Дальнейшее изучение бинарной проблемы Гольдбаха

УДК 511

Введение

Бинарная проблема Гольдбаха – это «утверждение о том, что любое четное число N можно представить в виде суммы двух простых чисел А и В», то есть:

     N = А + В                                                                                               (1)

Ещё эту проблему называют «проблемой Гольдбаха», «проблемой Эйлера» и «первой проблемой Ландау» [1].

Математик Христиан Гольдбах в 1742 году сформулировал эту проблему, и до сих пор «бинарная проблема Гольдбаха всё ещё далека от решения» [1].

На апрель 2012 года бинарная гипотеза Гольдбаха была проверена для всех чётных чисел, не превышающих 4×10^18 [1].

Для рассмотрения гипотезы Гольдбаха необходимо построить два массива натуральных чисел для произвольного чётного числа N.

Задача 1. Построение массивов натуральных чисел для чётного числа N.

Для произвольного чётного числа N можно построить возрастающий массив чисел R1(i), который включает в себя числа по возрастанию от числа 1 до числа (N – 1):

     R1(i) = i.                                                                                                     (1а)

И для этого же числа N можно построить другой убывающий массив чисел R2(i), который включает в себя числа по убыванию от числа (N – 1) до числа 1:

     R2(i) = N - i.

Суммы чисел в этих двух массивах для одного порядкового номера массивов будет равна N, то есть:

     R1(i) + R2(i) = N.

Задача 2. Построение 0-решета и Р-решета на возрастающем массиве.

Можно построить решето для определения простых чисел, как на возрастающем массиве, так и на убывающем массиве.

На возрастающем массиве все простые делители при «работе» в решете берут начало отсчёта с числа 0. Назовём это решето 0-решетом.

Если на 0-решете применяется простой делитель Н, то этот делитель в возрастающем массиве определяет последовательность составных чисел:

     W(t) = H * t, t – натуральное число, 1 < t <= tl,                                         (2)

где (tl – 1) – количество чисел в последовательности (2).

На убывающем массиве все простые делители, при построении решета, «берут начало отсчёта» с некоторых чисел Р1. 

Для каждого простого делителя Н можно найти последнее число Р1 в последовательности (2) для возрастающего массива:

     Р1 = W(tl).                                                                                                   (3)

Тогда разностью между числом N и числом Р1 будет величина:

     Р = N – Р1,  Р < Н.                                                                                      (4)

Назовём такое решето Р-решетом на убывающем массиве.

Если на Р-решете применяется простой делитель Н, то этот делитель в возрастающем массиве определяет последовательность составных чисел:

     W(t) = Р + H * t, t – натуральное число, 1 <= t < tl,                                   (4а)

Р-решето на убывающем массиве предполагает определение некоторых номеров чисел этого массива, которые возрастают при каждом следующем шаге простого делителя на убывающем массиве.

Поэтому Р-решето убывающего массива можно представить как Р-решето номеров чисел убывающего массива от 1 до N - 1, или как Р-решето номеров чисел возрастающего массива от 1 до N - 1, или как Р-решето самого возрастающего массива.

Получается, что на возрастающем массиве с одним и тем же делителем Н будет два решета:

0- решето с начальным числом 0 и Р-решето с начальным числом Р из (4).

Если число W(1) в возрастающем массиве (2) при 0-решета является простым числом при некотором делителе Н, то и в Р-решете при таком же делителе Н число W(tl) будет простым числом.

Поскольку возрастающий и убывающий массивы состоят из одних и тех же чисел, то делители в 0-решете и в Р-решете совпадают.

Если 0-решето определяет простые числа в возрастающем массиве, то совместно 0-решето и Р-решето определяют в возрастающем массиве такие простые числа А, для которых справедливо условие:

     В = N – А,                                                                                                   (5)

где В – простое число.

Данные числа А назовём простыми числами Р-решета для чётного числа N.

Или сокращённо - простыми числами Р-решета.

Получается, что если простое число А будет простым числом Р-решета для чётного числа N, то пара чисел А и В из (5) будет удовлетворять условию проблемы Гольдбаха (1).

Получается, что для того, чтобы определить все числа А, удовлетворяющих уравнению (5) для конкретного чётного числа N, необходимо найти построить Р-решето, которое включает в себя определение последовательности чисел Р из (4) для каждого делителя Н.

Задача 3. Определение последовательности Р-остатков для каждого чётного числа в Р-решете.

Для каждого чётного числа N имеется некоторое количество простых делителей Н, которые определяются условиями:

     1 <= H <= q = sqrt(N).                                                                                      (5a)

То есть:

- для чисел N от 4 до 8 будет 0 простых делителей,

- для чисел N от 10 до 24 будет 1 простой делитель,

- для чисел N от 26 до 48 будет 2 простых делителя,

- для чисел N от 50 до 120 будет 3 простых делителя, и т.д.

Поэтому, зная количество простых делителей для чётного числа N из (5а), можно построить последовательность Р-остатков от деления числа N на эти делители.

Например, для чётного числа 100 последовательность Р-остатков будет (1, 0, 2) для простых делителей 3, 5, 7.

В дальнейшем, для упрощения действий, выбор простых делителей начинается с числа 3. При этом будут рассматриваться только нечётные числа в возрастающем массиве.

Если в Р-решете имеется делитель Н, и для этого делителя в последовательности Р-остатков для числа N есть число Р, то получается последовательность составных чисел в Р-решете из (4а):

     W(t) = Р + H * t, t – натуральное число, 1 =< t < tl,                                      (6)

где (tl – 1) – количество чисел в последовательности (6).

Тогда простое число В будет составным числом в Р-решете для чётного числа N, если выполняется условие:

         B % H = P.                                                                                                  (7)

Получается, что в Р-решете последовательность Р-остатков для числа N будет сравниваться с М простыми числами, которые меньше числа N.

Для проведения такого сравнения необходимо построить матрицу Р-остатков для всех М простых чисел.

Тогда, если при сравнении последовательность Р-остатков для числа N со строкой матрицы Р-остатков для числа N и для простого числа А не будет совпадений последовательности и строки матрицы почисленно, то число А будет простым числом Р-решета, и для него выполняется условие гипотезы Гольдбаха (5).

Назовём это условием 1.

Задача 4. Определение матрицы Р-остатков для нечётных чисел.

Последовательности Р-остатков для каждого простого числа при делении на простые числа 3, 5, 7, 11, … можно представить в виде следующих строк:

     для числа 1 – (1, 1, 1, 1, …),

     для числа 3 – (0, 3, 3, 3, …),

     для числа 5 – (2, 0, 5, 5, 5, …),

     для числа 7 – (1, 2, 0, 7, 7, 7, …),

     для числа 11 – (2, 1, 4, 0, 11, 11, 11, …)  и т.д.

Из всех этих последовательностей Р-остатков можно построить некоторую матрицу (М x К) Р-остатков для М простых чисел при делении этих чисел на К простых чисел.

Как легко заметить, числа в колонках этой матрицы меняются по определённому порядку. Но при этом есть пропуски. Чтобы не было пропусков, необходимо добавить в эту матрицу Р-остатков ещё последовательности Р-остатков для остальных нечётных чисел. Например, строку Р-остатков для числа 9:

     для числа 9 – (0, 4, 2, 9, 9, 9, …).

Получается матрица Р-остатков для нечётных чисел размера (N/2, K).

Тогда в матрице Р-остатков строки простых чисел будут отличаться от строк остальных нечётных чисел тем, что для простого числа Н в строке Р-остатков есть только одно число 0, которое получается от деления этого числа на делитель Н согласно (7).

В матрице Р-остатков для числа N строки представляют собой комбинации чисел, которые не совпадают между собой хотя бы одним числом. При этом в каждом столбце числа меняются от 0 до (Н – 1), где Н – простой делитель, определяющий остатки от деления в данном столбце.

Однако, начиная с числа N = 50, в строках матрицы Р-остатков для числа N присутствуют не все комбинации чисел, которые были определены ранее.

Поэтому необходимо построить такую матрицу, в которой были бы все комбинации чисел для К столбцов матрицы с учётом того, что в каждом столбце числа меняются от 0 до (Н – 1), где Н – простой делитель, определяющий остатки от деления в данном столбце.

Задача 5. Определение расширенной матрицы Р-остатков для К делителей.

Все комбинации чисел в строках, которые определены в задаче 4, будут присутствовать в расширенной матрице Р-остатков для К делителей, которая имеет размер (D1 x К),

где:

     D1 = 3 * 5 * 7 * … * Нq <= q.                                                                                          (8)

Тогда количество всех комбинаций чисел в расширенной матрице Р-остатков равно D1 из (8).

Согласно условию 1 из задачи 3 надо из этих комбинаций вычеркнуть те комбинации чисел, в которых есть числа 0 и числа Е в столбцах (i), равные числу Е c номером (i) из последовательности Р-остатков для числа N (хотя при этом не будут рассматриваться простые числа от 3 до q).

1.Для начала рассмотрим вариант, когда в последовательности Р-остатков для чётного числа N отсутствует число 0.

Тогда количество комбинаций чисел в расширенной матрице Р-остатков, которые нет чисел 0 и чисел Е с номером столбца (i) будет равно, с учётом (8):

     D2 = (3 – 2) * (5 – 2) * (7 – 2) * … * (НQ – 2).                                                          (9)

Величина D2 определяет ко

При этом величина D2 не зависит от последовательности Р-остатков чётных чисел N, а зависит только от количества делителей, меньших числа q.

2.Теперь рассмотрим вариант, когда в последовательности Р-остатков для чётного числа N имеется одно число 0 для делителя Н.

В этом случае в формуле (9) вместо сомножителя (H – 2) будет сомножитель (Н - 1).

В результате величина D2 из (9) увеличится при одном и том же размере матрицы Р-остатков. Причём, чем меньше будет число Н, тем на большую величину увеличится величина D2 из (9).

И чем больше будет чисел 0 в последовательности Р-остатков для чётного числа N, тем больше будет величина D2 из (9) при одних и тех же размерах матрицы Р-остатков.

Поэтому величина D2 из (9) будет минимальным границей для расширенной матрицы Р-остатков для различных последовательностей Р-остатков тех чётных чисел N, для которых применяется эта расширенная матрица Р-остатков.

Задача 6. Оценочная формула определения количества комбинаций чисел в матрице Р-остатков для чётного числа N при выполнении условия 1.

Величина D2 из (9) определяет количество комбинаций чисел, в которых выполняется условие 1 (задача 3), в расширенной матрице Р-остатков для К делителей.

Здесь необходимо сделать важное предположение:

комбинации чисел, количество которых равно D2 из (9), определяются в расширенной матрице Р-остатков почти равномерно.

Тогда согласно данному предположению одна комбинация чисел из (9) будет встречаться в расширенной матрице примерно с частотой:

     t = D1 / D2.                                                                                                              (10)

Матрица Р-остатков нечётных чисел для числа N включает в себя начальные строки расширенной матрицы Р-остатков для К делителей.

Тогда можно получить оценочную формулу количества комбинаций чисел S, для которых выполняется условие 1, в матрице Р-остатков нечётных чисел для чётного числа N:

     S = N / t / 2 = N * D2 / D1 / 2.                                                                                   (11)

Задача 7. Оценка величины числа t.

Как видно из формулы (10), если величина t будет стремиться к 0, то количество комбинаций строк чисел в матрице Р-остатков, удовлетворяющих строке Р-остатков для числа N, может быть нулевым.

Поэтому необходимо оценить величину числа t.

Допустим, в формуле (9) рассматриваются не простые числа, а все нечётные числа до числа Hq включительно. Тогда из формулы (10) получаем следующее:

     tm = D1 / D2 = Hm ,                                                                                                 (12)

где Нm – максимальное нечётное число,  Hm <= q.       

Выражение (10) отличается от выражения (12) тем, что в выражение (12) включено много отношений вида Hm /(Нm – 2) для составных нечётных чисел Hm. Если эти отношения исключить из выражения (12), то значение выражения tm будет больше выражения t, поскольку все отношения вида (Нm – 2) / Hm будут меньше числа 1:

     t < tm  = Hm

или

     1/ t > 1 / Hm.

Тогда из (11):

     S = N / t / 2 > N / Hm / 2.  Следовательно, выражение (11) не может быть нулевым.

Пример:

Для чётного числа N = 100020001 выражение 1/tm из (12) равно 1/10001, а t из (11) равно 1/102.

Замечание к задаче 7.

При таком методе не будут рассматриваться комбинации чисел в строках Р-остатков, которые относятся к простым числам, начиная с числа 3 и заканчивая числом Нq.

В данных строках Р-остатков есть одно число 0.

Однако будем считать, что это не так существенно, поскольку не рассматриваются только 1/q всех простых чисел, которые меньше чётного числа N.

И если будет по формуле (11) определено некоторое количество пар простых чисел, сумма которых равна чётному числу N, то реальное количество пар таких чисел будет несколько больше, поскольку часть простых чисел, начиная с числа 3 и заканчивая простым числом Нq < q, не рассматриваются.

Задача 8. Оценочная формула определения количества пар простых чисел, которые меньше чётного числа Nи которые в сумме равны числу N.

В задаче 2 было сказано, что для того, чтобы определить все простые числа А и В, удовлетворяющих уравнению (1) и (5) для конкретного чётного числа N, необходимо построить Р-решето на возрастающем массиве чисел для числа N.

В задачах 3 и 4 были определены последовательность Р-остатков для чётного числа N и матрица Р-остатков для нечётных чисел, которые явлются основой Р-решета.

В задаче 5 была определена расширенная матрица Р-остатков, которая включает в себя все комбинации чисел, удовлетворяющих требованиям Р-решета.

В задачах 6 и 7 показано оценочное соотношение количества комбинаций чисел, удовлетворяющих требованиям Р-решета, между матрицей Р-остатков и расширенной матрицей Р-остатков.

Таким образом, зная количество количества комбинаций чисел, удовлетворяющих требованиям Р-решета, в расширенной матрице Р-остатков, можно оценить количество комбинаций чисел, удовлетворяющих требованиям Р-решета, в матрице Р-остатков для чётного числа N.

А так как каждая комбинация чисел в матрице Р-остатков, удовлетворяющая требованиям Р-решета, принадлежит строке в этой матрице с определённым номером, и этот номер совпадает со значением простого числа, то такая комбинация чисел определяет простое число Р-решета.

В свою очередь, согласно задаче 2, Р-решето определяют в возрастающем массиве для чётного числа N такие простые числа А, для которых справедливо условие (5):

     В = N – А,

где В – простое число.

Следовательно, для чётного числа N в матрице Р-остатков каждая комбинация чисел, удовлетворяющая требованиям Р-решета, определяет пару простых чисел, сумма которых равна числу N, что согласно (1), подтверждает гипотезу Гольдбаха для чётного числа N.  

А поскольку оценочная формула количества комбинаций чисел в матрице Р-остатков (11) справедлива для любого чётного числа N, и каждая из таких комбинаций чисел подтверждает для пары простых чисел гипотезу Гольдбаха, то оценочная формула (11) определяет количество пар простых чисел, сумма которых равна N.

Таким образом, имеем оценочная формула определения количества пар простых чисел, сумма которых равна чётному числу N:

1. имеется чётное число N,

2. имеется М простых чисел, меньших числа N,

3. имеется К простых чисел Н, начиная с числа 3, и не превосходящих число q = sqrt(N).

4. имеется последовательность Р-остатков, полученных от деления числа N на делители Н,

Тогда количество S пар простых чисел, сумма которых будет равна числу N, можно оценить с помощью формулы:

     S = N * D2 / D1 / 2,                                                                                                     (13)

где:

     D1 - произведение простых чисел от 3 до НK <= q:                                  

     D1 = 3 * 5 * 7 * … * НK,  

     D2 – произведение чисел, меньших на 2 простых чисел от 3 до Нq:               

     D2 = (3 – а1) * (5 – а2) * (7 – а3) * … * (Нq – аK). 

     если в последовательности Р-остатков числа с номером (i) равно 0, то аi = 1.

     если в последовательности Р-остатков числа с номером (i) не равно 0, то аi = 2.

Задача 9. Проверка формулы (13) на компьютере для различных чётных чисел N.

Была составлена программа для проверки формулы (13) для различных чётных чисел N.

При этом результаты расчётов по этой программе S сравнивались с расчётом определения количества W пар простых чисел для тех же чётных чисел N.

В результате получились следующие результаты:

1.Расчёт проводился для чётных чисел N от 100000 до 102000, у которых в последовательности Р-остатков которых нет чисел 0.

Определялось количество пар простых чисел S по формуле (13).

Определялось реальное количество простых чисел W для этих чисел N/

В результате расчётов получилось, что разность (S – W) меняется от -3 % до +8 % по сравнению с величиной W.

2.Расчёт проводился для чётных чисел N от 1000000 до 1002000, у которых в последовательности Р-остатков которых нет чисел 0.

Определялось количество пар простых чисел S по формуле (13).

Определялось реальное количество простых чисел W для этих чисел N/

В результате расчётов получилось, что разность (S – W) меняется от +5 % до +9 % по сравнению с величиной W.

Например, для чётного числа N = 1000016 по формуле (13) получается 8656 пар простых чисел, в то время как всего для этого числа будет 8084 пары простых чисел.

Или, для чётного числа N = 100024 по формуле (13) получается 1230 пар простых чисел, в то время как всего для этого числа будет 1198 пар простых чисел.

Научная новизна.

Определено 0-решето и Р-решето на возрастающем массиве натуральных чисел, меньших чётного числа N.

Определена последовательность Р-остатков для чётного числа N.

Определена расширенная матрица Р-остатков для чётных чисел, меньших числа N.

Получена оценочная формула количества пар простых чисел, сумма которых равна произвольному чётному числу N.

Выводы.

Определено 0-решето и Р-решето на возрастающем массиве натуральных чисел, меньших чётного числа N.

Получена оценочная формула количества пар простых чисел, сумма которых равна произвольному чётному числу N.

Рецензии:

13.02.2022, 19:55 Мирмович Эдуард Григорьевич
Рецензия: При всём уважении рецензента к Геннадию Григорьевичу и его неугомонной деятельности по доказательству различных утверждений и гипотез теории чисел, есть таковые, которые требуют более фундаментального представления и изложения. Статья такой исторически серьёзной темы со ссылкой на Википедию и всё опубликована быть не может. Только в нашем журнале и по Х. Гольбаху, и по Римману, и по простым числам вообще десятки публикаций. Не хочется "поучать" автора и подсказывать, кто до него в мире занимался доказательством и слабой, и бинарной гипотез-теорем, но надо в обзорной части работы хотя бы упомянуть своих предшественников и немного раскритиковать их, раз здесь представляется новая версия по теме. Тем более, что между этими темя математическими проблемами (ВТФ, БПГ и ГР) почти тривиальная связь. Хотя сам подход к решению задачи обладает и интересом, и признаками новизны - в таком обрезанном виде рецензент не хотел бы её видеть в научном журнале. Мы часто спешим, торопимся поделиться своими находками, забывая стандарты научной публицистики. Пока не рекомендуется. Извините! Так думает рецензент. Может, другие рецензенты выразят другие мнения.