Разделы: Математика
Размещена 01.11.2023.
Просмотров - 133

Степени заполненности / незаполненности разрядов чисел. Великая теорема Харта. Хартовы тройки чисел

Харт Алекс

Индивидуальный предприниматель

Индивидуальный предприниматель

УДК 511

Введение

В работах [1] и [2] даны определения понятиям абсолютной и фактической заполненности разрядов чисел при записи их в той или иной системе счисления. А в работах [3] и [4] предложена математическая игра, в которой данные понятия используются в контексте силы или слабости чисел.

Актуальность

Дальнейшее исследование данного направления и данных понятий актуально. И следующим шагом на таком пути является связывание между собой понятия заполненнсти разрядов и степени числа, ввод понятия степени заполненности разрядов.

Цели

Ввести понятия степени заполненности и незаполненности разрядов чисел и показать связь этих понятий со степенью числа. Сформулировать на основе данных понятий гипотезу, аналогичную Великой теореме Ферма и гипотезе Била.

Научная новизна

Сформулированные в данной работе новые понятия и гипотеза предложены впервые.

Данная статья является продолжением работ [1] и [2], в которых вводились понятия абсолютной и фактической заполненности разрядов чисел. При этом в работе [1] давалось некоторое философское осмысление данных понятий. На примере двоичной системы счисления было показано, что чем больше заполненность разрядов того или иного числа, тем больше его мужественность. И соответственно чем меньше заполненность его разрядов, тем больше его женственность. Это справедливо не только для двоичной системы, но и для любой позиционной системы счисления.

Логическим продолжением данных работ является ввод понятия степени заполненности разрядов, а также понятия степени незаполненности разрядов, по аналогии с понятиями фактической заполненности и фактической незаполненности разрядов (см. работу [2]).

В философском понимании понятие степень заполненности разрядов представляет собой степень мужественности того или иного числа, а понятие степень незаполненности разрядов представляет собой степень женственности того или иного числа,

Итак, что же представляют собой данные понятия? Рассмотрим на примере десятичной системы счисления все трехзначные числа (3-ий уровень, или 3-я степень). Очевидно, среди всех этих чисел наименьшую заполненность разрядов будет иметь число 100, а наибольшую – число 999 (см. работу [2]). Значит степень незаполненности разрядов (степень женственности) числа 100 равна 3, а степень заполненности разрядов (степень мужественности) числа 999 также равна 3. По аналогии для четырехзначных чисел степень незаполненности разрядов числа 1000 равна 4, а степень заполненности разрядов числа 9999 также равна 4. И т.д.

Приведем теперь формулы для расчета степени заполненности и степени незаполненности разрядов для любого числа:

 

 

 

или

 

 

 

где S – основание той или иной системы счисления, натуральное число, S ≥ 2; СЗ – степень заполненности разрядов; СН – степень незаполненности разрядов; ФЗ% – процент фактической заполненности разрядов (минимальной); ФН% – процент фактической незаполненности разрядов (минимальной).

В работе [2] показано, что фактическая заполненность разрядов того или иного числа в той или иной системе счисления сводится к перевороту записи данного числа в данной системе счисления. Также в данной работе показано, как определяются фактическая незаполненность разрядов, а также проценты фактической заполненности и незаполненности разрядов.

Приведем пример. Десятичная система счисления. Число 123. Фактическая заполненность разрядов будет равна 321. Фактическая незаполненность разрядов будет равна 1000 – 321 = 679. Процент фактической заполненности разрядов будет равен 321 / 1000 ∙ 100% = 32.1%. Процент фактической незаполненности разрядов будет равен 679 / 1000 ∙ 100% = 67.9%. В данной работе акцентироваться внимание на данных понятиях не будет, так как о них подробно написано в работе [2].

Поскольку величины ФЗ% / 100% и ФН% / 100% находятся в интервале от 0 до 1, то величины СЗ и СН будут находиться в интервале от 0 до ∞. Например, число 0 имеет СЗ = 0 и СН = ∞ в любой системе счисления.

Из уравнений (1) и (2) вытекает следующая связь между степенью заполненности (СЗ) и степенью незаполненности (СН) разрядов того или иного числа:

 

 

 

Данное выражение можно преобразовать до следующего вида:

 

 

 

Если ввести следующие обозначения:

 

 

 

то уравнение (6) будет иметь следующий вид:

 

 

 

Уравнения такого вида изучались в работе [5].

Условную операцию получения значения того или иного числа «a» по его степени заполненности (СЗ) в той или иной системе счисления (S) будем обозначать так:

 

 

 

А условную операцию получения значения того или иного числа «a» по его степени незаполненности (СН) в той или иной системе счисления (S) будем обозначать так:

 

 

 

Если же та или иная формула справедлива и для степени заполненности, и для степени незаполненности, то такую операцию будем обозначать так:

 

 

 

где С – степень заполненности / незаполненности разрядов.

Исходя из вышесказанного, приведем в таблицах величины степени заполненности и степени незаполненности разрядов для систем счисления от двоичной и до десятичной:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В данных таблицах ярко-голубым цветом выделены целочисленные значения степени заполненности и степени незаполненности разрядов. И нетрудно заметить следующую очевидную закономерность. Если определенное число «a» имеет целочисленное значение степени заполненности разрядов равное «n», то число «a + 1» будет иметь целочисленное значение степени незаполненности разрядов равное «n + 1». При этом для всех чисел для целочисленных степеней заполненности / незаполненности разрядов (n) будут справедливы следующие формулы:

 

 

где [n] – степень заполненности разрядов; {n} – степень незаполненности разрядов, см. формулы (10) и (11).

А для нецелочисленных степеней заполненности / незаполненности разрядов будут справедливы следующие неравенства:

 

 

 

Как уже понятно, если то или иное число в той или иной системе счисления «S + 1» имеет целочисленное значение степени заполненности разрядов, то его представление в этой системе счисления имеет такой вид:

 

 

 

А если то или иное число в той или иной системе счисления имеет целочисленное значение степени незаполненности разрядов, то его представление в этой системе счисления имеет такой вид:

 

 

 

Как видно из таблиц 1 – 9, любое число имеет хотя бы в одной системе счисления целочисленное значение степени заполненности разрядов и хотя бы в одной системе счисления целочисленное значение степени незаполненности разрядов. Для каждого числа можно определить максимальное целочисленное значение степени заполненности (МЦСЗ) и максимальное целочисленное значение степени незаполненности разрядов (МЦСН).

Для подавляющего большинства чисел будет справедлива следующая очевидная закономерность. То или иное число «a» будет иметь максимальную целочисленную степень заполненности разрядов равную 1 в системе счисления «a + 1». И то или иное число «a» будет иметь максимальную целочисленную степень незаполненности разрядов равную 2 в системе счисления «a».

Можно составить следующую таблицу максимальных целочисленных значений степени заполненности и степени незаполненности разрядов чисел:

 

 

 

Как видно из таблицы, выше написанное правило всегда выполняется: если то или иное число «a» имеет максимальное целочисленное значение степени заполненности равное «n», то число «a + 1» имеет максимальное целочисленное значение степени незаполненности равное «n + 1». Для наглядности данная закономерность в таблице 10 отмечена цветами.

Также из таблицы 10 видно, что любое число, начиная с 2, имеет МЦСЗ ≥ 1 и МЦСН ≥ 2. Исключением из этого правила являются только числа 0 и 1.

Числа 0 и 1.

Об уникальности чисел 0 и 1 говорилось в работе [1], приводилось также их философское осмысление. Как видно, понятие степени заполненности / незаполненности разрядов подтверждает уникальность этих чисел.

Число 0 является единственным числом, имеющим СЗ = 0 и СН = ∞ в любой системе счисления:

 

 

Число 1 является единственным числом, имеющим СН = 1 в любой системе счисления.

 

 

 

Великая теорема Ферма.

Из формулы (14) вытекает, что уравнение Великой теоремы Ферма можно записать в таком виде:

 

 

 

где a, b, c – взаимно простые натуральные числа ≥ 2; n – натуральное число > 3.

При преобразовании данного уравнения к привычному виду согласно формуле (14) оно будет выглядеть так:

 

 

 

При желании последнее уравнение можно записать и в классическом виде:

 

 

 

в котором будет n > 2.

Таким образом, Великую теорему Ферма можно записать, используя понятие степени незаполненности разрядов. Но есть еще зеркально противоположное понятие степени заполненности разрядов и формула (13).

Поэтому закономерно попробовать предложить теорему, имеющую более общий вид, чем Великая теорема Ферма.

Великая теорема Харта.

Правильнее назвать ее конечно гипотезой. Но поскольку она содержит в себе как бы «вторую сторону медали» Великой теоремы Ферма, которая в свою очередь также является не теоремой, а гипотезой (она стала теоремой Уайлса после того, как он ее доказал), поэтому и в данной работе предлагаемая гипотеза названа так, как названа.

В уравнении Великой теоремы Ферма имеются одинаковые степени «n» у всех трех членов уравнения. Обобщением этой теоремы на случай разных степеней у членов уравнения является гипотеза Била. Поэтому имеет смысл предложить формулировку новой теоремы сразу для произвольных степеней.

Формулировка. Для взаимно простых натуральных чисел a, b, c ≥ 2 и натуральных чисел x, y, z > 3 не существует решений уравнения:

 

 

 

Как понятно из вышесказанного, данная теорема разделяется на две части. Если в уравнении (25) стоят степени заполненности разрядов:

 

 

 

и если в уравнении (25) стоят степени незаполненности разрядов:

 

 

 

Уравнения (26) и (27) можно преобразовать по формулам (13) и (14) к виду:

 

 

 

В этих уравнениях x, y, z > 3. Естественно уравнение (29), если условиться, что x, y, z > 2, при желании можно записать и в классическом виде:

 

 

и при равных показателях x = y = z = n уравнение (30) – уравнение гипотезы Била – станет уравнением Великой теоремы Ферма:

 

 

Великую теорему Харта можно представить в следующем удобном виде:

 

Рис. 1. Великая теорема Харта.

 

Осмысление теоремы.

Уравнение гипотезы Била (в том числе и уравнение ее частного случая – Великой теоремы Ферма) – уравнение (27) – можно записать через представление чисел в той или иной системе счисления в таком виде:

 

 

Это только одна часть Великой теоремы Харта. Вторую ее часть – уравнение (26) – также можно записать через представление чисел в той или иной системе счисления:

 

 

где A = a – 1; B = b – 1; C = c – 1.

В работе [1] числа, имеющие представление в той или иной системе счисления 10, 100, 1000, 10000 и т.д., мы назвали настоящими женщинами. Они имеют минимальную заполненность разрядов на своем уровне. А числа, имеющие представление в той или иной системе счисления 99, 999, 9999, 99999 и т.д. (на примере десятичной системы счисления), мы назвали настоящими мужчинами. Они имеют максимальную заполненность разрядов на своем уровне.

Таким образом, первая часть Великой теоремы Харта – гипотеза Била и Великая теорема Ферма – это теорема королев:

 

 

А вторая часть Великой теоремы Харта это теорема королей:

 

 

Хартовы тройки чисел.

Если в уравнении (30) – первая часть теоремы – будут стоять одинаковые показатели степеней, то максимальная степень, при которой будут целочисленные решения этого уравнения, равна 2:

 

 

Натуральные числа a, b, c, удовлетворяющие этому уравнению, называются пифагоровыми тройками чисел. К ним относятся, например, тройки: (3, 4, 5); (5, 12, 13); (7, 24, 25) и т.д.

А если в уравнении (28) – вторая часть теоремы – будут стоять одинаковые показатели степеней, то максимальная степень, при которой будут целочисленные решения этого уравнения, равна 3:

 

 

Поскольку в данном уравнении содержатся только нечетные степени, для которых выполняется свойство -a³ = (-a)³, то данное уравнение может быть записано и так:

 

 

или

 

 

По аналогии с пифагоровыми тройками чисел такие тройки чисел, удовлетворяющие уравнениям (37) и (38), назовем хартовыми. Примеры таких троек чисел: (9, 10, 12); (64, 94, 103); (73, 144, 150) – для уравнения (37); (6, 8, 9); (71, 138, 144); (135, 138, 172) – для уравнения (38).

Имеются и примеры этих уравнений, где все три числа нечетные: (11767, 41167, 41485) – для уравнения (37); (1851, 8675, 8703) – для уравнения (38).

У данных троек чисел практически всегда наблюдается отсутствие попарной взаимной простоты. Но все три числа будут взаимно простыми.

Поскольку мы в уравнении (37) так легко поменяли знак у числа 1 на минус, получив уравнение (38), то может возникнуть вопрос: а можно ли точно так же поменять знак у числа 1 на минус в уравнении (28)?

Нет, нельзя. Поскольку в этом уравнении могут содержаться и четные показатели степеней. И как доказательство этому: решений уравнения (28) в целых числах при x, y, z > 3 нет, а при изменении знака числа 1 на минус решения будут. Например: 2⁴ + 2⁶ = 3⁴ – 1 и 14⁵ + 34⁴ = 37⁴ – 1.

Это лишь подтверждает корректность формулировки обеих частей Великой теоремы Харта – «женской» части и «мужской» части, сделанных на основе понятия заполненности разрядов чисел. Переходя к одинаковым показателям степеней в обеих частях теоремы, можно отметить, что «женская» теорема – Великая теорема Ферма:

 

 

где n > 2,

доказана.

А аналогичная «мужская» теорема:

 

где n > 3,

еще не доказана.

Выводы

1. Введены понятия степени заполненности и степени незаполненности разрядов чисел и показана их связь с понятиями фактической заполненности и незаполненности разрядов.

2. Приведены таблицы величин степени заполненности и степени незаполненности разрядов для систем счисления от двоичной и до десятичной для чисел от 0 и до 28.

3. Используя понятия степени заполненности и степени незаполненности разрядов, сформулирована Великая теорема Харта, частным случаем которой являются гипотеза Била и Великая теорема Ферма.

4. Дано определение понятия хартовых троек чисел и приведены их примеры.

1. Харт А. Философское осмысление чисел в контексте их женственности и мужественности [Электронный ресурс] // Электронный периодический научный журнал «SCI-ARTICLE.RU». 2021. №10. С. 16-27. URL: https://sci-article.ru/number/10_2021.pdf (дата обращения: 17.10.2023).
2. Харт А. Абсолютная и фактическая заполненность разрядов чисел [Электронный ресурс] // Электронный периодический научный журнал «SCI-ARTICLE.RU». 2021. №11. С. 54-76. URL: https://sci-article.ru/number/11_2021.pdf (дата обращения: 17.10.2023).
3. Харт А. Математическая игра «Империи» [Электронный ресурс] // SCI-ARTICLE.RU. 2022. URL: https://sci-article.ru/stat.php?i=1647640107 (дата обращения: 17.10.2023).
4. Харт А. Вариации игры «Короли» - частного случая математической игры «Империи» [Электронный ресурс] // SCI-ARTICLE.RU. 2023. URL: https://sci-article.ru/stat.php?i=1683190656 (дата обращения: 17.10.2023).
5. Мирмович Э. Г. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АДДИТИВНО-МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫЙ ЭКВИВАЛЕНТ НА {Q} ТИПА А•В=А+В [Электронный ресурс] // Электронный периодический научный журнал «SCI-ARTICLE.RU». 2020. №12. С. 100-103. URL: https://sci-article.ru/number/12_2020.pdf (дата обращения: 17.10.2023).
6. Бухштаб А.А. Теория чисел. - М.: Просвещение, 1966. - 384 с.
7. Гашков С.Б. Системы счисления и их применение. - М.: МЦНМО, 2004. - 52 с.

Комментарии пользователей:

Оставить комментарий