" конструкций, с большими выбросами W(I)"плюс", на фоне плавного поведения W(I)"минус", может быть критерием для смещения общего хода анализируемого сигнала в сторону его подъема.

S - индекс связности (обобщенная разность вероятностей заполнения выборки правильной "+", "-" структурой).

Индекс связности (S) «плюсовой» и «минусовой» структур, равный нулю, соответствует случаю синхронизации поведения «плюсовой» и «минусовой» структур как единой структуры гармонического типа.

Сдвиг индекса связности (S) при применении «плюсовой» или «минусовой» тревожности по закономерности большей регулярности «плюсовой» или «минусовой» структур соответственно при зависимости их поведения друг относительно друга.

Сдвиг индекса связности (S) при применении «плюс» можно интерпретировать как наличие большей регулярности (гармоничности) структуры «плюсового» типа.

Смещение индекса связности (S) в «минусовую» область можно интерпретировать как наличие большей регулярности (гармоничности) структуры «минусового» типа.

Рис. 15. Индекс связности для первой выборки S1(I) указывает на более регулярную структуру типа «плюс», где вдоль кривой отложена вероятность степени регулярности (гармоничности) «плюс» или «минус» структуры по оси ординат, по оси абсцисс отложен номер серии измерений.

Рис. 16. Индекс связности для второй выборки S2(I) указывает на закономерность перехода от структуры типа «минус» к структуре типа «плюс», где вероятность степени регулярности (гармоничности) «плюс» или «минус» ” конструкции откладывается по оси ординат, а по оси абсцисс – номер серии измерений.

Рис. 17. Индекс связности для третьей выборки S3(I) указывает на неуклонный рост регулярности структуры типа «плюс», где вероятность степени регулярности (гармоничности) «плюс» или «минус» структуры по оси ординат отложен номер серии измерений по оси абсцисс.

Выводы

•   Лидерство закономерности «плюс» или «минус» структуры указывает, соответственно, на общий подъем или спад сигнала.

•   Перехват закономерности лидерства свидетельствует об изменении тренда в поведении сигнала с подъема на спад или наоборот.

•   Волнообразное поведение структуры свидетельствует о том, что устойчивость закономерности лидерства соответствующей структуры подвержена регулярным колебаниям.

•   Остроконечный характер поведения структуры указывает на рождение четкой локальной

тенденция к изменению закономерностей руководства соответствующей структуры.

•   Пикообразный характер поведения структуры свидетельствует о зарождении четкой локальной тенденции к изменению закономерностей лидерства соответствующей структуры.

•   Регулярность выявленной структуры прерывистая.

•   Чем выше регулярность, тем выше относительная устойчивость соответствующей структуры.

Чем выше связность «плюсовых» и «минусовых» структур, тем выше их общая устойчивость, даже если их перемежаемость явно выражена.

Общие выводы

Применение предложенного структурно-статистического анализа в задачах выявления сложных периодических сигнальных структур, на фоне более существенного непериодического изменения, позволяет получить качественно новую информацию о процессах самоорганизации сложных систем и предложить возможность прогнозирования изменения устойчивости по динамике выявленной структуры.

Чем неустойчивей структура неоднородностей, тем меньше связь ее положительной и отрицательной составляющей, а степень их периодичности падает (происходит размытие), что говорит о зарождении более длинноволновой компоненты.

Полученные результаты подтверждают перспективность использования структурного анализа в задачах выявления регулярных, периодических структур сложного сигнала на фоне более значительного непериодического изменения. Дополнительными преимуществами такого анализа являются: независимость результатов от длины выборки сигнала (при обеспечении минимальной статистической достоверности измерений), простота реализации, быстродействие, алгоритмичность.

Эти выводы подтверждаются и результатами численного моделирования с генерацией шумовой составляющей или дополнительной синусоидальной составляющей, период которой соизмерим с длиной взятой выборки сигнала.

Следует заметить, что использование описанного метода  для анализа гармонических сигналов не дает никакой дополнительной информации.

Библиографический список:

1. Полканов Ю.А. Кудинов В.Н. Об одной возможности анализа периодической структур сложного сигнала. Известия вузов. Приборостроение. 1989, т. 32, N 4, с. 6-11
2. Полканов Ю.А. О динамике структуры сигнала рассеяния и ее связи с метеоситуацией. Известия АН СССР. Физика атмосферы и океана.1989, т. 25, N 6, с. 599-603.
3. Полканов Ю.А Выявление элементов периодичности в структуре сложного спадающего сигнала. N- РТ 12.000003 в РФАП Минобр. БССР (Республиканский фонд алгоритмов и программ). Вестник БГУ, серия 1, Физика, Математика, Механика, N- 3, 1991, с. 80.
4. Revealing the processes of self-organization of inhomogeneities of a continuous medium. On the example of lidar measurements of the atmosphere. LAP Lambert Academic Publishing ( 2012-11-03 ) ISBN-13:978-3-659-27051-2 ISBN-10:3659270512 EAN:9783659270512




Рецензии:

11.10.2022, 12:11 Адибекян Оганес Александрович
Рецензия: Адибекян Оганес Александрович. Статья Полканова Юрия Алексеевича практической значимости по графическому выражению изменчивых показателей рассматриваемых объектов без важности их специфики. Ссылки автора на собственные работы свидетельствуют о том, что такими явлениями он интересуется давно и не останавливается перед совершенствованием графического выражения их изменчивости. Работа достанется практическому применению без особых сложностей, она достойна публикации. Если потребно указание какого-либо упущения, то представление своих публикаций в списке литературы без учета последовательности их выхода (1991, 1989).



Комментарии пользователей:

12.10.2022, 10:19 Полканов Юрий Алексеевич
Отзыв: Спасибо за замечание.


Оставить комментарий


 
 

Вверх