Статья опубликована в №118 (июнь) 2023
Разделы: Физика
Размещена 29.06.2023.
Просмотров - 520

Неоднородность векторного поля и квантовая статистика элементарных частиц

Бабаев Алимжан Холмуратович

кандидат физ. - мат. наук

пенсионер

пенсионер

УДК 537.8: 512.7 

Введение

Ранее мы показали [1], что локальную неоднородность векторного поля

 B=▽A =▽•A+▽∧A                                                                         (1)

можно представить в виде суммы трёх независимых бикватернионов  в 4-х мерном пространстве Минковского:

B=Σ³_α=1B_α                                                                               (2)

где

▽•A=Eg^ij∂_iA_j – деформация векторного поля , т.е. симметричная часть Клиффордово произведения векторов [2] ▽ и A; g^ij – метрический тензор;

▽∧A=eⁱ˄e^j∂_iA_j  – вращение векторного поля , т.е. антисимметричная часть Клиффордово произведения векторов ▽ и A [2];

“•” и “∧” – символы внутреннего и внешнего произведения векторов; E – единичная 4х4 матрица; ▽=γⁱ ∂_i – оператор набла; γⁱ, γ⁵=iγ=i γ⁰ γ¹ γ² γ³ – матрицы Дирака.

Здесь и далее используется естественная система единиц, где скорость света и постоянная Планка равны единице: c=h/2π=1.

Было доказано [3], что локальная неоднородность (1), которая состоит из независимых деформации и вращения, порождает фотон-нейтринную пару. Причем, деформация поля порождает фотон, т.е. бозон, а вращение порождает пару нейтрино - антинейтрино, т.е. фермион. Но это утверждение не было рассмотрено в обобщенном виде и не была детально изучена квантовая систематика частиц, порождаемых неоднородностью.

В данной работе мы исследуем взаимосвязь неоднородности векторного поля A (▽•A и ▽˄A) с квантовыми свойствами частиц (спинами). Проще говоря, мы попытаемся выяснить: как, почему и откуда возникают только два вида частиц – бозоны и фермионы.   

 

В «плоском» пространстве существует такой бикватернион, который можно выразить в виде матричной функции (экспоненты) [4, стр. 46 – 52]:

B_α= exp((γ⁰γ^α +γ)Z_α)                                                                    (3)

В общем случае Z_α =Z_α(qⁱ) – комплексная функция от аргументов {qⁱ}= {t, x, y, z}.

Результаты 

Так как неоднородность поля (1) состоит из двух независимых частей, то бикватернион (3) рассмотрим сначала только с вращением, а затем только с деформацией.

 

1. Вращение

B_α= exp(γ⁰γ^αZ_α)                                                                     (4)

Выражение (4) разложим на биспинор и антибиспинор:

exp(γ⁰γ^αZ_α) =0.5(E+γ⁰γ^α) exp(Z_α) + 0.5(E-γ⁰γ^α) exp(-Z_α) =Y_α(x) + Ỹ_α(x)                          (5)

где Y_α(x) – биспинор, Ỹ_α(x) – антибиспинор [4, стр. 62 – 66].

 

Утверждение 1

Вращение B_α= ▽∧A =exp(γ⁰γ^αZ_α) векторного поля A порождает фермионы.

Доказательство.

1) Y_α(x) и Ỹ_α(x) являются положительными и отрицательными биспинорами, т.к. удовлетворяют условиям существования идеала теории групп (кольца) [4, стр. 62 – 66], т.е. спиноров. Действительно, умножая биспинор (антибиспинор) на , из (5) получим

γ⁰γ^αY_α(x) = Y_α(x)   и    γ⁰γ^αỸ_α(x)= -Ỹ_α(x).

Другими словами, Y_α(x) и Ỹ_α(x) являются положительными и отрицательными биспинорами, которые описывают фермионы (частицу и античастицу).

 

2) Вращение поля – антисимметричная часть неоднородности, т.е. ▽∧A=eⁱ˄e^j∂_iA_j – комплексный бивектор, в частности, тензор электромагнитного поля F. Так как Y_α(x), Ỹ_α(x) есть матричная экспоненциальная форма записи вращения, то волновые функции Y_α(x), Ỹ_α(x), описывающие фермионы, должны быть тоже антисимметричны.

Рассмотрим волновую функцию системы из двух тождественных невзаимодействующих частиц (из двух вращений Y_α(x)):

Y_α,β(p, q) = Y_α(p) Y_β(q) ~ (p/2p₀) ∧ (q/2q₀) = - (q/2q₀) ∧ (p/2p₀) ~ Y_β(q) Y_α(p) = Y_β,α(q, p)     или

Y_α(p) ∧ Y_β(q) = - Y_β(q) ∧ Y_α(p)                                                               (6)

где внешнее произведение Y_α(p) ∧ Y_β(q) по определению антисимметрично.

Здесь p и q – пространственные импульсы двух тождественных частиц, определяемые биспинорами Y_α(x) и Ỹ_α(x).  

Из (6) видно, что волновая функция суперпозиции систем из двух тождественных невзаимодействующих частиц меняет знак на противоположный при перестановке частиц, т.е. данные частицы (описываемые Y_α(x) и Y_β(x) – фермионы.

Утверждение 1 доказано.

 

2. Деформация

B_α= exp(γZ_α)                                                                     (7)

Выражение (7) разложим

exp(γZ_α) =0.5(E+γ) exp(Z_α) + 0.5(E-γ) exp(-Z_α) =V_α(x) + Ṽ_α(x)                               (8)

где V_α(x) – вектор-функция, Ṽ_α(x) – “анти” вектор-функция.

 

Утверждение 2

Деформация ▽•A = exp(γZ_α) векторного поля A порождает бозоны.

Доказательство.

1) V_α(x) и Ṽ_α(x) не являются биспинорами, т.к. не удовлетворяют условиям идеалов теории групп (колец) [4, стр. 62 – 66]. Действительно, из (8) получим

γV_α(x) = γ 0.5(E+γ) exp(Z_α) = - 0.5(E-γ) exp(Z_α) ≠ V_α(x)  

и γṼ_α(x) ≠ Ṽ_α

Другими словами, V_α(x) и Ṽ_α(x) не являются биспинорами и не описывают фермионы.

 

2) В общем виде деформация поля – симметричная часть неоднородности поля A, т.е. внутреннее произведение, комплексный “скаляр” (скаляр + псевдоскаляр).   

▽•A = eⁱ •e^j ∂_i A_j  

Так как V_α(x), Ṽ_α(x) есть матричная экспоненциальная форма записи деформации, то волновая функция V_α(x), Ṽ_α(x), описывающая частицу, должна быть симметричной.

Рассмотрим волновую функцию системы из двух тождественных невзаимодействующих частиц (из двух деформаций ):

V_α,β(p,q) = V_α(p) V_β(q) ~ (p/2p₀) •(q/2q₀) = (q/2q₀) •(p/2p₀) ~ V_β(q)V_α(p) = V_β,α(q,p)    

или

V_α(p) •V_β(q) = V_β(q) •V_α(p)                                                                 (9)

где внутреннее произведение V_α(p) •V_β(q) по определению симметрично.

Здесь p и q – пространственные импульсы двух тождественных частиц.   

 

Из (9) видно, что волновая функция суперпозиции систем из двух тождественных невзаимодействующих частиц не меняется от перестановки частиц, т.е. частицы, описываемые функциями V_α(x) и V_β(x) – бозоны.

Утверждение 2 доказано.

 

В общем виде

P_i,jχ(p_i, p_j) = ∓ χ(p_i, p_j)                                                                   (10)

где знак «-» соответствует вращению поля (фермиону) – антисимметричной функции; знак «+» соответствует деформации поля (бозону) – симметричной функции; P_i,j  – оператор перестановки; χ(p_i, p_j) – волновая функция системы двух невзаимодействующих частиц. 

Обсуждения и выводы

Главной и единственной причиной существования (наличия) только двух видов частиц – фермионов и бозонов является неоднородность поля , точнее, вращение и деформация поля. Неоднородность (вращение, деформация) поля есть геометрическая трактовка квантовой статистики частиц и принципа Паули [5].

Наличие только трех «направлений» ((γ⁰γ^α +γ)Z_α,  α=1,2,3) в 4х мерном пространстве указывает на то, что фермионы и бозоны имеют только три поколения. Проще говоря, каждому поколению фермионов соответствует «свое поколение» бозонов.

1. Бабаев А. Х. Бикватернионы, вращения и спиноры в обобщенной алгебре Клиффорда, sci-article.ru, №45 (май) 2017, стр.296 – 304.
2. Chris J. L. Doran. Geometric Algebra and its Application to Mathematical Physics. Sidney Sussex College. A dissertation submitted for the degree of Doctor of Philosophy in the University of Cambridge. February 1994, pages 4-6.
3. Бабаев А. Х. Вывод уравнения Дирака из неоднородности пространства и решение для поколений нейтрино, sci-article.ru, №25 (декабрь) 2017, стр. 237 – 244.
4. Казанова Г. Векторная алгебра, перевод с фр. Изд. «МирР», М., 1979
5. Паули В. Принцип запрета, группа Лоренца, отражение пространства, времени и заряда // Нильс Бор и развитие физики. — М.: 1958. — c. 46-74

Рецензии:

18.07.2023, 7:37 Ашрапов Улугбек Товфикович
Рецензия: Статья "Неоднородность векторного поля и квантовая статистика элементарных частиц" имеет научную новизну и актуальность. Статью рекомендую к публикации в журнале SCI-ATRICLE.RU.

Комментарии пользователей:

Оставить комментарий