Зависимость периода колебаний математического маятника от массы

УДК 53

Введение.

Г. Галилей предложил идею для измерения времени использовать маятник. При этом он утверждал, что период колебаний маятника не зависит от амплитуды колебаний.

Х. Гюйгенс нашёл, что свойство изохронности значительно нарушается на больших амплитудах и для устранения этих недостатков построил циклоидальный маятник, где изменяется длина нити подвеса, чем и достигается изохронность колебаний [1].

Невзирая на то, что зависимость периода колебаний от амплитуды была определена ещё во времена Х. Гюйгенс, и им же указан метод её устранения, в учебниках продолжают писать, что период колебаний математического маятника не зависит от амплитуды и массы маятника [2];[3].

Имеет ли значение амплитуда маятника? Несомненно, амплитуда маятника изменяет высоту падения и вместе с длиной маятника увеличивают путь движения маятника, а следовательно, и время, которое зависит от амплитуды.

Надо отдать должное, что в последнее время появились работы, связывающих  зависимость периода колебаний от амплитуды колебаний:[4]; [5]; [6] и многие другие.

Если зависимость периода колебаний маятника от амплитуды, начала проясняться, то зависимость периода колебания от массы маятника, совершенно не учитывается.

Если сравнить качания лёгкого маятника и тяжёлого маятника на одинаковом по длине подвесе, то затухание лёгкого маятника наступает на порядки быстрее. И это явление не объясняется, а скорее замалчивается.

В этой работе предстоит, разобраться с зависимостью периода колебаний математического маятника от массы.

При написании работы опирался на следующие источники: [1];[2];[3];[4];[5];[6];[7];[8].    

Актуальность данной работы обусловлена тем, что лёгкие тела падают быстрее тяжёлых, но в формуле периода колебания маятника не отражается.

Цели и задачи данной работы заключаются в том, чтобы исправить ошибку исключения массы из учёта зависимости периода колебания от массы.

Научная новизна данной работы заключается в том, что данная работа изменяет ошибочное утверждение, что период колебаний не зависит от массы маятника на утверждение, что период колебания маятника зависит от массы маятника.   

Кроме того, этот факт даёт возможность, определения зависимости периода колебаний маятника совместно от амплитуды колебаний и массы маятника.

Рассмотрим  формулу периода колебаний математического маятника:

Т = 2π(L/g)^1/2      ----- (1),

где Т – период колебаний математического маятника, L – длина подвеса, g – ускорение свободного падения определённое для соответствующей широты.

Удивительно, ускорение свободного падения есть, а масса тут не причём? Но здесь ускорение свободного падения, это максимальное ускорение, которое Земля может обеспечить массе тела стремящейся к 0. Маятники имеют реальную массу, поэтому игнорировать массу маятника, заведомо совершать ошибку. Ускорение конкретного маятника должно соответствовать непосредственно этому маятнику, а не потенциалу ускорения Земли.

Поэтому расчёт периодов колебаний маятника, где не учитывается ускорение свободного падения от массы маятника, выполнен заведомо с ошибкой.   

Ускорение маятника можно определить из расчёта:

Находим ускорение Земли к массе маятника:

Mg(з) = GmM/R^2 ----- (2);

g(з) = Gm/R^2      ------- (3),

где: M – масса Земли; g(з)- ускорение Земли к массе маятника; G – гравитационная постоянная; m – масса маятника; R - расстояние от центра Земли до маятника.

Как видим, из формулы (3), ускорение Земли к маятнику зависит от массы маятника, чем больше масса маятника, тем больше ускорение Земли к маятнику.

Нам надо определить ускорение, которое действует на маятник. От потенциального ускорения Земли, которой обладает масса Земли, отнимаем ускорение Земли к определённой массе маятника, получаем ускорение маятника: g(п.з) – g(з) = g (м)

g (м) = g(п.з) – g(з)  -----  (4).

Поэтому в формулу (1) надо подставлять g (м).

Т = 2π(L/g(м))^1/2      ---- (5).

В формуле (5) становиться понятным, что период колебания математического маятника зависит от ускорения свободного падения маятника определённой массы.

Из формул: (3) и (4), видим, что ускорение массы Земли, напрямую зависит от массы маятника, чем больше масса маятника, тем больше ускорение массы Земли, и тем меньше ускорение более массивного маятника. 

Отсюда вывод, что более лёгкие маятники имеют ускорение свободного падения больше, чем более тяжёлые маятники.

Следовательно, более лёгкий маятник, имеет большее ускорение свободного падения, а период колебаний маятника будет меньше.

Легкий маятник быстрее падает и поэтому быстрее останавливается, приходит в равновесие, успокаивается.

Заключение.

Чем меньше масса маятника, тем маятник падает быстрее, тем больше его ускорение свободного падения, тем меньше его период колебаний, и как следствие период затухания колебаний значительно меньше.

И если существующая точность измерения не позволяет определить разницу в  периодах от массы или от амплитуды, то это не значит, что надо эти ошибки продолжать тиражировать и вносить их в учебники.

Вывод. Актуальность данной работы очевидна, ошибка устранена.

Цели и задачи работы выполнены, зависимость периода колебаний математического маятника от массы установлена.

Научная новизна данной работы подтверждена и изменяет точку зрения на зависимость периода колебаний от массы маятника. Теперь зависимость периода колебаний от амплитуды и массы маятника можно рассматривать совместно с определённым ускорением свободного падения для данной массы маятника.

Более лёгкий маятник имеет большее ускорение свободного падения, поэтому период колебаний у лёгкого маятника меньше, чем у более тяжёлого маятника, поэтому период затухания более лёгкого маятника проходит значительно быстрее.

Период колебаний математического маятника зависит от массы маятника.

Рецензии:

21.04.2023, 13:22 Ашрапов Улугбек Товфикович
Рецензия: Автор данной статьи на основании расчета, утверждает, что "Период колебаний математического маятника зависит от массы маятника", что не соответствует . Однако, в работе экспериментально подтверждено(https://condor.depaul.edu/glietz/206/206ConSam.html), что изменение массы с 25 граммов до 200 граммов (обычные маятники имеют такие массы), не оказывает влияния на период, поэтому период не зависит от массы. Авторами работы (https://www.eduspb.com/node/1782) показано, что T = 2 π l g - период колебаний математического маятника не зависит от амплитуды колебаний и массы груза и ими сделан важнейший вывод: период колебаний математического маятника не зависит от массы тела. Автор пишет - "И если существующая точность измерения не позволяет определить разницу в периодах от массы или от амплитуды, то это не значит, что надо эти ошибки продолжать тиражировать и вносить их в учебники". Однако, общеизвестно, что единица времени в СИ - секунда. Как же определяют ее длительность и что может послужить в этом случае эталоном? С 1967 г. в СИ 1 секунда это 9 192 631 770 периодов электромагнитного излучения, возникающего при переходе между двумя сверхтонкими уровнями основного состояния атома цезия-133 - это атомная секунда. Гораздо проще для восприятия представить одну секунду как сокращение человеческого сердца. Но, так или иначе, мы понимаем, что измерение времени начинается с приблизительного определения секунды (в данном случае не имеет смысла использования атомных часов и сверхточное измерение времени), на котором дальше строятся все остальные расчеты. Здесь такая же ситуация - период качания простого гравитационного маятника зависит от его длины, локальной силы тяжести и, в небольшой степени, от максимального угла, на который маятник отклоняется от вертикали (амплитуды), но не зависит от массы груза на конце маятника. В статье Дудина А.Т. "Зависимость периода колебаний математического маятника от массы" актуальность и научная новизна отсутствуют.