Публикация научных статей.
Вход на сайт
E-mail:
Пароль:
Запомнить
Регистрация/
Забыли пароль?
Научные направления
Поделиться:
Разделы: Физика, Техника
Размещена 28.12.2020. Последняя правка: 15.02.2021.
Просмотров - 216

СВЕРХЗВУКОВОЕ ОБТЕКАНИЕ И АЭРОДИНАМИЧЕСКОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ФРАГМЕНТОВ КУБИЧЕСКОЙ ФОРМЫ

Голубев Владимир Константинович

Кандидат физико-математических наук, доцент

Нижний Новгород; Университет Людвига-Максимилиана, Мюнхен

Независимый эксперт; приглашенный ученый

Аннотация:
Представлены результаты расчетного исследования обтекания сверхзвуковым потоком воздуха фрагмента кубической формы и системы из двух близко расположенных фрагментов. Рассматривались фрагменты с длиной ребра 13.5 мм, различным образом ориентированные к направлению набегающего воздушного потока. Рассматривались также системы из двух фрагментов, смещенных друг относительно друга в продольном, поперечном и произвольном направлениях на расстояния до длины ребра. Диапазон используемых скоростей обтекания находился в пределах от 2 до 6 чисел Маха. Расчет процесса обтекания фрагментов проводился с использованием трехмерной программы численного расчета внешнего обтекания объектов сверхзвуковым потоком сжимаемого газа. Решались полные осредненные уравнения Навье-Стокса, дополненные двухпараметрической моделью турбулентности. Для воздуха использовалось уравнение состояния идеального газа. В результате для всех указанных случаев были получены достаточно полные картины обтекания и взаимодействия.


Abstract:
The results of a computational study of a supersonic air flow around a cubic fragment and a system of two closely spaced fragments are presented. Fragments with an edge length of 13.5 mm and differently oriented to the direction of the incident air flow were considered. The systems of two fragments displaced relative to each other in longitudinal, transverse and arbitrary directions at distances up to the length of the edge were considered too. The flow velocities used were in the range from 2 to 6 Mach numbers. The computation of the flow around the fragments was carried out using a three-dimensional program for the numerical calculation of the external flow around objects by a supersonic flow of compressible gas. The complete averaged Navier-Stokes equations were being solved, supplemented by a two-parameter turbulence model. The equation of state of a perfect gas was used for air. As a result, sufficiently complete flow and interaction patterns were obtained for all specified cases.


Ключевые слова:
фрагмент кубической формы; сверхзвуковое обтекание; программа численного расчета; аэродинамическое взаимодействие; уравнения Навье-Стокса; модель турбулентности

Keywords:
cubic fragment; supersonic flow; numerical calculation program; aerodynamic interaction; Navier-Stokes equations; turbulence model


УДК 533.6.011.5

Введение и состояние вопроса

Экспериментальное изучение сверхзвуковой аэродинамики фрагментов кубической формы проводилось в работе [1]. Фрагменты двух размеров, 1/4 и 3/8 дюйма, разгонялись до скоростей в диапазоне от 0.5 до 3.5 чисел Маха и запускались в измерительный участок аэробаллистической трассы. Пролет фрагмента фиксировался на шести контактных системах, расположенных на расстоянии 25 футов между ними. Была определена скорость фрагмента на каждом пролетном участке, а его торможение при пролете всего измерительного участка тира рассчитывалось на основании аппроксимации решения учитывающего аэродинамическое торможение дифференциального уравнения движения. Таким путем в каждом опыте для конкретной начальной скорости полета определялся коэффициент лобового сопротивления кубического фрагмента. Было получено, что для каждой конкретной скорости данные выполненных измерений не дают однозначного значения коэффициента лобового сопротивления, а имеют существенный разброс и скорее представляют собой набор значений этого коэффициента для вращающегося куба. В результате была построена зависимость совокупности коэффициентов лобового сопротивления куба при его произвольной в процессе полета ориентации от его скорости в указанном диапазоне чисел Маха. В качестве же более определенной характеристики было предложено использовать среднее значение этого коэффициента для конкретного узкого диапазона скоростей.

Полученные в работе [1] экспериментальные результаты были использованы для сопоставления и калибровки мощного аэродинамического расчетного комплекса в работе [2]. Расчеты изменения коэффициента сопротивления кубического фрагмента при различных скоростях обтекания выполнялись в работе [2] с использованием нескольких различных методов моделирования. Полученные в этом случае результаты показаны на рис. 1.

 

Рис. 1. Изменение коэффициента лобового сопротивления куба в зависимости от числа Маха обтекающего потока: квадрат – экспериментальные результаты из работы [1]; красный круг – статическое моделирование для минимальной фронтальной поверхности куба; синий круг без заливки - статическое моделирование для максимальной фронтальной поверхности куба; ромб с сиреневой заливкой – динамическое моделирование с принудительным переворачиванием куба; зеленый штрих – моделирование обтекания куба с 6 степенями свободы.

Статическое моделирование проводилось на закрепленном кубе с минимальной и максимальной обтекаемой фронтальной поверхностью. Эти вычисления хорошо отслеживают нижнюю и верхнюю границы разброса экспериментальных результатов. Чтобы смоделировать среднее динамическое движение, куб вращался с постоянной скоростью вокруг всех трех осей при фиксированном числе Маха. Среднее значение этого динамического моделирования за полный цикл называели имитацией принудительного переворачивания. Результаты, полученные в условиях принудительного переворачивания куба, делят разброс экспериментальных данных примерно пополам. Последний показанный на рисунке тип моделирования представляет собой моделирование с 6 степенями свободы, при котором куб запускается в однородный поток и может смещаться и вращаться под действием аэродинамических нагрузок. Эти результаты показывают, что куб с 6 степенями свободы при воздействии на него сверхзвукового потока начинает колебаться, что в конечном итоге проводит к его потере устойчивости и переворачиванию. Прогноз сопротивления по траектории с 6 степенями свободы также находится в пределах экспериментальных данных. Среднее по ансамблю многих траекторий с 6 степенями свободы, запущенных с различными начальными условиями (ориентацией, скоростью вращения), в этом случае сводится к предсказанию, основанному на результатах динамического моделирования с принудительным переворачиванием.

Автором проводилось расчетное исследование обтекания сверхзвуковым потоком воздуха большого числа различных объектов. В частности изучались вопросы сверхзвукового обтекания и аэродинамического взаимодействия фрагментов кубической формы. Некоторые из этих результатов докладывались на ведомственных научных конференциях и были представлены в аннотированном виде в тезисах одной из конференций [3]. В работе рассматривались как единичные кубические фрагменты с длиной ребра d = 13.5 см, расположенные под различными углами к направлению набегающего потока, так и системы из двух близко расположенных фрагментов. Расстояние между крайними гранями двух фрагментов менялось в пределах от 0.25 до 4 d, а их взаимное пространственное расположение учитывало различные возможные ситуации. Диапазон рассмотренных начальных скоростей обтекания находился в пределах от 2 до 6 чисел Маха.

Стоит отметить, что расчетные исследования обтекания объектов сверхзвуковым потоком проводились, прежде всего, для объектов, испытываемых экспериментально в аэробаллистическом тире, кратко описываемом в материалах той же конференции [4]. Схема аэробаллистического тира АБТ-2 показана на рис. 2. Он имеет следующие основные технические характеристики: диапазон реализуемых скоростей полета – 130-3700 м/с, калибр испытываемых моделей – 0.016-0.140 м, длина измерительного участка – 123 м, среднее количество регистрируемых положений моделей в опыте – 40-50 с шагом регистрации 1.5-3.0 м. Система управления и регистрации тира обеспечивает включение регистрирующих камер и управление средствами оптической регистрации в реальном масштабе времени, от миллисекундного до секундного диапазона с микросекундной дискретностью и регистрацию времен срабатывания устройств с дискретностью до 0.1 мкс. При проведении испытаний модели отстреливаются из пороховой или легкогазовой баллистической установки с заданной программой испытаний по скорости и углу атаки. Синхронно с полетом модели осуществляется многократная регистрация в фиксированные моменты времени ее линейного и углового положения в пространстве. Для получения теневых спектров обтекания моделей в полете используются два стенда теневого фотографирования в двух перпендикулярных плоскостях с применением точечных электровзрывных источников света.

 

Рис. 2. Схема аэробаллистического тира АБТ-2 для определения аэродинамических характеристик и визуализации сверхзвукового обтекания моделей.

В работе [5] приведены результаты расчетов коэффициентов лобового сопротивления сверхзвукового обтекания кубических фрагментов, ориентированных гранью, ребром и вершиной относительно направления набегающего потока. Также для кубических фрагментов размером 8 мм приведены результаты регистрации линейных координат и полетного времени на траектории полета в не менее чем 12 точках на длине измерительного участка более 50 м, полученные в аэробаллистическом тире АБТ-2. Фрагменты в этом случае разгонялись вплоть до скоростей 2 км/с путем отстрела из пороховой баллистической установки калибром 23 мм. Полученные в этих опытах результаты хорошо согласуются с основополагающими экспериментальными результатами по определению коэффициента лобового сопротивления куба, приведенными в работе [1]. Кроме внешнетраекторных параметров, в работе приведены также широкоформатные теневые спектры обтекания фрагментов в полете. Эти спектры хорошо дополняют результаты работы [1] и показаны для наглядности на рис. 3. Указывалось, что первоначально кубы были ориентированы различным образом, но, как показывают теневые картины на расстоянии 20 м от выходного сечения канала ствола, начальная ориентация фрагментов менялась из-за вращения в процессе полета.

 

Рис. 3. Спектры обтекания кубических фрагментов, первоначально ориентированных в канале ствола гранью (а), ребром (б) и вершиной (в).

В данной работе в относительно полном виде приведены основные результаты расчетного исследования, полученные при выполнении работы [3]. Для одиночного кубического фрагмента в диапазоне скоростей обтекания, соответствующем числам Маха от 2 до 6, определены все три его основных аэродинамических коэффициента для любой произвольной его ориентации по отношению к направлению набегающего потока. Для системы из двух близко расположенных фрагментов рассмотрен характер их взаимодействия в нескольких положениях взаимного расположения в том же диапазоне скоростей обтекания.

Результаты расчетов и обсуждение

Рассматривалось сверхзвуковое обтекание фрагментов кубической формы с длиной ребра 13.5 см, расположенных под различными углами к направлению набегающего потока воздуха, а также системы из двух близко расположенных фрагментов. Приводятся результаты, когда расстояния между соседними фрагментами не превышали длины ребра куба. Диапазон рассмотренных скоростей обтекания соответствовал числам Маха в пределах от 2 до 6. Верхнее значение ограничивалось в основном используемым в расчетной программе уравнением состояния воздуха. Расчет процесса обтекания фрагментов проводился с использованием трехмерной программы численного расчета внешнего обтекания объектов сверхзвуковым потоком сжимаемого газа, реализованной в инженерном пакете вычислительной гидроаэродинамики EFD.Lab [6].

Для моделирования был выбран метод численного решения полных уравнений Навье-Стокса, усредненных по Рейнольдсу и дополненных k-ε моделью турбулентности. Трехмерный расчет процесса внешнего обтекания рассматриваемых фрагментов сверхзвуковым потоком воздуха проводился с учетом соответствующих граничных условий на поверхностях фрагментов и на стенках расчетной области. Размеры расчетной области выбирались с определенным запасом, чтобы полностью исключить их возможное влияние на результаты расчета в основной зоне обтекания и взаимодействия. Для воздуха, исходно находящегося при нормальном атмосферном давлении, использовалось единственное вшитое в используемую аэродинамическую программу уравнение состояния идеального газа. С определенной натяжкой, но его еще можно использовать в сопоставительном расчете для скорости обтекания, соответствующей числу Маха М = 6.

В результате решения были определены аэродинамические силы и моменты, действующие на обтекаемые поверхности фрагментов, а также все параметры воздуха, текущего в расчетном объеме - поля давления, плотности, температуры и скорости. Полный расчет разбивался на несколько этапов (итераций), в конце каждого из которых проводился автоматический анализ полученного решения, и на основании этого анализа осуществлялось измельчение расчетной сетки в высокоградиентных областях параметров потока. Полное число счетных ячеек в конкретном расчете, как правило, не превышало 2.5·106. Точность получаемых результатов оценивалась по характеру сходимости решения на каждом из рассмотренных этапов расчета. Условия симметрии использовались для уменьшения расчетной области. В ходе расчета определялись такие аэродинамические характеристики каждого фрагмента, как коэффициент лобового сопротивления Cx, коэффициент подъемной (поперечной) силы Cy и коэффициент момента mz. В качестве характерной площади и характерной длины в этом случае брались значения площади грани и длины ребра куба. В результате для всех рассмотренных ситуаций были получены достаточно полные картины течения и взаимодействия в широком диапазоне используемых пространственных и скоростных параметров.

Некоторые результаты, полученные при обтекании отдельных кубических фрагментов, представлены на рис. 4, 5. Результаты обтекания одиночного куба для его трех положений, симметричных относительно направления потока, ориентированного в направлении оси x, показаны на рис. 4 для одной скорости обтекания. В соответствии с условиями симметрии в случаях, когда куб был ориентирован гранью и ребром поперек направления набегающего потока, использовалась только четвертая часть полной расчетной области, окружающей фрагмент, а в случае, когда он был ориентирован своей диагональю в направлении набегающего потока, использовалась половина полной расчетной области. Полученные картины обтекания характеризуют течения в плоскости, соответствующей серединному сечению куба.

 

Рис. 4. Обтекание куба (поля плотности) для его трех симметричных относительно направления потока положений и скорости обтекания, соответствующей М = 3.

Значительный объем полученной информации по аэродинамическим коэффициентам куба при его различных ориентациях и скоростях обтекания представлен на рис. 5. Здесь начальное положение куба соответствовало его ориентации ребром поперек направления набегающего потока, а направление ребра куба совпадало с направлением оси z. На рис. 4 положение куба также соответствовало его ориентации ребром поперек направления набегающего поток, однако направление ребра куба совпадало в этом случае с направлением оси y. Последующее изменение угла переднего ребра куба относительно его начального положения происходило по часовой стрелке, то есть приведенный угол ß фактически является углом атаки, аэродинамический коэффициент Cy является коэффициентом подъемной силы, а аэродинамический коэффициент mz является коэффициентом момента тангажа. Таким образом, при вращении куба из исходного положения в пределах изменения угла атаки от 0 до 90° он фактически проходит все основные возможные ориентации, от ориентации ребром при ß = 0°, через ориентацию вершиной (диагональю) при ß = 35.26°, до ориентации гранью при ß = 90°. Подобные результаты получены и представлены для всех рассмотренных скоростей обтекания.

 

Рис. 5. Влияние изменения угла переднего ребра куба относительно его начального положения на аэродинамические коэффициенты куба для скоростей обтекания, соответствующих М = 2 - 6 (ромб, квадрат, треугольник, круг, ж).

Некоторые результаты, полученные при обтекании двух кубических фрагментов, смещенных в продольном направлении на расстояние 13.5 мм представлены на рис. 6. Характер обтекания кубов показан здесь для одной скорости обтекания. В соответствии с условиями симметрии в расчете использовалась только четвертая часть полной расчетной области, окружающей фрагменты. Результаты расчета коэффициентов лобового сопротивления для такой конфигурации фрагментов получены и представлены для всех рассмотренных скоростей обтекания. Для сравнения приведены также аналогичные результаты для одиночного куба

 

Рис. 6. Слева - характер обтекания двух кубов (сверху - поле плотности, снизу - поле скорости), смещенных в продольном направлении на расстояние 13.5 мм при скорости обтекания, соответствующей М = 4. Справа – влияние скорости обтекания на коэффициенты лобового сопротивления первого (ромб) и второго (квадрат) кубов, расположенных на расстоянии 13.5 мм, и на коэффициент лобового сопротивления одиночного (треугольник) куба.

Некоторые результаты, полученные при обтекании двух кубических фрагментов, смещенных в поперечном направлении на расстояния 13.5 и 6.75 мм представлены на рис. 7, 8. Характер обтекания кубов показан на рис. 7 для двух скоростей обтекания. В соответствии с условиями симметрии в расчете использовалась только четвертая часть полной расчетной области, окружающей фрагменты. Отчетливо просматривается существенно различный характер аэродинамического взаимодействия фрагментов.

 

Рис. 7. Характер обтекания двух кубов (поля плотности), смещенных в поперечном направлении на расстояние 13.5 мм для скоростей обтекания, соответствующих М = 2 (слева) и М = 6 (справа).

Результаты по влиянию скорости обтекания на аэродинамические коэффициенты двух кубов, смещенных в поперечном направлении на расстояния 6.75 мм и 13.5 мм показаны на рис. 8 для всех рассмотренных скоростей обтекания. Здесь, если поведение коэффициентов сопротивления для обоих случаев является подобным, то для коэффициентов момента оно существенно различно. В случае меньшего расстояния аэродинамический момент приводит к закручиванию фрагмента по часовой стрелке, а в случае большего расстояния уже против часовой стрелки.

 

Рис. 8. Влияние скорости обтекания на аэродинамические коэффициенты Cx (ромб), Cy (квадрат) и mz (треугольник) двух кубов, смещенных в поперечном направлении на расстояния 6.75 мм (слева) и 13.5 мм (справа).

Некоторые результаты, полученные при обтекании двух кубических фрагментов, расположенных в результате продольного и поперечного смещения одинаковым образом, но обтекаемых потоками с различными скоростями, представлены на рис. 9, 10. Характер обтекания кубов показан на рис. 9 для трех скоростей обтекания. В соответствии с условиями симметрии в расчете использовалась только половина полной расчетной области, окружающей фрагменты. В данном случае поперечное смещение второго фрагмента составляет 13.5 мм, как расстояние между фрагментами, а его продольное смещение можно определять как расстояние по оси х от плоскостей, проходящих по передней или по задней грани переднего фрагмента, то есть 13.5 или 0 мм. Можно отметить существенно различный характер аэродинамического взаимодействия фрагментов при различных скоростях обтекания.

 

Рис. 9. Характер обтекания двух кубов (поля плотности) при их расположении с продольным смещением, равным нулю, и поперечным смещением, равным 13.5 мм для скоростей обтекания, соответствующих М = 2 (слева), М = 4 (посередине) и М = 6 (справа).

Результаты по влиянию скорости обтекания на аэродинамические коэффициенты двух кубов, при их расположении, показанном на рис. 9, приведены на рис. 10. Здесь можно отметить, что если первый куб в той или иной степени влияет на поведение второго при всех скоростях обтекания, то явное влияние второго куба на поведение первого просматривается только при скорости обтекания, соответствующей числу Маха М = 2.

 

Рис. 10. Влияние скорости обтекания на аэродинамические коэффициенты Cx (ромб), Cy (квадрат) и mz (треугольник) первого (слева) и второго (справа) кубов при их расположении, показанном на рис. 9.

Заключение

Экспериментальные результаты по аэродинамике отдельных кубических фрагментов, показанные на рис. 1, 3 указывают на значительный разброс получаемых данных по величине коэффициента лобового сопротивления, что обусловлено наблюдаемой аэродинамической неустойчивостью ориентации куба при сверхзвуковом обтекании. Поэтому в качестве основной определяющей величины в эксперименте могут быть получены, прежде всего, средние значения коэффициента сопротивления, соответствующие конкретным условиям проведения испытаний, таким как скорость обтекания и исходное состояние обтекающей среды, то есть воздуха в нашем случае. Высокозатратные динамические расчеты приводят к тем же средним значениям, что подтверждает, прежде всего, высокую взаимную точность результатов экспериментов и расчетов.

Статические расчетные результаты  по аэродинамике отдельных кубических фрагментов, показанные на рис. 4, 5 дают возможность разобраться в особенностях влияния ориентации фрагмента и скорости его обтекания на значения аэродинамических коэффициентов и учесть это влияние при анализе последующего поведения фрагментов. Еще больший интерес представляют результаты по аэродинамическому взаимодействию фрагментов в процессе обтекания. Только учет этого взаимодействия позволяет прогнозировать эволюцию системы фрагментов в процессе их совместного обтекания.

В этом плане полученные результаты по аэродинамическому взаимодействию не только представляют самостоятельный интерес, но также могут быть использованы для аэробаллистических оценок характера начальной стадии траекторного рассеяния группы фрагментов, исходно движущихся параллельно в одном направлении с одинаковыми скоростями. Исходя из этого можно учесть влияние различных факторов, в том числе рассмотренных в работе: скорости движения, исходного состояния воздушной среды, поверхностной и объемной плотности расположения фрагментов и их начальной ориентации на характер развития этого процесса и предложить исходные компоновки и условия разгона, минимизирующие эффект рассеяния. 

Библиографический список:

1. Hansche G.E., Rinehart J.S. Air drag on cubes at Mach numbers 0.5 to 3.5 // J. Aeronaut. Sci. - 1952. Vol. 19, Iss. 2. P. 83-84.
2. Murman S.M., Aftosmis M.J., Rogers S.E. Characterization of space shuttle ascent debris aerodynamics using CFD methods // AIAA Paper. - 2005. 1223, 2005, 20 p.
3. Голубев В.К. Расчетный анализ сверхзвукового обтекания фрагментов кубической формы // Материалы XXХIV Научно-технической конференции "Проектирование боеприпасов". - Москва: МГТУ им. Баумана, 2007. - С. 133-135.
4. Герасимов С.И., Голубев В.К., Файков Ю.И. Экспериментально-расчетный комплекс для определения аэродинамических характеристик и визуализации сверхзвукового обтекания гиперзвуковых летательных аппаратов // Материалы XXХIV Научно-технической конференции "Проектирование боеприпасов". - Москва: МГТУ им. Баумана, 2007. - С. 128-130.
5. Герасимов С.И., Ерофеев В.И., Кикеев В.А., Герасимова Р.В., Каныгин И.И., Фомкин А.П. Визуализация сверхзвукового обтекания фрагментов кубической формы // Научная визуализация. - 2015. - Т. 7, № 3. - С. 44-52.
6. Balakin V., Churbanov A., Gavriliouk V., Makarov M. Pavlov A. Verification and validation of EFD.Lab code for predicting heat and fluid flow // Proceedings of III International Symposium on Advances in Computational Heat Transfer. - Norway, 2004. - 21 p. URL: http://dl.begellhouse.com/references/1bb331655c289a0a,65b0669d21e4a044.html




Рецензии:

29.12.2020, 17:54 Олевский Виктор Аронович
Рецензия: В соответствии с Положением о публикации укажите и опишите "Актуальность", "Цель", "Решаемая задача". Объясните, какой толк от таких сверх неточных расчётах? Желательно "обыграть" эту неточность.

9.01.2021, 0:26 Мирмович Эдуард Григорьевич
Рецензия: Для того, чтобы получать имитационные модели явления обтекания тел произвольной формы, выбор куба с его лобовой поверхностью в некоторой степени универсальна, и при разрыве в атмосфере объектов со сверхзвуковым разлетанием, гиперзвуковых перемещениях тел и др. такие модели являются необходимым компонентом в проектной технологической документации. Работа заслуживает по всем параметрам требований публикации. А как бы хотелось, вообще-то, увидеть "полные осреднённые уравнения Навье-Стокса, дополненные двухпараметрической моделью турбулентности.". Но, увы, хотя это желание рецензента не может быть отнесено к недостаткам, препятствующим публикации.

10.01.2021 12:12 Ответ на рецензию автора Голубев Владимир Константинович:
Уважаемый Эдуард Григорьевич, спасибо за интерес к статье и грамотную положительную оценку ее содержания. Работа, как я это понимаю, соответствует физико-технической тематике, регламентируемой на портале, в которую естественным образом должна входить и прикладная аэродинамика. По этой причине я и не стал останавливаться конкретно на используемых в расчетной программе методах вычислительной математики и исходных уравнениях движения и сохранения. Полный набор этих уравнений можно посмотреть, например, в книге "Алямовский А.А. и др. SolidWorks. Компьютерное моделирование в инженерной практике. Санкт- Петербург: БХВ-Петербург, 2005. 800 с.", которую можно без труда скачать в интернете. Однако ваш совет показался мне заслуживающим внимания, и я попробую реализовать его следующим образом. В моем личном творческом плане стоят несколько работ по аэродинамическому взаимодействию различных объектов. В одну из работ, наиболее комплексную и показательную, я попробую вставить небольшой подраздел об используемых уравнениях Навье-Стокса и методах их решения для конкретных задач сверхзвукового обтекания.



Комментарии пользователей:

11.01.2021, 5:37 Мирмович Эдуард Григорьевич
Отзыв: Спасибо за благожелательный ответ! Рецензент не настаивал, а проявил любопытство, т.к. в этом абзаце ссылки не было. Различные приближения, усреднения, "обрезания", краевые и граничные условия и пр. такой универсальной инструментной базы, каковой является всё, что приписывают этой паре замечательных учёных, не знавших друг друга, ньютоновской, пуассоновской и пр. субстанцией могут оправдать любое любопытство. Да, и потом рецензентам, которым придётся рассматривать похожие работы, легче давать ссылку на статью из этого журнала, чем отправлять за коррективами к трудно доступным фолиантам. Извините! Успехов. Вы классный инженер-учёный.-


Оставить комментарий


 
 

Вверх