Разделы: Физика
Размещена 20.10.2023.
Просмотров - 306

Вывод законов 4-х тока из неоднородности векторного поля алгеброй Клиффорда

Бабаев Алимжан Холмуратович

Кандидат физико - математических наук

Пенсионер

Пенсионер

УДК 537.8; 512.7

Введение

Цель статьи: показать, как модель неоднородности векторного поля в алгебре Клиффорда легко и просто описывает электромагнитные процессы. Например, 4-х мерный ток приобретает явный геометрический смысл. В неоднородной системе уравнений Максвелла, точнее, в 4-х токе, появляется дополнительное слагаемое, т.е., нелинейность. Появляется новый закон сохранения для 4-х тока – закон сохранения вихревого 4-х тока.

Теоретические основы

В статье [1] было дано определение локальной неоднородности векторного поля A:

B = ▽A = ▽•A+▽∧A                         (1),

где

▽•A = eⁱ•e^j Ɗ_iA_j = Eg^ij Ɗ_iA_j– деформация векторного поля [1],

▽∧A = eⁱ∧e^j Ɗ_iA_j– вращение векторного поля [1],

eⁱ•e^j – внутреннее произведение Клиффорда базисных векторов [2] (не скалярное произведение),

eⁱ∧e^j – внешнее произведение Клиффорда базисных векторов (бивектор) [2],

Ɗ_i – ковариантная производная, g^ij – метрический тензор, E– единичный тензор.

Результаты

1. Единая система уравнений Максвелла

Берем градиент от (1)

▽B = ▽▽A                                 (2)

Так как ▽B– тензор третьего ранга (тривектор), то он дуален вектору (псевдовектору) в 4-х мерном пространстве [1]:

▽▽A = μT•A                               (3)

Здесь T – тензор второго ранга, конкретно, тензор энергии-импульса [3]. Внутреннее произведение тензора T на вектор-потенциал поля A (T•A) дает дуальный вектор.

μ– коэффициент пропорциональности.

Согласно произведению Клиффорда [2]

▽(▽•A) + ▽• (▽∧A) + ▽∧▽∧A= μT•A                       (3)

так как ▽▽A = ▽(▽•A + ▽∧A) = ▽(▽•A) + ▽ (▽∧A) = ▽(▽•A) + ▽• (▽∧A) + ▽∧ (▽∧A)

Уравнение (3) – единая система уравнений Максвелла.

 

2. Однородная система уравнений Максвелла

В уравнении (3) было доказано [1]:

▽∧▽∧A = ▽∧F = 0                               (4),

где

F = ▽∧A – тензор электромагнитного поля.

Уравнение (4) – есть однородная система уравнений Максвелла.

 

3. 4-х мерный электромагнитный ток.

Обозначим [4] 4-х мерный электромагнитный ток как:

J = -▽(▽•A) + μT•A = - j + μT•A                          (5),

где      ▽(▽•A) = j.

 

Очевидно, что в обозначении (5) 4-х ток имеет явную геометрическую интерпретацию: 4-х ток состоит из двух частей: 1) градиента дивергенции потенциала поля (▽(▽•A)) и 2) слагаемого (μT•A), которое зависит от тензора энергии-импульса.

 

4. Неоднородная система уравнений Максвелла.

Учитывая (4) и (5), уравнение (3) запишем в виде

▽• F= J                               (6)

Уравнение (6) – есть неоднородная система уравнений Максвелла. Из определения 4-х тока (5) понятно, что уравнение (6) тоже зависит от тензора энергии-импульса, чем и отличается от классического случая.

 

5. Условие (ограничение)

▽•A = С                                   (7)

означает, что 4-х ток отсутствует,

где С – константа относительно ковариантной производной, например, С =g∙ const.

g– метрический тензор.

Частные случаи (7), например, калибровка Лоренца (▽•A = 0), Кулона [3] – это не что иное, как исключение (игнорирование) 4-х тока.   

 

5. Уравнение непрерывности и сохранение вихревого 4-х тока.  

Берем градиент от (5).

▽J= ▽ (-j + μT•A)                        (7)

Разделяя (7) на симметричную ▽•J и на антисимметричную ▽∧J части согласно произведению Клиффорда, получим

▽•J = ▽• (- j + μ T•A) = 0                        (8)

▽∧ J = ▽∧ (- j + μ T•A) = 0                        (9)

Доказательства уравнений (8) и (9) приведены в [4].

 

Уравнение (8) – есть уравнение непрерывности или закон сохранения 4-х тока.

В уравнении (8) отметим лишь то, что дивергенция тензора Tравна нулю (▽•T = 0), так как тензор T – тензор энергии-импульса.

Также отметим, что

μT•(▽•A) = ▽•j

Это означает, что изменение деформации поля (▽•A) приведет к изменению классического 4-х тока (▽•j).

 

Уравнение (9) – есть закон сохранения вихревого 4-х тока. Уравнение (9) запишем в «привычном» 3-х мерном виде. Разделяя (9) на «временные» и «пространственные» части, запишем

eⁱ∧e^j Ɗ_iJ_j = e^α∧e⁰ Ɗ_αJ₀+e⁰∧e^α Ɗ₀ J_α+e^β∧e^λ (Ɗ_βJ_λ- Ɗ_λJ_β) = 0,

α = 1,2,3. β <λ.

e^β∧e^λ (Ɗ_βJ_λ- Ɗ_λJ_β) = γE^βλμ0(Ɗ_βJ_λ- Ɗ_λJ_β) = -rot J

γ = γ₀γ₁γ₂γ₃, E^βλμ0 – абсолютно антисимметричный тензор 4-го ранга в ковариантном виде [4], e⁰∧e^α J_α = - J– 3-х мерный электромагнитный ток.

e^α∧e⁰ Ɗ_α = ▽ – 3-х мерный оператор набла.

J₀ = ρ – плотность электрического заряда,

Ɗ₀ = Ɗ_t.

 

Тогда получим 3-х мерный вид уравнения (9):

- ▽ρ + Ɗ_tJ+ rot J = 0                             (10)

Проще говоря, любое изменение 3-х тока (Ɗ_tJ) по времени компенсируется изменением вихревого 3-х мерного тока (rot J) при предположении, что градиент плотности электрического заряда (- ▽ρ) постоянен.

 

6. Сила Лоренца.

Следуя М. Риссу [5], мы найдем силу Лоренца:

JF=J•F+J∧F = e^kJ_k(eⁱ∧e^j) Ɗ_iA_j = e^k• (eⁱ∧e^j) J_kƊ_iA_j +(e^k∧ eⁱ∧e^j) J_kƊ_iA_j

Производя простые выкладки и оставляя только реальные векторы, получим силу Лоренца:

F_Lor = J⁰F₀₁ +J⁰F₀₂ +J⁰F₀₃ +J¹F₁₂ + J¹F₁₃ + J²F₂₁ +J²F₂₃ + J³F₃₁ + J³F₃₂

Или в «привычном» векторном виде

F_Lor = J⁰E+ J⨯B                               (11)

где J⁰– электрический заряд, J – 3-мерный ток, F = {E, B}, ⨯ – символ обычного векторного произведения векторов.

Обсуждения и выводы

1. Вращательная часть неоднородности векторного поля ▽∧A создает тензор электромагнитного поля F, а деформационная часть, точнее, градиент деформации поля (▽(▽•A)) создает электромагнитный 4-х ток. 

2. Согласно (5), электрический заряд (J₀) не является постоянной величиной. При высоких энергиях (т.е. при малых расстояниях) может случиться, что μT•A> j. Тогда заряд меняет свое значение на противоположное. Возможно, этим объясняется удержание протонов в ядре.  

3. Уравнения (9) и (10) показывают, что вихревой 4-х ток сохраняется. Проще говоря, уравнение (10) (при ▽ρ = const) – есть правило Ленца.

 

Благодарность

Не могу не отметить колоссальную помощь моей жены, Гомазковой Л. Н., во всем: от корректировки текста до создания условий для работы, не говоря уже о её терпении. Заодно благодарю и читателей за их интерес и терпение.

1. Бабаев А. Х., Альтернативный формализм на основе алгебры Клиффорда. SCI-ARTICLE. №40 (декабрь) 2016. PDF: https://sci-article.ru/number/12_2016.pdf стр. 34 – 42. https://doi.org/10.24108/preprints-3112477
2. Chris J. L. Doran. Geometric Algebra and its Application to Mathematical Physics. Sidney Sussex College. A dissertation submitted for the degree of Doctor of Philosophy in the University of Cambridge. February 1994, pages 4-6.
3. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Теоретическая физика. Том 2. Теория поля, Москва, «Наука». Стр. 109.
4. Бабаев А. Х. Сохранение 4-х мерного тока в формализме, основанном на алгебре Клиффорда. SCI-ARTICLE. №42 (февраль) 2017, стр. 27. https://sci-article.ru/number/02_2017.pdf стр. 27-33. https://doi.org/10.24108/preprints-3112478
5. Г. Казанова, Векторная алгебра, Перевод с франц. 1979, Москва, изд «МИР», стр. 55.

Рецензии:

19.01.2024, 14:20 Кравченко Сергей Васильевич
Рецензия: Кравченко Сергей Васильевич, к.т.н. Считаю работу Алимжана Холмуратовича весьма содержательной и убедительной (владеющие таким математическим аппаратом могут сами проверить). Для меня вращение и деформация поля означает, что одни частицы могут переходить в другие, например, Нейтрино-носитель вращательного поля (на подобии силовых линий магнитного поля тороидального вида). Электрон (Протон) - создают в локальной области деформацию поля(тороидальной формы) - соответственно, сжатия (расширения). При каких то условиях это и переходит одно, в другое. Также убедительно и то, что всё объединилось в гравиэлектромагнетизм. Безусловно блестящая работа и ЗАСЛУЖИВАЕТ публикации. Спасибо уважаемому А.Х. за чёткость изложения сложного материала(явления).

19.01.2024, 19:33 Мирмович Эдуард Григорьевич
Рецензия: Алгебра Клиффорда – крайне полезный инструмент, когда мы хотим описать вращательные структуры, которые можно принять за локально устойчивые частицы. Рецензент, например, для аналогичных задач, применял даже не лагранжиан, а алгебру кватернионов, являющейся «внутренним резервом» алгебры Клиффорда, например «Алгебра кватернионов и вращения в трёхмерном пространстве. Статья. Научные и образовательные проблемы гражданской защиты. Научный журнал. Химки (Новогорск): АГЗ МЧС России. –2008. С. 75-80». Автор же применил этот инструмент в «рассуждениях» об электромагнитном токе, правда, не обращая внимание читателя на коренную разницу этого термина и в некоторой степени виртуального явления от электрического тока, где электрический заряд может употребляться без дополнительных замечаний. Непонятно, каким образом, правда, уважаемый С.В. Кравченеко и под каким «увеличительным стеклом» нашёл в статье «великое объединение» по имени «гравиэлектромагнетоизм». Уверяю читателя, что простым обобщением производной до набла и даже гамильтониан-оператора физически уникальную задачу «великого объединения» решить нельзя. В принципе, работа заслуживает публикации, подготовлена практически безукоризненно, кроме синтаксиса, который надо выправить, а также более щепетильного употребления терминов: «ток», «электромагнитный ток», «электрический ток». После устранения таких мелочей рецензент рекомендует к публикации статью.



Комментарии пользователей:

Оставить комментарий